基于自耦PD的四旋翼无人机轨迹跟踪控制

梁洪基, 李俊丽, 张元耀, 陈河江, 王安琪

昆明理工大学 信息工程与自动化学院, 云南 昆明 650504

随着无人机技术的快速发展,四旋翼无人机因其操纵灵活、可维护性高等优点引起了大家广泛的关注,并逐渐在农业、军事等多个领域得到了应用。四旋翼无人机是一个典型的欠驱动、强耦合、非线性系统,且在飞行过程中极易受到外界干扰。因此,进一步提升四旋翼无人机的飞行控制技术是当前亟待解决的难题。

针对四旋翼无人机轨迹跟踪控制问题,国内外学者已提出多种控制方案,诸如反步控制[1]、神经网络控制[2]、模型预测控制[3]、自适应控制[4]、滑模控制[5]等。但是,这些控制算法的设计难度往往较高,难以实现广泛应用。传统PID控制因其结构简单、便于实现等优点,目前仍占据着市场的主导地位。由于传统PID参数整定较难,且存在着超调和快速性之间不可调和的矛盾,张镭等[6]设计了一种模糊PID控制器参数在线自适应,并在四旋翼的姿态控制仿真实验中验证了有效性;Mofid等[7]提出了一种滑模PID控制策略,能够有效进行四旋翼无人机轨迹跟踪控制,但同样不可避免的会出现超调。这些基于PID的改进策略虽然一定程度上提升了控制器性能,但增加了PID增益参数在线优化计算量,提高了控制器设计过程的复杂度。

为了解决传统PID控制在快速性和超调之间不可调和的矛盾,同时也为了纠错传统PID御用概念,曾喆昭等[8]提出了一种自耦PID(Self-coupling PID,SCPID)控制理论。SCPID科学地遵循了量纲匹配原则,将传统PID的3个可调参数耦合成一个速度因子,极大地降低了调参难度。鉴于目前自耦PID(包括自耦PI和自耦PD)控制理论在应用层面的研究仍较少,本文拟采用自耦PID控制思想来研究四旋翼无人机轨迹跟踪控制问题。

针对以上研究的不足,根据曾喆昭等[9]提出的总和扰动思想,本文将四旋翼无人机位置环和姿态环中各控制通道的已知或未知扰动和外界干扰等复杂因素定义为总和扰动,进而将四旋翼无人机由一类不确定非线性系统映射为一类未知线性系统,从而构建各控制通道的受控误差系统,设计各控制通道的自耦PD(Self-coupling PD,SCPD)控制律;本文提出一种基于误差的自适应速度因子模型,在保证各控制通道具有较快响应速度的同时,增强了四旋翼无人机系统整体的抗扰动鲁棒性。

1 数学模型

由于四旋翼无人机建模过程较为复杂,要考虑的因素太多,为了简化问题,对数学仿真模型做出如下假设:

①假定四旋翼无人机是刚体;

②机体几何中心即为机体坐标系原点,且与质心保持一致;

③四旋翼无人机的结构绝对对称,且各部位质量分布均匀,飞行中质量保持不变;

④地球表面是平的,忽略自转与公转,地面坐标系视为惯性坐标系,且重力保持不变;

⑤运动过程进行低速小角度飞行,其所受阻力与线速度成正比;

⑥四旋翼单个旋翼所产生的升力与电机转速的平方成反比。

综上,通过牛顿第二定律和旋转角欧拉方程可得四旋翼无人机的数学模型(详细的建模过程可参考文献[10]):

(1)

(2)

式中,U1、U2、U3、U4分别为控制四旋翼无人机的垂直、滚转、俯仰和偏航运动的输入控制量;Fi(i=1,2,3,4)分别是4个旋翼电机旋转所产生的升力;Mf i(i=1,2,3,4)分别为空气阻力对无人机各个旋翼产生的反作用力矩;L表示旋翼到四旋翼无人机重心的距离;ki为四旋翼无人机在x、y、z三个方向上的阻力系数;φ为滚转角,θ为俯仰角,ψ为偏航角;m为四旋翼无人机的质量;di为系统各控制通道存在的不确定性和外部干扰的总和;I表示四旋翼无人机在机体坐标系下的转动惯量;g为重力加速度。

