“指对混搭函数不等式的证明”教学设计与思考

卢珍　李红春

1.问题提出

函数导数综合问题是高考的热点和难点，不少高三教师面对这块内容的复习常常老生常谈，缺乏自己深入的见解，课后再辅以“题海战术”，展现的是大题量，快节奏，机械重复的教学形态，因此学生对所学的内容兴趣不高，解题停留于模仿，对问题的本源不明，解题无序，推论无理．为了提升教师的思想认识，不断优化教学行为，前不久，笔者执教了一节题为《指对混搭函数不等式的证明》的展示课，获得了听课老师的充分好评.本文将这节课的教学设计和教学思考呈现出来，供分享．

2.教学设计展示

2.1 教学目标

（1）能从“阶”的角度分析分式型函数的极值；

（2）体会“分而治之”法解决问题的要领，并能用它证明一些常见指对混搭函数不等式；

（3）更加深刻体会到数学学习中“重视基础，回归基本”的价值.

2.2 教学重难点

教学重点：用“分而治之”法证明指对混搭函数不等式.

教学难点：灵活对函数不等式进行变形.

2.3 教学过程

本节课为借班授课，授课班级为某省级示范学校学生，学生基础较好，课前老师已将如下问题1让学生提前进行了思考.

问题1 （2020年山东卷改编）求证2e^x－1－lnx>1+ln2.

（1）问题铺垫

课堂开始，教师巡查课堂，找到了三种不同的解法，并让学生代表用投影仪展示出来.

设计意图：分而治之法解题的重点不在计算，而在于学生动笔时，能准确判断如何将函数式分开，以及不等式两边变形的度.问题5对学生的考查力求“好钢用在刀刃上”.问题6是高考压轴题，让学生在课堂有限时间完成，难度颇大，设计为“阅读与反思”，更接地气.高考试题具有导向性，学习考试中心给出的参考答案就是在和命题专家直接对话，领悟试题解法背后的意图，对于学生改进学习方法很有意义.

（5）数学创新

问题7 结合本节课学习的内容，立足函数的阶，从函数最值的角度出发，能否命制一道“指对混搭函数不等式”的证明题，并和大家分享你的命题思路.

设计意图：这一课堂环节的设置具有开放性，旨在培养学生的创新思维，借助从解题到命题的引导，将学生的思维引向深入，让学生不但会做别人命的题，更要善于自己提出问题.

（6）课堂小结及课后巩固（略）

3 教学反思

围绕这节课的教学设计，结合评委的意见，笔者觉得有如下几个亮点可供探讨.

3.1 适当铺垫，展现数学课堂教学的智慧

裴光亚老师曾经说过：教学艺术的基本特征是错位，为了抵达目标而偏离目标，其实不是偏离，而是营造目标赖以生存的环境，越是重要的东西，越是要隐藏起来，隐藏是为了展现诱惑^［1］.当学生们为课前给出的问题能“一题多解”，自我感觉良好时，老师接下来抛出的问题变式让他们一筹莫展，进退两难，在这样的情绪背景下，学生学习新方法的热情自然高涨.

3.2 用心设计，着力提升问题的针对性

问题是数学的心脏，本节课的难点在于引导学生对待证式进行合理变形，问题5设计为让学生观察待证不等式用“分而治之法”该如何去变形，重点考查学生变形方向的选择，显得独具匠心，如果设计为一般的证明题，求导计算的繁琐必将冲淡主题.问题7的设置具有相当的开放性，直接指向考查学生的创新思维，引导学生去探究和发现.

3.3 优化学法，于润物细无声处指导

“授人以鱼不如授人以渔”，教师在传授学生知识的同时，更要教给学生科学的学习方法.正如同教材，既蕴含了丰富的数学知识，更体现了研究问题的方法.我们一直强调学习要重视基础，回归基本，这就需要从复杂的情境中看到基本元素，从几何中看到基本图形，从代数中看到基本公式，从三角中看到基本变换，从统计中看到基本模型.如何做到这点，空洞的说教都不如让学生自己去体会.学生研读了问题6的参考答案，发现作为高考的压轴难题，却根基于这些学生耳熟能详的“基本函数”，倘若自己对这些“基本函数”的特征性质掌握得足够熟练，自然不会盲目变形.它带给学生的启示是：即使面对高考，夯实基础，回归基本绝不过时.

3.4 以身示范，教师树立了很好的榜样

《课程标准》中提出：要在数学教学中着力培养学生的创新精神和实践能力^［2］，优秀的教师是用教材而不是教教材.特别是高三复习阶段，教师要善于对知识进行整合与重构，对一些内容要有自己的独到见解.创新精神从何而来？教师首先要以身示范，成为学生心中乐于钻研问题的榜样；其次要留足时空，让学生放手去发现和创造.“分而治之”法求解指对混搭函数不等式的证明问题，平常解题中并不多见后，课堂上教师敢于选择这节内容来教学，源于教师的不断学习与钻研.在问题7的命题环节，更是留足时空，让学生将思维从课内引向课外，不断去探索和发现.

参考文献

［1］裴光亚，教学艺术的基本特征是错位［J］.中学数学教学参考，2016（25）：1

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.