APOS 理论视角下高职高等数学概念教学研究

孙媛凤

抚顺职业技术学院（抚顺师范高等专科学校），辽宁 抚顺 113122

高等数学对学生的逻辑思维能力、创新创造能力的培养起着非常重要的作用[1]，为学生后续专业课程的学习提供了必要的支撑。高等数学概念教学是高等数学教学中的重要环节，把APOS 理论应用到高职高等数学概念教学中，有助于解决当前教学中存在的问题，提升课堂教学的效果。

一、高职高等数学教学中存在的问题

（一）学生数学基础薄弱

随着近几年国家大力发展职业教育，高职院校的招生规模持续扩大，生源结构也出现多样化的特点，高职学生既有参加全国高考考入的，也有参加单独招生考试考入的，还包括了三校生和五年制高职学生。学生的数学基础参差不齐，大都比较薄弱，数学入学成绩普遍偏低，对中学阶段所学的初等数学的一些基本概念和基本原理掌握得不够扎实，所以在学习高等数学时会遇到很多障碍。

（二）教学方法比较单一

在高职高等数学传统教学中，仍然是以教师“满堂灌”“一言堂”的教学方法占主导地位。尤其是对概念的教学，教师通过语言描述以及PPT 课件的演示来讲解数学概念，学生全程被动地听讲，始终是“受众”群体，教学氛围不够活跃。在这种以教师为主体的教学模式下，学生的学习积极性很难提高，学生只是被动地接受知识，他们只知其然而不知其所以然[2]。这样的课堂教学缺少师生互动，教师无法了解学生对概念的理解程度，也无法培养学生的独立思考能力以及学习的积极性、主动性和创造性。

（三）学生没有好的学习习惯

绝大多数高职学生在传统的教学方式下养成了被动学习的习惯，学习态度不够端正。他们对高等数学学习的重要性认识不足，缺乏主动学习的动力和兴趣，不愿意主动探索和思考数学问题。有些高职学生对高等数学存在恐惧或抵触心理，认为数学难学，从而对学习数学失去信心，形成恶性循环。学生在学习的过程中，没能发挥主观能动性，也没有参与到发掘新知识的过程中，对知识的理解只停留在表面，这些都不利于培养学生的发散思维能力。

二、高职高等数学概念教学与APOS 理论

（一）高职高等数学概念教学

高等数学的学习有“三个基本”，即基本概念、基本理论和基本方法，其中基本概念是数学的基石，是学好这门课程的基础[3]。我国著名数学家华罗庚曾说过：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。”很多学生解高数题时经常出现错误，其根本原因就是对相应的数学概念没有理解透彻。学生只有真正深刻地理解了基本概念，才能更好地掌握理论和方法，从而去解决实际问题。

对于刚刚进入大学的学生来说，高等数学与中学阶段的初等数学的主要区别是，数学概念与方法是不同的，甚至是全新的。高等数学的概念基本上都是动态的，是以运动的形式出现的，比初等数学的概念更加抽象，更不好理解。如果教师在学生建构新概念的过程中没有细致正确地引导，学生就会对概念的理解产生偏差，甚至是错误。所以教师在课堂教学中既要研究高职学生的认知规律，又要研究高等数学概念的学习特点，再选择适当的教学形式来进行概念教学。

传统的高等数学概念教学模式是教师详细讲解概念的定义，包括关键术语和符号的含义，然后通过具体的例子来解释概念的应用，帮助学生理解概念的实际意义，再介绍与概念相关的一些定理，并展示其证明过程，以加深学生对概念的理解。这种模式的优点是系统性强，能够帮助学生建立扎实的数学基础。然而，也存在一些局限性，例如可能相对缺乏灵活性和互动性，对学生的主动性和创造力的培养相对较少。而研究发现数学概念的学习应该是一个以学生为主体的主动建构的过程，教学方法需要结合更多的互动、探索和实际应用，以更好地满足学生的学习需求[4]。