由于四旋翼无人机的非线性、欠驱动、强耦合特性,控制量无法确保四旋翼无人机6个自由度的所有变量独立跟踪控制。因此,本文的控制目标为通过设计SCPD位置控制器和SCPD姿态控制器,实现四旋翼无人机对输入的期望信号(xd,yd,zd,ψd)T的精准跟踪,同时确保俯仰角θ和滚转角φ在小角度范围内保持稳定。

2 控制器设计

2.1 控制系统整体设计

四旋翼无人机飞行控制系统采取双闭环控制策略,即外环为位置环,内环为姿态环。位置环主要用于维持无人机在惯性坐标系下的轨迹跟踪,姿态环主要用于实现无人机的空间运动和机身稳定控制。四旋翼无人机飞行控制系统框图如图1所示。

图1 四旋翼无人机飞行控制系统

2.2 SCPD控制器设计

为便于分析,对式(2)中部分可测量参数做定义:

(3)

对式(2)中各控制通道内部状态做定义:

(4)

将式(3)、(4)代入式(2)中,可将四旋翼无人机的各控制通道改写为

(5)

根据曾喆昭等[9]提出的总和扰动思想,将各控制通道已知或未知动态和外部扰动等因素分别定义为总和扰动。即

d=fj+di,

(6)

式中,fj(j=x,y,z,φ,θ,ψ)为各控制通道的已知或未知动态,di(i=1,2,…,6)为各控制通道的外部扰动因素。结合式(5)、(6)可知,四旋翼无人机的6个控制通道均可写为

(7)

式中,y是系统的实际输出轨迹,y1和y2是系统的两个状态,b0≠0是控制系数,d为各控制通道的总和扰动。

由此,将四旋翼无人机各控制通道定义为式(7)的形式,并将四旋翼无人机由一类不确定非线性系统映射为一类未知线性系统。

以式(7)所示的系统进行控制系统的设计与分析,定义跟踪误差为

e1=r-y,

(8)

式中,r为给定期望轨迹,y为实际输出轨迹。定义跟踪误差微分为

(9)

定义跟踪误差的积分为

(10)

根据式(8)、(9)可定义受控误差系统为

(11)

显然,式(11)是一个在总和扰动反向激励下的受控误差系统。根据曾喆昭等[8]的SCPD控制思想,设计SCPD控制器模型为

(12)

式中,Zc>0是SCPD控制器的速度因子,量纲为s-1;b0≠0是控制系数,不要求精确估计。

2.3 控制系统分析

借鉴曾喆昭等[9]对SCPID控制器稳定性分析方法,本文对由SCPD控制器所组成的四旋翼无人机闭环控制系统作如下分析。

2.3.1系统稳定性分析

定理1 当且仅当速度因子Zc>0时,由式(12)定义的SCPD控制器所组成的四旋翼无人机闭环控制系统是大范围稳定的。

证明将式(12)所定义的SCPD控制器代入式(11)的受控误差系统,可得闭环控制系统:

(13)

考虑控制系统在初始状态下所满足的条件为

(14)

对式(13)进一步整理可得

(15)

根据式(16)所示的拉普拉斯变换定理

(16)

对系统(15)取单边拉普拉斯变换,可得

(17)

对式(17)进行整理,可得

(18)

根据式(18),定义系统零输入响应为E1x(s),零状态响应为E1f(s),即

(19)

综上,可得控制系统的闭环传递函数为

(20)

显然,当Zc>0时,控制系统的闭环传递函数在复频域左半平面有唯一的二重极点,因此闭环控制系统(13)是大范围稳定的,整个由SCPD控制器所组成的四旋翼无人机飞行控制系统也是全局渐近稳定的。

2.3.2系统鲁棒性分析

定理2 设控制系统总和扰动有界|d|<+∞,当且仅当Zc>0时,由SCPD控制器所组成的闭环控制系统具有良好的抗总和扰动鲁棒性[11]。

证明根据式(18)—(20),可将控制系统改写为

E1(s)=E1x(s)-H(s)D(s)。

(21)

由系统(20)可得单位冲激响应为

h(t)=-te-Zct,t>0,

(22)

闭环控制子系统(21)的时域解为

(23)

将式(22)代入式(23)可得

(24)

由式(24)可知:当Zc>0时,则必有

(25)

