把握单元整体脉络 构建精准复习课堂

■王竞进 唐崇明

一、问题背景

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》明确指出，改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。在此理念下，笔者尝试将课堂教学任务分为单元前建构、单元-课时和单元后建构三种类型，现以苏科版数学教材七（下）第十章“二元一次方程组”单元后建构为例，阐释单元整体教学视角下单元后建构教学的实践与思考。

二、教学目标

后建构课堂要求教师引导学生对已经掌握的知识进行重新建构，用一条知识结构主线将分散的知识串联起来，形成结构化的知识体系，让学生重新认知，形成思想方法，提升核心素养。因此，本单元的目标确定为：借助问题情境，让学生在自主活动的过程中主动构建本章的知识结构；经历“问题情境→建立模型→求解→解释与应用”的学习过程，加深理解相关数学知识；通过思考、交流等活动，体会类比、转化、整体等数学思想。

三、教学重难点

重点：二元一次方程（组）和二元一次方程（组）的解，正确建立数学模型解决实际问题；难点：二元一次方程组在实际生活中的应用。

四、教学活动设计

1.情境导入，梳理概念

问题1 五月阳光明媚、春暖花开，七年级225 名同学准备乘坐大客车和中巴车去九龙口春游，已知每辆大客车可乘坐45人，中巴车可乘坐30人，刚好坐满。请问大客车与中巴车各有多少辆？

师：这个问题，你能够解决吗？

生：设大客车有x辆，中巴车有y辆，根据等量关系，我们建立方程45x+30y=225。

师：你还想到了哪些知识呢？

生：二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

生：二元一次方程的一对未知数的值叫作这个二元一次方程的一个解。

师：一个二元一次方程一般有几个解？

生3：无数个。

师：结合实际情境，大客车和中巴车的数量有限制条件吗？你能解决问题吗？

生：x和y都是非负整数。利用枚举法，从最小的非负整数0 开始，给出x的值，然后求出符合条件的y值。

师：很好。但很明显这个方法的计算量比较大，还有更简单的方法吗？

生：我们可以将45x+30y=225 两边同时除以15，将其化简为3x+2y=15，再利用枚举法求非负整数解，计算上更加简便。

生：可以用含有x的代数式来表示y，即，因为y是非负整数，所以15-3x要能够被2 整除，则x是奇数，x可以取1、3、5，可 以 求 得 非 负 整 数 解 为

生：我们可以利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，求出方程有非负整数解时x、y的取值范围，然后进一步确定解。

【设计意图】以真实的情境——春游为背景，把知识的回顾与问题情境结合在一起。通过对情境问题的再创造、再解决，不断追问，复习二元一次方程及二元一次方程的解的概念。同时，通过对实际问题的分析、解决，归纳、总结求非负整数解过程中的一般方法。

2.问题解决，渗透思想

问题2 七年级225名同学准备乘坐大客车和中巴车去九龙口春游，已知每辆大客车可乘坐45人，中巴车可乘坐30人……

师：从这个生活实际问题中，你想到了什么数学问题呢？

生：可设大客车有x辆、中巴车有y辆，根据题意，可得一个二元一次方程45x+30y=225。

师：你能对这个问题添加适当的条件和问题，并加以解决吗？

生：一共安排了6辆车，刚好坐满，请问大客车与中巴车各多少辆？

生：根据条件可设大客车有x辆、中巴车有y辆，根据题意，可得一个二元一次方程组

（教师追问，引导学生完善二元一次方程、二元一次方程解的概念，进一步完善知识结构。）

师：我们解二元一次方程组的基本方法有哪些？你能解这个方程吗？

（请学生用两种不同的方法板演完成二元一次方程组的求解过程。）

师：解二元一次方程组的基本思路是什么？体现了什么样的数学思想？

生：把“二元”转化为“一元”，体现了转化的数学思想。

【设计意图】通过对情境问题添加条件，复习二元一次方程组的概念。再通过复习解二元一次方程组的基本方法，渗透转化思想，为学习多元一次方程组解法埋下伏笔。

3.典例分析，方法提升

问题3 解方程组：

师：我们该如何求解这个方程组呢？请两名同学用不同方法板演（求解过程略）。

师：他们的求解过程有什么不同？体现了什么样的数学思想？

生：第一种是直接化简，应用加减消元法或消元法；第二种应用了“整体”思想。

【设计意图】从问题3 中的方程组求解过程出发，帮助学生回忆含分母和含括号的二元一次方程组解法，引导学生发现这个方程组的整体特点，让学生感受整体思想。

4.自主探究，提升思维

问题4 同学们来到了九龙口，看到了商店里琳琅满目的商品，决定买点食物与饮料。下面是两名同学的对话。甲同学：我买了1 瓶饮料和3 份肉串共花了m元。乙同学：我买了2 瓶饮料和5 份肉串，比你多花了11元。

