小学高年级数学教学中学生建模能力培养研究

作者简介：谢小英（1975～），女，汉族，福建建瓯人，建瓯市东峰镇中心小学，研究方向：小学数学教学。

摘  要：建模能力是小学数学核心素养的组成要素之一，也是学生解决问题的重要基础。《义务教育数学课程标准（2022年版）》在课程目标、知识与技能、综合与实践等多个板块，都对学生的建模能力发展提出了明确的要求。高年级小学生的知识水平、思维水平较高，理解和建构数学模型的能力也相对较强，教师要从高年级小学生的认知特点和规律出发，合理选择教学的方式方法，打造优质高效的数学课堂，以此来促进学生建模能力的发展。

关键词：小学；高年级；数学；建模能力

中图分类号：G424    文献标识码：A    文章编号：1673-8918（2024）18-0065-06

小学生正处于思维快速发展的时期，建模能力的培养应当从基础教育阶段抓起。文章中的高年级指的是小学五、六年级。相比之下，一至四年级的学生年龄较低，思维、心理、能力等方面还不够成熟，在理解和构建数学模型的时候会比较吃力；而高年级学生正处于形象思维向抽象思维转变的过程中，独立思考能力、自我控制能力都有了较为显著的提升。因此，在小学教育体系中，高年级阶段更适合培养学生的建模能力。教师要深入解读新课程标准，明确教学目标，促进学生建模能力的发展，为学生未来的学习与发展奠定基础。

一、 建模能力的概念

建模能力指的是构建数学模型的能力，而数学模型是一种符号或者形式上的模型，以数学的形式来描述某种事物的特征和变化情况，有助于使学生更加直观、准确地认识某种情境或问题中的数量关系，是用于观察数量关系变化状态的数学结构。构建数学模型就是从事物中提炼出抽象化的数量关系，去除一切与数量关系无关的属性，只通过数字、符号及数学概念来表述。从广义上来看，一切数学知识都可以看作数学模型，比如各种数学概念、公式、算法算理等，是蕴含数量关系的纯理论化的数学结构。从狭义上来看，数学模型指的是从具体事物中提炼出的特定数学关系结构，能够反应特定的系统事物和问题模式。简而言之，数学模型可以看作用数学方式来表达数学规律的结构模型，是从现实生活和实际问题中抽象出的概念、定理、法则和公式。数学模型有两个特征：第一，数学模型是纯抽象的、除去一切非必要因素的数学关系结构；第二，数学模型是借助数学符号表示的，并且能够通过推演进行证明。数学建模能力指的是从问题中提炼数学模型，然后借助数学模型来解决实际问题的能力，它通常包括阅读、理解、抽象、建模、运算、验证等过程。教师培养学生良好的数学建模能力，有助于锻炼学生的抽象思维和逻辑思维，增强学生分析和解决问题的能力。

二、 建模能力的构成要素

（一）数学阅读能力

数学阅读能力是建模能力的重要构成因素。建模能力的发展需要以充足的数学理论知识为基础，学生的阅读能力会直接影响到获取数学知识的效率和质量。同时，建模需要对形象的问题进行抽象与简化，从中提炼出数量关系并转化成数学模型。这一过程也十分考验学生的阅读理解能力，如果学生的阅读能力不足，对数学问题的理解产生了偏差，构建的数学模型也会出错。此外，学生在脑海中0构建了数学模型后，还需要用数学语言将其描绘出来，数学语言是一种专业、严谨的语言，学生需要通过大量阅读来掌握相关的公式、符号、图表等。可以说，个体数学阅读能力的高低，决定了数学模型的构建质量。因此，教师要加强对学生阅读能力的培养，帮助学生更好地理解问题、构建数学模型，提升建模的准确性和速度；反之，学生在参与数学建模实践的过程中，也可以获得阅读能力的提升。