即,当系统满足Zc>0且总和扰动有界时,闭环系统原则上可以向稳定无限趋近,可以实现抗扰动控制。因此,闭环控制系统(21)具备抗扰动鲁棒性,由SCPD控制器所组成的四旋翼无人机飞行控制系统也具备抗扰动鲁棒性。

2.4 自适应速度因子

在总和扰动有界(|d|<+∞)且速度因子Zc>0的条件下,由SCPD控制器所组成的闭环控制系统具有大范围鲁棒稳定性和抗总和扰动鲁棒性。但是在控制过程中,为了实现更优的动态响应性能和更高的稳态控制精度,避免系统在初始响应阶段产生过大的超调和震荡,基于各控制器的输入误差量,设计速度因子Zc的自适应规则:

①当误差量增大时,使速度因子Zc减小,避免因积分环节的累积运算而引起系统超调量过大或是震荡现象。

②当误差量减小时,使速度因子Zc增大,以增加各环节的控制力,提高控制系统的稳态精度,增强系统的抗干扰能力。

所设计的自适应速度因子模型为

Zc=Zcxe-α|e1|,Zcx>0。

(26)

当系统跟踪误差逐渐趋于零时,速度因子Zc近似等于Zcx,即系统的动态品质和稳态精度均主要由Zcx所决定,因此定义Zcx为品质因子;在跟踪误差变化过程中,参数α主要影响速度因子Zc对误差变化的敏感度,当参数α较大时,较小的跟踪误差变化量即可引起速度因子Zc较大的变化,因此定义α为灵敏度因子。

在控制器参数整定过程中,灵敏度因子α在较小的范围内粗略调整即可,无需精确估计,只需对品质因子Zcx进行参数整定即可。

3 仿真分析

为了验证所设计SCPD控制器的有效性,通过四旋翼无人机的定点悬停控制、轨迹跟踪控制、抗干扰性能测试,将SCPD控制器与传统PID控制器、滑模控制器进行仿真对比分析。

仿真实验中使用的四旋翼无人机模型相关参数见表1。

表1 四旋翼无人机模型参数

根据SCPID控制理论,控制系数b0≠0,且不要求精确估计,因此所设计各控制通道的SCPD控制器控制系数均取值为1。各控制通道所设计的自适应速度因子以及对比实验中传统PID控制器相关参数见表2。对比实验中的滑模控制器参考了文献[12]中滑模控制律的设计方案。在下文的定点悬停控制实验、轨迹跟踪控制实验中,3种控制器的相关参数均保持不变。

表2 SCPD控制器自适应速度因子及传统PID控制器相关参数

考虑到实际工程应用中普遍存在执行器饱和现象,需要对输入控制量进行限幅,因此,仿真实验中将四旋翼无人机的4个控制力U均限幅在区间±10内。

3.1 定点悬停实验

设四旋翼无人机初始位置为三维坐标原点,设期望位置坐标为(0.1,0.1,0.5)m,运动过程中期望偏航角一直保持为0 rad。为了对比验证控制系统的抗干扰能力,在t=15 s时刻,添加幅值为0.1的阶跃扰动信号,持续时间为1 s,将SCPD与传统PID以及滑模控制(SMC)进行控制效果仿真对比,定点位置跟踪曲线如图2所示,姿态角变化曲线如图3所示。对图2中的四旋翼x控制通道的仿真结果进行数据量化,相关数据如表3所示。

表3 四旋翼x通道仿真数据

图2 定点位置跟踪曲线图3 姿态角变化曲线

由图2、3可以看出,三种控制器均可以实现四旋翼无人机的定点悬停控制,且稳态响应误差均为0。SCPD控制和滑模控制所体现出的抗干扰性能不相上下,但滑模控制的动态响应速度极慢;传统PID控制的响应速度虽优于滑模控制,但超调量过大,且抗干扰性能较差;而基于SCPD控制器的系统上升时间最短,未出现明显的超调,且抗干扰性能良好,具有较好的动态响应性能。

由表3可知,在系统初始阶段,SCPD控制器的上升时间较传统PID控制器降低了0.962 s,较滑模控制器降低了9.71 s,响应速度有了显著提升;在超调量方面,与传统PID控制相比超调量降低了15.6%,仅剩0.2%,略微高于滑模控制系统;受到干扰信号的影响后,SCPD控制系统产生的超调量仅为0.3%,较传统PID控制系统降低了16.6%,抗干扰性能也显著增强。

