项目式学习在初中数学“综合与实践”领域的应用

吴香秀

习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会开幕会上强调：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之！ ”以数学史为例，为学科带来翻天覆地变化的数学家屈指可数．我们必须找到下一代人中那极少数的顶尖人才，从小培养他们，才有可能解决高精尖领域“卡脖子”的问题、推动中国科学大跨步发展．

由此可见，人才的培养，特别是数学顶尖人才的培养对国家，世界的进步是至关重要的．那作为中学数学老师该怎么培养数学顶尖人才呢？我想在初中数学课堂中开展项目式学习是一个很有效的措施．通过项目式学习方式，学生能够在挑战性问题的驱动下，自主设计解决他们真正关心的现实生活中的问题．在学习过程中进行资源查找、归纳整合、独立思考、互相交流、接受、反思、再整合、给予同伴评价，获得知识与技能．培养学生通过信息技术获取学习资源的能力，自学能力，语言表达能力，创新能力等，真正落实核心素养．下面就北师版七年级上册综合与实践“探寻神奇的幻方”为例阐述怎样开展项目式学习．

1 项目式学习的步骤

通过教学实践总结出项目式学习应用于初中数学“综合与实践”的合理实施步骤，分别是选取项目主题、确定项目目标、设计驱动问题、项目活动实施和项目成果评价五个部分．

1.1 选取项目主题

开展项目式学习首先要确定研究的主题．教材中不是所有内容都适合组织项目式学习，在实践中要选择那些与学生生活密切相关、学生感兴趣和可操作的内容作为项目式学习的主题[1]，比如初中数学中的“综合与实践”内容，涉及数学知识多，涵盖面广，更适合作为项目式学习的主题．

1.2 项目目标确定

在确定项目主题后，教师要根据课程标准对项目目标进行拆解，包括学科目标、核心素养目标和成果目标三部分．对于如何从核心素养目标到项目式学习目标，夏雪梅认为有两种表述方式：分散型的表述可以更加详细地解释每一个目标，使学生更容易理解和掌握；整合型的表述则更注重整体把握，将大概念、核心知识等整合成统整的表述．

1.3 驱动问题设计

适宜的驱动性问题是基于对本质问题和任务的充分思考打磨出来的最佳表达，依次为切入点引导学生打开思路，不断发现问题、提出问题，将其联系起来，指引项目方向．

1.4 项目活动实施

首先在启动项目阶段应该以始为终，通过时间轴把控项目实施过程，即事先告知学生本项目所要完成的产品，围绕终极目标，逆向思考做出规划；其次在项目实施过程中教师要以项目的阶段性产品为目标，细化问题和支架，确保项目实施中学科教学的质量；最后项目结束的标志是发布产品，这既是学生分享项目成果的过程，同时也是学生思维碰撞、理解学科本质的过程，更是提升学生数学学科核心素养的关键环节．

1.5 项目成果评价

在项目式学习中，评价的重点是学生自己完成的作品和过程，是对学生实际能力的检测和评估．教师要根据项目任务制定评价方法和评价工具．包括对探究活动过程、阶段性成果、成果汇报交流和项目成果展示等的评价．要根据过程与成果特点确定评价方式，制定评价量表[2]．

2 以综合与实践课“探寻神奇的幻方”一节实施项目式学习

2.1 选取项目主题

幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法，是学生比较熟悉、比较感兴趣且有一定感性认识的內容，它与“有理数的运算”及“字母表示数”有密切联系．在此之前，可能部分学生对利用1～9九个数构造三阶幻方的方法有初步的了解，但可能并不太清楚其中的数学道理．因此这个主题很容易激发学生的研究兴趣．

2.2 项目目标确定

本节内容综合运用有理数混合运算、字母表示数及其运算，探索三阶幻方的本质特征；学生经历观察、猜想、归纳、类比等活动，初步积累构造三阶幻方的经验；通过对蕴含在具体事务中的规律性结论进行分析和解释，初步获得“由特殊到一般”的探究问题的方法和经验；进一步体验合作交流、自主探究的学习方式；能够撰写完整的调查报告，复盘在实践过程中的收获．