（二）抽象概括能力

抽象概括能力是数学思维的核心，也是构建数学模型的必要能力。数学建模的本质是对具体问题中数量关系的抽象化描述与理论性概括，是一种从具体问题到抽象理论的转变过程。学生需要从复杂形象的问题中提炼出抽象模型，需要具有良好的抽象概括能力。抽象概括能力可以帮助学生更好地理解和使用数学模型，快速地发现题目的本质，理清问题中隐含的数量关系，并运用已经学过的定理、公式等解决问题，更加快速准确地分析和求解数学模型。数学建模是一个高度抽象化的思维过程，学生只有具备良好的抽象思维能力，才能对外部的感性资料进行深刻剖析，经过思维加工与建模，使其形成一个结构清晰的理论模型。

（三）逻辑推理能力

逻辑推理能力与建模能力既有所关联，但并不属于建模能力的一部分，而是与建模能力相辅相成，互相影响。逻辑推理能力指的是通过充分运用现有的信息，通过逻辑思维与推理进而得出结论、解答问题的能力。这种能力涉及对具体问题的分析、判断、讨论与推理，能够为问题的解决提供有力支持。在解答数学题的过程中，学生通常需要对问题进行逻辑推理，深入把握题目中已知条件、未知条件之间的逻辑关系，才能将具体问题转化成数学模型。从小学生大脑思维的发展规律来看，建模能力的提升需要以逻辑推理能力为基础。与此同时，数学建模也是学生应用和锻炼逻辑推理能力的过程。

（四）问题解决能力

新课程标准提出，要让学生运用符号运算、形式推理等方法解决数学问题和实际问题。从小学数学教材和考卷的内容变化情况来看，纯理论化的题目越来越多，生活类、综合应用类的题目越来越多。由此可见，培养学生的问题解决能力已然成为数学课程的重要目标。问题解决能力指的是学生灵活运用所学知识和技能，有效解答問题的能力，是学生学习成果的证明，也在很大程度上体现了学生建模能力的发展水平。数学建模可以把陌生的实际问题转化成熟悉的数学模型，把特殊问题转化为一般问题，为解决问题提供必要的依据和前提。在数学教育中，建模能力的培养最终要落实到问题解决中去，学生的建模能力高低，需要通过解决实际的问题来检验。

三、 小学高年级数学教学中学生建模能力培养的现存问题

（一）不重视建模能力的培养

随着课程改革的推进，核心素养在教育领域的地位也在不断提升，建模能力的发展与学生几何直观、模型意识、空间观念等方面的发展息息相关，是培养学生核心素养的基石。但目前来看，建模能力的受重视程度仍有所不足。部分教师对数学建模的概念不是很清楚，在建模能力培养方面的实践经验也比较少，没有充分意识到建模能力对学生数学学习的重要意义，未将建模能力渗透到课堂目标中去。从考试评价体系来看，试卷内容往往比较注重对学生基础知识的考查，建模能力虽然能影响学生解题的效率，但难以在考试中直接体现出来，这也导致部分教师对建模能力的培养不够重视，侧重于对理论知识的教授。有的教师对建模能力的理解存在偏差，只是让学生记住一些现有的数学模型，而没有培养学生自主建模的能力。在新课程改革的背景下，教师要将建模能力看作学生数学素养的重要构成要素，提高对建模能力的重视程度，将其融入课堂教学中去，以建模能力的提升，带动学生其他素养的发展。

（二）没有养成良好阅读习惯

阅读能力是建模能力形成与发展的重要基础，通过对学生的日常观察与交流，发现当前许多高年级小学生没有养成良好的阅读习惯，对数学阅读的重要意义不够了解，只有教师布置任务的时候才会进行数学阅读。有的学生对“阅读”的认识存在偏差，局限于语文、英语等学科。事实上，阅读是数学学习的必要前提，学生只有具备良好的阅读能力，才能正确地理解各种数学概念、公式，分析并解决问题。有的学生除了阅读教材外，没有读过其他关于数学的图书，认为考试只会考查课本上的数学知识，所以没必要进行课外阅读。同时，有些学生认为数学类书籍的文字性内容太多，晦涩难懂，难以提起学习的兴趣，存在抵触、抗拒的心理，在阅读时缺乏充分的耐心。