师：针对上述对话，你能提出哪些问题？你能运用所学知识解决这些问题吗？

生：设一瓶饮料x元、一份肉串y元，则

生：不能求得方程组的解，因为未知数有3个，而方程只有两个，所以求不出来。

师：如果请你来添加一个条件，你会怎么添加？能求出各自的单价吗？

（学生自主添加条件，展示求解过程。）

师：如果同学丙说，我买了1 瓶饮料、1份肉串，共花了7 元，现在你能求出饮料和肉串的单价吗？

生：根据丙的条件，可以得到x+y=7，得到关于x、y、m的三元一次方程组：

师：这个方程组你该如何求解？

（学生交流用两种不同的方法求解。）

师：两位同学解决这个问题的方法是什么？体现了什么样的数学思想？

生：消元法。先将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再将二元一次方程组转化为一元一次方程，体现了转化的数学思想。

【设计意图】通过开放性问题的设计，培养学生发现问题、解决问题的能力。学生通过一题多解，开拓思维，体会到解决含参问题的本质就是消元，加深对转化思想的认识。

5.学以致用，积累经验

问题5 在九龙口，同学们决定租船游湖。如果租3 艘大船、2 艘小船，则可以载21 人；如果租2 艘大船、1 艘小船，则可以载13 人。（1）请问每艘大船和小船各可以坐多少人？（2）七年级7 班共40 名同学参加，请问要怎么租船，可以使船刚好坐满呢？

师：问题（1）中，存在什么样的数量关系？我们可以通过什么方法使数量关系变得清晰？

（学生运用列表格法进行解答，求得每艘大船可以坐5人、每艘小船可以坐3人。）

师：问题（2）中，所蕴含的数量关系又是什么？你能列出方程吗？

生：设租了m条大船、n条小船，可得5m+3n=40。

师：这个方程隐含着什么样的条件呢？其实质是什么？

生：m、n为非负整数。

生：求二元一次方程5m+3n=40 的非负整数解。

学生计算，得出结果，5m+3n=40 的非负整数解为从而确定了解决方案。

所以，方案①：租大船5 条，小船5 条；方案②：租大船2条，小船10条。

【设计意图】延续情境，提出新问题，体现了数学来源于生活且应用于生活。学生面对实际问题，要能运用所学数学知识和方法，寻求解决问题的策略，增强数学应用意识。

6.反思提升，形成知识网络

（1）今天与大家复习了哪些知识？这些知识点分别蕴含着哪些数学思想和数学方法？

（2）二元一次方程和我们学过的哪些知识有内在联系？后续我们还会研究哪些方程？

（3）你能结合本节课所学，画出本章知识的思维导图吗？

【设计意图】通过对本节课的学习，学生复习了本章的核心知识，形成知识脉络，同时渗透转化、类比等数学思想；利用思维导图总结本章知识，完善知识框架，形成关于方程的知识结构，即实际问题→数学问题→构建方程（组）→解方程（组）→求出方程（组）的解→解决实际问题，感悟知识的整体性、结构性、关联性，激发学习的兴趣和动力，为后续分式方程和一元二次方程的学习作铺垫。

五、教学反思

1.基于学情，梳理结构，建构整体脉络

单元整体教学关注知识逻辑，注重学生发展，最大可能地促进学生能力发展和素养提升。单元后建构课堂更强调知识之间的整体性与关联性，需要对“单元-课时”课堂中零散的知识进行重组、整合与再构，而不是机械的简单回顾。因此，教师进行教学设计时，需要基于学生的学情，选择合适的问题情境，以核心概念为骨架展开问题设计，给学生留足思考时间，让学生经历数学知识的形成过程，通过适时的追问，将本单元内的基础知识、基本方法和思想联系起来，构建完整的思维导图。

2.基于思维，促进学生高阶思维发展

传统的复习课堂往往会出现两种误区：一是以例题、习题训练代替小结复习；二是以知识的简单罗列代替小结复习。这样会造成复习课堂是对前面所学知识的简单、机械重复，学生学习的积极性不高。数学是思维的科学，因此，在单元后建构课堂中，我们以学生的认知发展水平和已有经验为基础，处理好思维层次与知识探究的关系，着眼学生思维的不断提升与发展，通过对问题的不断设问、追问，调动学生积极思考，通过开放性问题的编拟、方法的探索，促使学生高阶思维的形成。

3.拓展提升，构建精准高效复习课堂

在单元后建构课堂的教学中，教师要灵活地根据问题情境，对其进行恰当的变式提升、开放性设问，对问题的条件进行增设与改编，促进学生深度思考，促使学生在知识结构、能力结构、方法结构中形成整体互通、系统关联的结构化知识。单元后建构课堂既要实现知识的系统化、结构化，也要生长出新的知识生长点，让知识结构能够在后续发展中可持续生长起来，从而达到培养学生能力，提高思维品质，发展核心素养的目的。