初中数学教学的变式法则

艾新明 童亚平

变式教学是教师通过不断变化题目的形式，挑战学生的思维习惯，促使他们寻找解决问题新途径的教学策略。这种教学策略不但能加深学生对数学概念和定理的理解和记忆，而且能培养学生的逻辑思维能力、问题分析能力和创新思维能力。在变式教学中，学生需要识别问题的本质，寻找不变的核心要素，这种能力的培养对于学生的长远发展极为重要，而且，面对不断变化的题目，学生的好奇心和探索欲得到满足，学习会更加主动。此外，通过解决各种变式问题，学生能够不断巩固和深化所学知识，提高学习效率。笔者以初中数学代数板块、几何板块、函数板块的内容为例，阐述变式教学的法则。

一、       “变则新”法则

变式教学有利于学生在课堂教学中不断拓宽知识视野，潜移默化地接受创新意识的培养，也有利于教师落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》中加强数与代数的整体性和一致性的要求。代数是初中数学教学的重要组成部分，其抽象性和逻辑性要求学生不仅要理解公式和定理，还要灵活应用它们解决问题。在讲解“乘法公式中的平方差公式”这节课时，笔者依据7～9年级学生的年龄特征、认知特点，结合大单元教学理念，不断呈现变化的题型，让学生真切体会数与式的完美统一。

原题是“运用平方差公式计算：（4x+3）（-3+4x）”。为发散学生思维，笔者这样引导学生变式，首先，用（a-b）表示（-b+a），原式就变为（4x+3）（4x-3），同理，（3+2x）（-3+2x）可变式为（3+2x）（2x-3）。在此基础上，笔者引导学生通过合理变形，运用平方差公式计算两位数乘法“51×49”。有了前面的变式基础，学生很快将“51×49”变为“（50+1）（50-1）”，避免了繁杂的计算过程。为拓展学生的变式思维，笔者出示了“（a-2）（a+2）（[a2]+4）”，学生立即发现“（a-2）（a+2）”可合并为“[a2]-4”，所以原式可变为“[（a2]+4）（[a2]-4）”。在此基础上，笔者又出示“（x+y+z）（x+y-z）”，让学生借助平方差公式解决这个多项式问题。经过思考，学生将原式转化为“[（x+y）+z）] [（x+y）-z）]”。

这几个变式由浅入深，由简单到复杂，可以让学生发现只有外在表现形式在变，公式的内在结构保持不变，从而深入理解平方差公式的结构特征，熟练运用平方差公式进行计算。实践证明，这样变式让学生的数学视野更为开阔，数学思维得以发散。

二、“变则睿”法则

“变则睿”是教师以条件中某“一个点”为切入点，引导学生从不同角度解决同类数学问题，以分解题目难点，疏通解题思路，提高发散思维能力。

数学学习能力的高低主要体现在解决数学问题的能力上，“双减”政策鼓励“少而精”的训练，因此，教师可以通过从不同角度分析一道题或一类题，引导学生一题多解，掌握多种解题方法，促使学生在解决一道题的过程中学会解决一类题的方法，培养举一反三的发散思维能力，最终达到“增效减负”的目的。

例如，在“圓与三角函数”习题课的教学中，笔者借助如下例题开展变式教学活动。

例题  如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分别与边AB、AD、DC相切，切点分别为E、G、F，其中E为边AB的中点。若AD=3，BC=6，求tan∠AEF。

在教学实践中，将一道繁难的数学题分解成若干个层层递进的简单问题是一种特殊的变式。根据已知条件，解答这道题难度较大，很多学生都有畏难情绪。基于学情，笔者将题目进行拆解，设置层层推进的问题，帮助学生克服畏难心理，养成阶梯式解决问题的思维习惯。

问题1  图中有哪些基本图形？

问题2  依据AD=3，BC=6，你认为可以解决哪些线段长度的问题？还可以用哪些方法解题？

问题3  你有哪些求tan∠AEF的方法？

笔者将原题拆解为以上三个问题。其中，前两个问题比较简单，学生可以比较容易地在问题的引导下求出圆的半径，切线DG、DF、CF等长度，为后续解答做铺垫。在解决变式问题3时，笔者引导学生自主思考、小组交流，学生给出了不同的解法，笔者引导学生比较各种解法的优劣，最终确定了以下三种相对优化的方法。

解法1  如图2，过点D作DP⊥BC于点P，过点F作FM⊥AB于点M，交DP于点N。

这种辅助线的做法比较直接，构造出含有待求角的直角三角形，然后通过反复解直角三角形解决问题，但对题中含有的基本图形没有充分利用，解决问题的过程略显费力。

解法2  如图3，延长AD、CB与直线EF交于点P、H。

这样构建辅助线基于两点：①将∠AEF放在直角三角形中，∠A为直角；②解决tan∠AEF的实质是解决线段的比值问题，而题中有平行线，所以要构造“X型”图或“A型”图来解决问题。

解法3  如图4，延长BA、CD交于点M，再连接OE、OM。

由于题中切线很多，我们可以从切线长定理入手解读，如E、G为切点，学生很容易想到切线长定理。据此，笔者引导学生进一步思考，若E、F为切点，如何建立切线长定理的模型。这样构建辅助线不仅体现了在圆的背景下切线长定理的运用，更巧妙地将∠AEF转化为∠MOE，进而方便求解。

这样变式可以让学生掌握多种解决问题的方法，并且通过比较不同方法的优劣，养成批判思维习惯。

三、“变则通”法则

“变则通”就是教师从不同的角度改变教材例题的呈现方式，如增加条件或减少条件，由简单到复杂，由特殊到一般等，引导学生从不同的角度认识知识的本质属性。

函数是初中数学的重要内容，笔者以“一次函数的概念”变式教学为例谈谈变式教学在促进学生理解函数概念、提升学生解题技能方面的运用。

例题  某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km，气温下降6℃。登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温为y℃。你能用函数解析式表示y与x的关系吗？它是正比例函数吗？

笔者从学情出发，结合不同的实际情境设计变式问题，如物理学中的弹力问题、生活中的经济问题等，帮助学生深入理解一次函数中两个变量所满足的关系，更好地掌握一次函数的概念。

变式1  一个弹簧不挂重物时长12cm，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比。挂上1kg的物体后，弹簧伸长2cm。表示弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系。

变式2  某种电话套餐的月金额y（单位：元）包括月租费22元和拨打电话x分钟的计时费（按0.1元/分钟收取）。表示出y与x关系。

变式3  在某火车站托运物品时，不超过1kg的物品需付2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计算）需增加托运费0.5元。设托运pkg（p为整数）物品的费用为c元。试写出c与p的关系。

以上变式问题的介入，有利于学生将一次函数的概念与实际情境相联系，更深刻地理解和掌握一次函数的概念，增强解决实际问题的能力。限于篇幅，不再详解。

变式教学通过不断改变题目的形式和条件，让学生不再仅仅依靠公式、定理解决问题，而是通过深刻理解数学概念本质解决问题，从而培养学生的思维能力和创新能力，为学生的全面发展和终身学习奠定了坚实的基础。

（作者单位：武汉市江夏区教学研究室）

责任编辑  吴锋