（三）部分学生存在思维定式

培养学生的建模能力，是为了让学生从形象问题中提炼出抽象模型，然后用熟悉的概念、定理、公式等来解决问题。在日常学习和考试中，题目的背景设定、提问方法、数量关系千变万化，对学生思维的灵活性和开放性有着很高的要求。学生需要具有举一反三的能力，能够将一个数学模型应用到不同问题的解决过程中。但通过日常观察和调查发现，不少学生在做数学题的时候存在思维定式，受已有知识和经验的影响很深，习惯性地按照之前掌握的某种思路去分析问题，而没有意识到每道问题的特殊性。如果题目的提问方法、背景设定、数量关系出现了变化，超出原有的认知范围，学生便会感到困惑不已，难以从原有的思维模式中走出来。

（四）抽象概括能力有待提升

上文提到，抽象概括能力是数学建模的必要能力。但从认知发展规律来看，小学生的抽象能力仍处于初步形成与发展的阶段。即便是在高年级，小学生的抽象思维也相对有限，比较喜欢具象化的事物，在高度抽象化事物的时候会感到吃力。数学建模是把具体的问题概括成抽象的数量关系，然后利用相关的公式、定理等进行解答。许多学生在解答生活类、实践类的问题时，无法将其概括成抽象的数学模型，难以从数学的角度去看待问题，这也是学生感觉数学学习困难的一个重要原因。同时，抽象概括能力还包括表达能力，学生在脑海中构建数学模型后，需要运用准确、严谨的数学语言将其描述出来，这对学生的理论知识基础和抽象思维能力都具有很高的要求。

（五）独立解决问题能力较弱

从课堂教学情况来看，许多学生在遇到难题的时候，喜欢询问同学，与其他学生讨论，或者直接跳过，等老师讲解。这部分学生在第一时间没有想到自己去解决，而是寻求他人的帮助，独立解决数学问题的意识和能力较弱。解题能力弱的原因有很多，如理论知识基础不牢固，不熟悉算理算法，对数学规律理解不透彻等，归根到底是理解、建构和应用数学模型的能力不足。因此，教师要加强对学生建模能力的培养，引导他们通过主动思考，从问题中提炼数学模型，并学会运用数学模型来解决各种各样的问题。同时，教师也要鼓励学生独立地思考和探究，使学生摆脱依赖心理。

四、 小学高年级数学教学中学生建模能力培养的策略

（一）增强建模教学意识，明确培养目标

小学数学教师增强建模教学的意识，提高对数学建模的重视程度，在备课时要明确学生建模能力的发展目标，将模型意识渗透到课堂教学中去。在设定培养目标的时候，教师首先要深入了解高年级小学生的数学学习基础和认知能力发展水平，根据真实学情来确定目标的高度和难度。建模教学目标旨在促进学生应用意识的发展，增强学生的建模意识和提高能力，不仅要求学生深入理解数学模型的概念，还要让学生感受到数学模型在现实生活中的应用价值，在解决生活问题的过程中体会数学建模的过程，将数学建模思想和能力融入四维目标。

例如，在教学《多边形的面积》的时候，教师可设定如下教学目标。“①知识技能：让学生通过剪拼、平移、旋转等方法推导出平行四边形、三角形、梯形图形的面积公式，能够运用所学知识解决生活中的面积问题。②数学思考：通过观察、操作，从生活物体中抽象出多边形，实现空间观念、建模能力的有效提升。③问题解决：通过观察、操作、分析、讨论、归纳等学习活动学会多角度思考和解决日常生活中的数学问题。④情感态度：理解抽象的数学模型与具体的生活事物之间的联系，学会用数学的眼光来看待世界，激发学生思考与探索数学知识的积极性。”然后，教师以目标为导向，详细设计每个课堂环节的教学内容和方法，推动教学目标的落实，以教材为依托，促进学生建模能力的发展。在正式教学前，教师可出示如上目标，引导学生阅读和分析，使他们明白自己在本课学习中应当掌握的思想、获得的能力，为学生指明学习的方向。

