基于命题角度谈一道导数题的命制过程

蔡聪

笔者有幸参与了2022年宿州十三校高二下学期试卷的命制，感触颇深，现结合导数压轴题的命制过程与同仁分享.

一、试题呈现

已知函数f（x）=ae^x+blnx，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=（e－e²）x+e².

（1）求a，b；（2）若f（x）≥kx－k+e，求k的值.

二、试题的构思过程

1.命题要求

因高二学生刚学习了导数的基本概念、四则运算及在单调性、极值与最值中的应用，未接触过多的题型，思考的深度不够，故设计时应控制难度.在选择考查方向时，笔者选择了从导数的几何意义、恒成立问题两个角度设计试题，尽量做到低起点，宽入口，深思考，符合《中国高考评价体系》的要求，切实考查学生的“四基”“四能”.

2.试题题源

分析：本题以指对混合型函数为对象，第一问考查导数的几何意义，较基础，第二问考查恒成立证明问题，学生可借助“指对分离”“凹凸反转”等技巧处理，意在考查学生的逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.

3.改编考虑

保留题干，仍考查指对结合的函数形式，第二问的不等式证明题，学生易于着手，思路较多，常见的解题方法有：构造函数，分离参数，数形结合，凹凸反转等，利于考查学生分析问题，解决问题的能力，但怎样根据函数的特征选择合适的方法，是考验学生思维的很好着力点.笔者基于第二问做出改编，将证明问题转化为参数求值问题，区别于参数求范围，锻炼学生的应变能力.

4.方案設计过程

5.从学生角度的解法赏析

评注：用分离参数，将问题转化为函数最值问题，避免分类讨论，学生更容易入手与解决.易错点在于需对x>1与x<1进行分情况讨论.计算量较大，且应用洛必达法则求x=1处的极限值，超出了高中阶段的学习范畴.