虽然该实验中滑模控制所体现出的抗干扰性能略微优于SCPD控制,但滑模控制的系统响应速度过慢,极大地影响了四旋翼无人机的飞行品质;整体而言,SCPD控制器既表现出了明显的响应速度优势,又具备较强的抗干扰性能,优于传统PID控制和滑模控制。

系统虚拟控制输入量变化曲线如图4所示。由图可知,在输入受限条件下,3种控制方案的系统控制输入量均受限在±10范围内,相较于传统PID和SCPD控制器,滑模控制系统在受到干扰信号时,系统输入控制量出现了过激的情况,在物理硬件中,可能会因为瞬时电流过大而给机械设备带来一定的负面影响。

图4 控制输入量变化曲线

综上,基于SCPD控制器的系统具有最优的动态响应性能和较强的抗干扰性能,控制品质最优。

3.2 轨迹跟踪实验

实验设期望跟踪的轨迹为{5cos(0.5t),5sin(0.5t),0.25t}m。考虑到四旋翼无人机在飞行过程中极易受到干扰,在仿真运行15 s时,为x、y、z三个控制通道添加外部风场、参数不确定性以及未建模动态等复杂因素所产生的总和扰动力矩[13]如图5所示,其值为

图5 总和扰动力矩

d=0.045sin(2πt-3)+0.09sin(2πt+

7)+0.135sin(0.5πt-9.5)+

0.09sin(0.3πt)+0.054sin(0.15πt+

4.5)+0.045sin(0.05πt+2)+

0.135sin(0.01πt+3)+0.225。

传统PID、SCPD以及滑模控制下的四旋翼无人机螺旋轨迹跟踪效果如图6所示。3种控制方案下x、y、z通道控制系统的跟踪误差曲线如图7所示。

图6 螺旋轨迹跟踪三维图图7 螺旋轨迹跟踪各位置通道误差曲线

图6和图7显示,基于SCPD所设计的控制器较其他的两种控制算法四旋翼飞行控制系统轨迹跟踪能力明显更强,误差曲线收敛速度更快,抗干扰能力更强,飞行品质明显优于基于传统PID以及滑模控制的飞行系统。

为了对3种控制方案的飞行品质进行定量分析,定义四旋翼三维位置的均方根误差(RMSE)为

式中,E为每一时刻四旋翼的三维位置坐标误差。使用MATLAB求得3种控制方案在螺旋轨迹跟踪控制实验中的均方根误差为

RMSEPID=0.008 3,

RMSESCPD=0.002 3,

RMSESMC=0.006 8。

由3种控制方案的均方根误差可以看出,SCPD控制系统的均方根误差仅为传统PID控制的27.7%,为滑模控制的33.8%。显然3种控制方案中,SCPD控制的精度最高,控制品质最优。

采用同一套控制器参数与总和扰动力矩,让四旋翼无人机模型跟踪其他不同的复杂轨迹[14],结果如图8所示。在做复杂轨迹跟踪的过程中,基于SCPD所设计的控制器相较于PID和SMC四旋翼飞行控制系统,SCPD的轨迹跟踪能力明显更强,并且在做复杂轨迹机动过程中能够在极短的时间内跟踪目标轨迹,且轨迹曲线较为光滑,体现了本算法具有较强的抗干扰能力和更快的收敛速度。

图8 复杂轨迹跟踪曲线

4 结论

本文研究了四旋翼无人机的轨迹跟踪控制问题,通过将四旋翼无人机各控制通道的不确定性和内外扰动等复杂因素定义为总和扰动,从而将未知非线性系统映射为未知线性系统。其次,设计了一种SCPD控制器,并进行了稳定性分析。另外,还设计了一种基于误差的速度因子模型,分析并证明了受控误差系统是大范围稳定的,且具有良好的抗干扰鲁棒性。仿真实验表明,所设计的SCPD控制器在考虑四旋翼无人机输入受限的条件下,对扰动具有较强的鲁棒性和较优的动态响应性能,并表现出优良的轨迹跟踪性能。本文虽然着重解决四旋翼无人机在扰动的情况下的轨迹跟踪问题,但是忽略了模型的不确定性和输入饱和的情况,后续工作开展将对以上问题进行深入研究。