（二）APOS 理论

美国数学教育家杜宾斯基在皮亚杰的“反省抽象”理论基础上提出的APOS 理论，是一种基于认知科学和建构主义理论的数学概念的教学模式[5]。APOS 理论认为学生学习数学概念时首先是要进行心理建构，这个建构过程需要经历四个阶段[6]：活动（Action） 阶段，这就是问题情境呈现阶段，通过具体的操作和实践活动来体验和感受数学概念，从而加深对概念的理解；过程（Process） 阶段，就是在经过对“活动”的反思之后，通过对思维的内化和压缩，抽象概括出数学概念的本质属性，在活动中经历概念的形成过程，从具体到抽象，逐步构建对概念的认识；对象（Object） 阶段，将概念作为一个具体的对象来理解和思考，认识到概念的本质和特征；图式（Scheme） 阶段，将概念内化，形成自己的认知图式，其中包含以上三个过程，并且能够灵活运用概念解决问题。

APOS 理论的实质是强调学生在学习数学概念时的主动建构过程。它认为学习不仅仅是知识的传递，更是学生通过自身的活动和思考来构建对概念的理解。APOS 理论为数学概念教学提供了一种动态、积极的方法，体现了学生在学习中的主体地位，强调了学生的自主探索和思考，让学生通过学习去发现数学的美[7]。

三、APOS 理论应用于高职高等数学概念教学的必要性

（一）符合学生的认知规律

APOS 理论强调学生的认知过程，与高职学生的学习特点和认知发展规律相符合。通过经历活动、过程、对象和图式四个阶段，学生能够更深入地理解和掌握数学概念。

（二）培养学生的数学思维

APOS 理论倡导的多种教学方法和活动，可以增加学习的趣味性和互动性，激发高职学生对数学概念的学习兴趣，提高他们的参与度。该理论有助于学生从具体的活动和实践中逐步抽象出数学概念，培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力，这对于他们未来的职业发展和终身学习都非常重要。

（三）增强概念的应用能力

APOS 理论注重将数学概念与实际应用相结合，使学生更好地理解概念的意义和价值，提高他们将概念应用于实际问题的能力。高职教育注重培养学生的实践能力和职业技能，APOS 理论的应用可以帮助学生更好地掌握数学知识，为其专业课程的学习和职业发展奠定基础。

（四）提升课堂的教学效果

运用APOS 理论要求教师更加关注学生的学习过程和体验，促使教师不断探索创新教学方法，提高教学质量。通过APOS 理论的引导，学生能够更有效地构建数学知识体系，加深对概念的理解和记忆，从而提升教学效果。

总之，将APOS 理论应用于高职高等数学概念教学是必要的，可以提高学生的学习兴趣和效果，培养他们的数学思维和应用能力，使他们更好地适应高职教育的培养目标。

四、APOS 理论视角下高职高等数学概念教学设计策略

（一）创设情境，引入概念

这是APOS 理论中的第一阶段——活动阶段。APOS 理论认为，在教学过程中教师只是教学活动的组织者和引导者，而学生才是学习的主体[8]。在引入概念时，教师应从高职学生的认知规律出发，遵循直观性原则，创设出与实际问题相关的问题情境，即设置合适的“活动”。高等数学中的很多概念都有相应的几何、物理、化学或经济背景，对于不同的数学概念应选取相应的背景来引入。例如极限的概念教学可以用“人在路灯下的影子变化”、刘徽的“割圆术”和《庄子天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”引入；导数的概念教学可以用“变速直线运动的瞬时速度”“曲线切线斜率”“非恒定电流的电流强度”引入；微分的概念教学可以用“地板块变形后面积的变化”和“物体自由落体运动的路程”引入；不定积分的概念教学可以用“刹车路程”和“由斜率求曲线方程”引入；定积分的概念教学可以用“变速直线运动的路程”和“曲边梯形的面积”引入。此外，对于财经类专业的学生，也可以引入一些经济数学的相关案例。在教学活动中，教师也可结合图形、表格和数学软件来引导学生，通过这些“活动”让学生了解概念的直观背景，在亲身经历中感受概念，提高学生学习数学的兴趣，让学生主动建构、独立思考，对问题进行整理、分析和归纳，为后面的表述概念做好充足的准备。