（二）深入解讀数学概念，阅读理解模型

数学概念是数学学习的基石，是学生理解和构建数学模型的媒介。小学数学教师要抓好概念教学，培养学生良好的阅读能力，帮助他们奠定坚实的知识基础。对高年级小学生而言，阅读理解能力是一种重要的基础能力，对数学学习发挥着关键性的影响作用。学生只有具有良好的阅读能力，才能正确地理解数学概念、数学问题，并构建出清晰准确的数学模型。

数学问题中经常会出现一些具有特定意义的概念词，如同时、相向、相遇、相对等，这些概念词是正确建模和解题的关键。但在解题过程中，学生有时会错解词义，如“相向”的意思是向着相反的方向行进，有的学生将其理解为从同一地点出发，向着相同的方向行进。学生对题目的理解出现了偏差，构建的数学模型也与原题完全不同，导致解题错误。因此，教师要引导学生深入解读数学概念，提高他们的阅读理解能力。只有阅读能力提升了，学生才能正确地理解数学信息，进而构建出对应的数学模型。

例如：两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相向而行。二人从出发到相遇共经过多少分钟？

这道题目中的数量关系并不复杂，但怎样正确理解甲、乙二人的运动过程，是解题中的难点。教师要引导学生对题目中的概念逐步分析。首先，教师可提出问题：“同时是什么意思？谁能举个例子？”学生讨论交流，结合自己的生活进行举例，如“我和李同学同时出发去学校。”接着，教师让两名学生走上讲台，背对着背，同时齐步走，并提问：“这叫作同时吗？”学生经过交流，得出结论，只要在同一时间进行，就算同时，无论两人从哪里出发，去往哪里。然后，教师让两名学生面对面站着：“两个人现在的状态是什么？是相距、相对，还是相向？”学生讨论交流，教师引导学生进行总结，相距指的是彼此之间的距离，相对指的则是两个人朝向彼此的方向，相向是在相对的基础上互相靠近。教师再进行提问：“那么相遇是什么意思？”有的学生认为：“就是两个人突然碰见了。”教师指导两个学生分别站在教室前后，同时开始走，直到遇见时停下，然后提问：“两名学生同时从两地相对走来，在路上相遇，应该怎样计算相遇的时间？”学生经过思考得出：路程除以两个人速度的和，就是相遇的时间。

小学生经常会弄混相距、相对、相遇等概念。在本课教学中，教师设计了一系列的问题，引导学生进行观察、讨论和表达，着重剖析容易混淆的内容，还让学生进行现场表演，使学生们对相关概念形成了清晰准确的认识，在脑海中构建了形象、动态的数学模型，为解题打下了坚实的基础。对小学生而言，只在语文课堂上阅读是不够的，数学教师要在日常教学中加强对学生阅读能力的培养，充分挖掘数学问题中的概念，使学生准确地理解词汇的意思，进而正确地了解题意，解答问题。

（三）引导学生逻辑推理，提升思维水平

在高年级阶段，小学生的逻辑思维正处于一个过渡的时期，逐渐由形象思维向着抽象逻辑思维转变。高年级学生对自己感性的控制能力逐渐增强，也具有了一定的探究能力与合作能力。他们开始逐渐认识到学习的重要性，产生了较强的内在学习动力，能够更加理性、客观地去看待问题。因此，教师要把握好这一阶段，促进学生逻辑推理思维的发展，以此来增强学生获取、整合、判断、推理信息的能力，使学生能够充分利用题目中的信息，构建出更加清晰完整的数学模型。

在引导学生进行逻辑推理的过程中，教师要坚持将学生作为课堂活动的主体，避免采用灌输的教育方式，不能直接把结论告诉学生，而是鼓励学生自主思考和探究，通过恰当的方法去引导学生，让学生通过自己的努力得出结论。这样一来，学生不仅能牢固地记住知识结论，也会深刻地理解知识推导的过程，还能有效地锻炼自身的思维能力。