2.3 驱动问题设计

任务1 课前准备．

驱动问题1 请同学以小组为单位，上网查阅幻方的相关知识，课堂上与同学分享．

任务2 发现并提出问题．

驱动问题2 关于幻方，你发现了什么规律？你能提出那些问题？

任务3 分析并解决问题．

驱动问题3 对于小组同学提出的问题，同学们知道其中的道理吗？

任务4 总结并反思问题．

驱动问题4 关于幻方，同学们能总结那些规律呢，对于整个研究过程，进展顺利吗？有没有需要改进的地方呢？

2.4 项目活动实施

驱动问题1 交流课前查找的资料，小组代表发言．

各小组代表分别从幻方的历史、分类，简单介绍了幻方的相关知识．引出本节课课题《探索神奇的幻方》．

驱动问题2 如图1，以三阶幻方为例，你发现了什么？

小组1 我们发现很多相等关系，例如，每行、每列、每条角线上的三个数之和都相等为15．

小组2 所以对于任意一个幻方，只要求出幻和（所有数字之和），再除以行数，就可以求出每行或者每列的数字和．

驱动问题3 如果把每行或者每列或者每条对角线上的三个数字看成是一个三位数，你发现每条线上的三位数和它的逆转三位数，有什么数量关系吗？小组合作交流．

小组3 把每列数字看出一个三位数，则这个三位数之和等于他们的逆转数之和

276951438672159834（1665）++=++=．

这三个三位数的平方和等于他们逆转数的平方和

222222（2769514386721598341172421）++=++=．

对行来说也有类似相等关系．

小组4 把中间一行、中间一列、每条对角线上的数字看出一个三位数，则每个三位数与它的逆转数字之和都等于1110（因为357753951159+=+=

2588524566541110+=+=）．

驱动问题4 如果把和相等的每一组数分别连线，这些连线段会构成一个怎样的图形？描述你得到的图形有什么特点．

小组5 构成的如图2所示的图案，“5”在中间，四个角上的数是偶数，其余是奇数．

驱动问题5 请问5为什么在最中间呢？有没有成对的数呢？有小組合作交流．

小组6 有4对“成对”的数：4和6，9和1，2和8，7和3．

小组7 我们写出所有三个数和为15的算式：

共8个算式，其中5出现的次数最多，在4个算式中出现，而中间位置的数字与4条线段相关联，因此正中间位置的数必定是5．

小组8 如图3，将9个数分别用abcdef，，，，，，ghi，，表示．因为1～9这9个数的和是45，所以每行、每列、每条对角线上的三个数之和都是15，即四式相加，得

小组1 如图4，设中间一格的数为x，由于每列、每条对角线上的三个数之和都等于15，因此两条对角线上的三个数之和与第二列上的三个数之和相加得45，其中x出现3次，第一、三行的数均各出现一次，3215315x+×=×，所以5x=．

驱动问题6 中间位置上的数字是5，那其他位置上的数字怎么确定呢？四个角上的数字一定是偶数吗？

小组2 因为奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，5填在最中间，2和8，4和6，3和7，1和9应配对出现在5周围，如果四个角上填奇数（如图5），则其他四个填偶数，我们可以看到第一行的和、第三行的和、第一列的和、第三列的和都是偶数，而题目要求三个数之和为15，15为奇数，这与题意不符，如果四个角上是一对奇数、一对偶数（如图6），则剩下的四个格中也应该是一对奇数、一对偶数，此时我们可以看到第一行的和、第三行的和都是偶数，这同样与题意不符．如果四个角上都填偶数（如图7），则剩下的四个填奇数，这符合题意．

驱动问题7 除了如图1的解法，能否改变上述幻方中数字的位置，使他们仍然满足上述的那些相等关系？

小组3 将图8中的解逆时针旋转90180270，，，可以得到3个新解（图9）．

小组4 将图8做四条直线（如图10的轴对称，又得到4个新解（如图11-1、图11-2、图11-3、图11-4），所以总共有8个解．

驱动问题8 你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应怎样把九个数填入三阶幻方？小组合作、交流、讨论，并发表看法．

驱动问题9 你还有什么新的猜想？

驱动问题10 以信息技术为依托，关于幻方及其相关问题，还有什么不一样的解法？请同学们借助网络，以小组为单位，查找资料，进行探究并汇报成果．

2.5 项目成果评价

包括过程性评价和总结性评价，具体如下表1