（二）探究归纳，表述概念

这是APOS 理论中的第二阶段——过程阶段。学生通过“活动”已经对所要学习的概念有了初步的认识，接下来就需要进一步探究分析，表述出准确的概念。学生掌握的概念通常可以分为两类：一类是日常概念，另一类是科学概念。科学概念是在教学中系统地使学生在熟悉有关概念内涵的条件下所掌握的概念。高等数学中的概念都是科学概念。这就需要教师引导学生把意识中的日常概念逐步提高到科学概念的水平。教师要引导学生对“活动”进行反思，概括出学习同一概念时所举的几个引例的共性，总结出规律，抽象出概念的本质特征，由特殊到一般，类比分析，总结归纳，形成概念。教师在引导时，为了表述概念的准确性和严谨性，要让学生注意概念成立的前提条件，考虑是否需要分几种情况来进行描述，还要培养学生使用标准的数学语言或数学符号来表述概念。例如极限概念的表述，教师首先要引导学生用数学语言描述出来，再用数学符号来进行表示，可以结合图形，让学生直观感受到自变量在某种变化趋势下函数值逼近某一常数值，进一步抽象出极限过程[9]。在教学活动中要充分发挥学生的主观能动性，教师可以组织学生进行分组讨论，让学生积极思考和交流，促进学生的思维碰撞，加深他们对概念的理解。

（三）启发对比，剖析概念

这是APOS 理论中的第三阶段——对象阶段。通过前面两个阶段的学习，我们已经认识了概念的本质，并给予了精确的表述，现在我们把数学概念上升为一个独立的、具体的对象来处理。在教学活动中，要引导学生明确概念的定义和关键特征，注重分析解剖数学概念中精练的语言和所使用的符号的含义，还要分析概念所适用的范围和条件，并与其他相关概念联系与比较，突出概念的独特性，避免混淆，进而深挖概念的内涵和外延。以函数的极限概念为例，教师应强调极限的关键特征，如趋近过程、极限值的唯一性等，对比函数的极限与数列的极限，突出函数极限中自变量的连续变化与数列极限中项数的离散变化的区别，介绍函数极限在微积分中的重要性，如导数的定义、连续性的判断等。在高等数学的学习过程中，要始终注重对数学概念的剖析，不断进行完善和补充，从而形成一个内在统一的数学概念体系，进一步培养和发展学生的数学思维能力。

（四）知识建构，应用概念

这是APOS 理论中的第四阶段——图式阶段。经过前面三个阶段的螺旋式渐进上升学习过程，此时学生头脑中已经形成了完整的概念综合心理图式。在这个阶段的教学活动中，教师可以引导学生制作概念图或思维导图，将新概念与已有知识体系相联系，建构出完整的知识网络。例如，在学生学习了定积分概念后，可以让他们将极限、导数、积分等概念联系起来，制作思维导图，展示它们之间的关系和应用场景。在训练学生应用新概念时，教师要通过对一些实际案例的讲解，来揭示概念在解决实际问题中的意义。例如，运用导数概念来分析经济增长模型、物理运动问题等，让学生可以更好地理解概念的实际意义和应用价值。教师也可以设计一些综合性的项目，要求学生分组完成任务，运用多个概念解决实际问题。例如，让学生设计一个实验来测量物体的体积，其中可能涉及积分、导数、几何学等多个概念的综合应用。教师还可以引导学生将数学概念应用于数学建模中，应用数学软件解决现实世界中的问题。例如，利用微分方程建模来描述生态系统的动态变化。通过以上图式阶段的教学活动，学生能够将新概念逐渐融入已有的知识体系中，建构出完整的知识网络，多维度掌握知识概念[10]，并在实际问题的解决中巩固对概念的理解和运用能力。

综上，将APOS 理论应用到高职高等数学概念教学，是一种创造性活动，教师在教学中要把握学生学习数学的心理和思维状况，引导学生积极参与探究分析问题，及时排除学生遇到的学习障碍，有利于提高学生学习高等数学的兴趣和主动性，有助于培养学生的综合素养和解决问题能力，为他们在高等数学及其他领域的学习和研究奠定坚实的基础。