例如，在教学《圆柱的表面积》时，教师可引导学生思考：“表面积是什么？我们学过哪些图形的表面积？”和学生一起讨论，回想长方体正方体表面积的定义就是求6个面面积的总和。接着，教师利用课件出示一个圆柱体，并提出问题：“如果我们用长方体的相关知识进行类比，那么圆柱的表面积指的是什么？”学生经过思考得出结论：“指的是组成圆柱的所有面的面积之和。根据圆柱的结构，可以看作两个底面和一个侧面的面積之和。”在此基础上，教师布置任务：“探究圆柱体表面积的计算方法。”并出示问题：“一圆柱形铁桶的高为30厘米，底面直径为20厘米，做一个这样的桶需要多大面积的铁皮？”让学生以小组为单位进行讨论探究，教师适当地进行提示和引导：“根据已知条件，可以求出铁桶上下底圆面的面积，但侧面是曲面它的面积无法计算，是否能将其转化为我们学过的图形呢？”指导学生动手沿着圆柱的高剪一剪、滚一滚等操作，将圆柱的侧面转化为学过的长方形。有些学生在探究时陷入了困惑，还是无法推导出侧面积的计算方法。这时候，教师不要急于给出答案，而是可以通过一系列的问题来启迪学生：“圆柱侧面展开后变成了什么图形？变成的长方形的长相当于圆柱的什么，宽呢？现在你会求圆柱的侧面积了吗？”探究活动结束后，教师让各个小组依次进行汇报，用自己的语言说明推理过程，找出圆柱体侧面积的计算方法，并尽可能地简化运算过程，把数字替换成字母，得出运算公式：“S侧=ch=πdh=2πrh”，然后让学生构建出圆柱表面积的运算公式的模型。最后，教师可出示几道类似的习题，供学生练习，如“一种饼干的包装盒为圆柱形，底面半径为8厘米，高为底面直径的2倍，求包装盒的表面积。一个圆柱形水杯的底面直径为3厘米，高为12厘米，水杯的表面积为多少？”让学生在分析和解决问题的过程中，对圆柱体的几何模型和表面积公式形成更深的理解。

（四）创设形象教学情境，感受直观模型

数学建模是一个从形象情境中提炼出抽象数量关系的过程，体现了数学与生活之间的密切联系。数学课程知识具有较强的抽象性和理论性，但小学生的抽象概括能力仍处于初步发展的阶段，所以教师要结合教材内容，创设出贴近生活的形象教学情境，带给学生直观的视觉感受，使他们发现数学问题源于现实生活，感受生活情境中隐含的数学模型。这样不仅能降低学生分析和解决问题的难度，也有利于提升学生对数学学科的兴趣。

例如，在教学《百分数》的时候，教师可借助“逛商场”的话题导入：“同学们，你们和爸爸妈妈逛过商场吗？你们喜欢逛商场吗？”让学生自由讨论回答，然后引申出“打折商品”的话题，利用多媒体课件出示打折商品的标识牌，并提出问题：“请同学们认真观察，这些图片中的商品，有的打九五折，有的打八五折，是什么意思呢？”学生会说“打折就是用比原来低的价格出售”。这时，教师可进一步作出解释：“打九五折就是以原价的95%出售，打八五折就是以原价的85%出售。”在具体形象的生活情境中，学生能够较为轻松快速地理解百分数的概念的模型。接着，教师可设计问题：“假如一件商品原价240元，打八五折后是多少？”让学生拿起笔来进行计算，锻炼学生分析问题和解决问题的能力。最后，教师还可以引导学生开动脑筋利用百分数概念的模型，联想其他包含百分数的生活事物，并在此基础上设计数学问题，比如计算某种饮料中的含糖量、计算某件衣服中的棉含量等。

小学数学教师把课堂教学建立在具体的生活情境上，能够使学生经历真实、深度的认知体验。与理论化的数字、符号、公式相比，情境化的教学方法更加符合小学生的认知发展规律，能够使学生在大脑中构建清晰立体的数学模型，明确数学知识与生活问题之间的联系，深入理解现实生活中包含的数学模型。

（五）鼓励学生自主探究，解决实际问题

在数学学习中，小学生对教师有着一定的依赖性，在遇到困难的时候总想着向老师求助，缺乏独立解决问题的意识和能力。从建构主义的角度来看，学习应当是学生自己主动建构知识的过程，学生才是学习的主体，教师、教材、教学设备等都应当为学生的自主学习而服务。在高年级阶段，教师要加强对学生自主探究能力和解决问题能力的培养，引导学生自己去发现、探究和解决问题，使其养成良好的学习习惯，为他们未来的学习奠定基础。

例如，在教学《圆的周长》时，教师提出问题：“小明和小华开展了一场跑步比赛，小明沿着正方形路线跑，小华沿着圆形路线跑，正方形路线的边长为100米，与圆形路线的直径相等，结果小华赢得了比赛，但小明很不服气，认为小华跑的路程要短一些。你们认为这种说法对不对？”有的学生表示赞同，有的学生表示反对。教师引导学生思考：“两人跑过的路程可能不一样，但我们在分析问题的时候必须严谨认真，不能只靠眼睛来看，而是要经过精确的计算，请同学们分别计算小明和小华跑过的路程。”然后，为学生留出一段思考和探究的时间。在此过程中，教师要认真地进行巡视，了解学生的学习情况，之前已经学过了正方形的周长公式，所有的学生都能够算出小明的路线长度，即：100×4=400（米），但不知道该怎样计算圆形路线的长度。教师可鼓励学生自主探究圆的周长的计算方法。有的学生尝试对圆形进行切割、拼补；有的学生先在纸上画出一个圆形，用软尺来测量圆的周长，然后计算周长与半径、直径的关系；有的学生则尝试把圆形转化成已经学过的几何图形。学生们运用多种探究方法，发现圆的周长大约是直径的三倍多一点。这时候，教师可提出“π”的概念，进而引导学生总结出圆的周长计算公式：C=πd或C=2πr。在此过程中，学生通过自己的智慧和努力，在脑海中构建了形象直观的几何模型，使学习能力、解题能力得到有效提升，对圆的周长公式形成了深刻的理解和记忆。

五、 结论

综上所述，培养学生的建模能力是小学数学课程的重要目標，教师要明确建模能力对学生学习与成长的重要意义，深入理解建模能力的概念与构成要素，提高对建模能力培养的重视程度，将其融入日常教学过程中，树立明确的建模能力培养目标，引导学生在具体的情境中阅读分析、推理思考，从复杂的问题中提炼出抽象的数学模型，提升学生构建数学模型的能力，并让学生学会运用数学模型去分析和解决实际问题。学生建模能力的培养是一个长期的过程，教师要密切关注学生的发展情况，根据学情不断调整、优化教学方法，以此来推动学生建模能力的持续提升。

参考文献：

［1］包艳明.小学高年级数学建模教学现状调查研究［D］.长春：东北师范大学，2022.

［2］官爱萍.小学数学教学中建构数学模型的问题与对策［J］.亚太教育，2022（12）：94-96.

［3］邵玉凤.运用建模思想，培养学生数学思维［J］.河南教育（教师教育），2022（6）：64.

［4］张守清，渠洪晓.浅析如何帮助小学生构建数学模型［J］.科学咨询（教育科研），2022（5）：179-181.

［5］陈万林.多元建模有技巧，教无定法讲数学［J］.亚太教育，2022（1）：28-30.

［6］高杰.数学建模教学培养学生核心素养［J］.河南教育（教师教育），2021（9）：66-67.

［7］姜文，吕传汉.引导学生在数学建模学习中“长见识、悟道理”的思考［J］.数学通报，2021，60（6）：26-29.

［8］陈修臻.数学建模思想在小学数学教学中的应用研究［D］.济南：山东师范大学，2015.

［9］张钦.基于建模思想的小学数学教学设计研究［D］.淮北：淮北师范大学，2015.