以有效设问的视角架构单元起始课教学——以“平行四边形及其性质”一课为例

何 娟

（浙江省东阳市江北初级中学）

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《标准》）指出，教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、计算、推理、验证等方法分析问题和解决问题.课堂教学是培养学生数学思维的主要渠道，培养学生的思维能力是数学教学永恒的主题，提升课堂设问水平是提高学生数学思维水平的关键.

几何起始课教学在引导学生对概念、性质理解方面，更多地着力于思维训练，以达到使学生举一反三、融会贯通的目的.笔者以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册（以下统称“浙教版教材”）“平行四边形及其性质”一课为例，以有效设问实现知识教学的一体化，以深度思考促进知识体系结构化，以思维导图揭示学习路径最优化，让学生不仅学会数学知识，而且学会获取知识的路径和方法，真正调动学生学习数学的积极性，提高数学课堂教学效率.

一、有效设问的概念界定和形式

有效设问是指教师基于学生已经掌握的知识基础和方法经验，以关键问题为导向，引导学生积极思考、深入探究的一种教学方式.这是引导学生有意识地围绕特定目标，付出持续心理努力的高层次思维能力的过程，它具有逻辑性、整体性、严谨性、发散性、批判性等特点.

有效设问的主要形式有问题链、类比题组、变式题组等.

二、教学内容和目标分析

特殊的平行四边形是平行四边形的特殊化.现将浙教版教材中“平行四边形”和“特殊平行四边形”两个章节的内容进行整合，重组为“平行四边形”教学单元.“平行四边形及其性质”为本单元的起始课.本节课的核心内容是平行四边形的概念及性质探究，主要对平行四边形边的位置和数量关系及角的数量关系进行研究.本节课对平行四边形的研究从定量分析走向定性分析，在明确平行四边形概念双重性的基础上，从概念建构、探究路径、思想方法三个维度展开有序思考与探究，不断渗透数学的思想与方法，发展学生的几何直观、运算能力和推理能力，为后续特殊平行四边形的探究提供样例与基础.

本单元的教学目标如下.

（1）能从实际情境中抽象出平行四边形和特殊平行四边形等几何图形，经历建构概念的过程，培养学生的抽象能力和几何直观；理解平行四边形、特殊平行四边形的定义、性质与判定定理，会进行有关线段、角的数量关系或位置关系的计算与证明.

（2）经历平行四边形、特殊平行四边形的性质与判定定理的发现与探究过程，归纳平行四边形的学习路径，发展学生的抽象能力和推理能力.

（3）通过对比平行四边形与特殊平行四边形的知识内容和探究方法，使学生体会数学知识之间的联系，培养学生批判质疑和勇于创新的理性精神与思维品质.

本节课的教学目标如下.

（1）通过生活情境的引入加深学生对平行四边形概念的理解，能识别平行四边形的对边、对角、对角线等元素，发展学生的几何直观和抽象能力.

（2）经历探索平行四边形性质的发现和证明过程，掌握平行四边形的不稳定性，学会用转化、类比等思想分析和解决问题，提升学生的推理能力和运算能力.

（3）能利用平行四边形的性质解决简单的问题，解释平行四边形的性质在生活中的应用，渗透整体建构几何图形的一般思路与方法，提高学生的推理能力、应用能力和创新意识.

达成课时教学目标（1）的标志是：能基于已有知识掌握平行四边形的概念，会用定义判定一个四边形是不是平行四边形，能根据图形写出两组对边的位置关系.

达成课时教学目标（2）的标志是：经历平行四边形性质的发现和探究过程，会从对边、对角的位置关系和数量关系等角度探究其性质，能利用性质进行有关边和角的简单计算与证明.

达成课时教学目标（3）的标志是：会用平行四边形的性质解决简单问题，能自发联想到利用平行四边形知识灵活分析和解决问题，渗透类比和转化思想.

三、有效设问单元起始课的实践

1.聚焦思维的逻辑性设问

逻辑思维能力是学生准确而有条理地展现自己思维过程的能力.初中几何内容本身具有结构良好的逻辑体系，既有几何直观基础上的逻辑推理，又有满足逻辑推理上的几何直观，是发展学生直观想象和推理能力的重要载体.几何教学重在发展学生的理性思维，通过不断类比、启发，引导学生获得研究问题的方法和角度，使学生在螺旋上升的数学学习过程中掌握学习几何图形内容的一般观念.因此，高效的课堂教学需要通过有逻辑地设问让学生感悟几何图形之间的内在联系，将知识系统连贯成一个有机整体，促进学生几何思维水平的提高，达到“启发引导”“以问诱思”“循问悟法”的效果.

教学片断1：抽象图形，确定对象.

问题1：观察图1中的三个实物图形，你能从中抽象出哪些几何图形？它们之间有什么内在联系？

图1

师生活动：学生回答图中有四边形、平行四边形、菱形等，且平行四边形是特殊的四边形.教师根据学生的回答画出图2.

图2

问题2：我们对三角形知识的学习是按照从一般到特殊的路径展开的，对于等腰三角形知识的学习是以怎样的路径展开的？

师生总结：对等腰三角形的学习按照“概念—性质—判定”的路径展开.

【设计意图】从学生原有的知识经验出发，引导学生从生活中抽象出几何图形，感知数学与生活的联系.通过回顾四边形与平行四边形的内在关系（如图2），唤醒学生的学习记忆，为后续平行四边形内容的学习寻找原有的知识基础.通过回顾“三角形”一章的学习，让学生感悟从一般到特殊的研究方法，了解从“四边形—平行四边形—特殊平行四边形”的学习路径，让学生体会从一般到特殊的数学思想方法.

2.聚焦知识的整体性设问

知识的整体性，是指学生的思考过程不局限于本节课的认知，而是基于所学的相关知识寻找知识间的共性与不同，让新旧知识之间产生关联，形成一个有机的整体.根据课堂教学和研究对象的情况，教师可以通过有效设问引导学生自主探究，从整体上把握学习方向和具体教学内容.

教学片断2：类比探究，明晰路径.

问题3：对平行四边形知识的学习如何展开？

学生回答：类比等腰三角形，按照“概念—性质—判定”的学习路径展开.

问题4：结合从生活中抽象出来的图形（如图3），思考如何定义平行四边形，如何用符号语言表示平行四边形.

图3

追问：由两组对边分别平行，可得四边形是平行四边形；反之，你还能从定义中获得什么信息？如何用符号语言表示？

问题5：根据三角形的学习经验，你能用符号语言表示平行四边形，并介绍平行四边形的组成要素吗？

【设计意图】根据学生的反馈，将点状散乱的知识梳理成知识线，在归纳等腰三角形的学习路径后，有意识地引导学生进行知识和学习方法的关联，学习用类比的方法进行一般观念下的几何探究，揭示平行四边形与一般四边形之间的种属关系，引导学生感受“属+种差”的定义方式，这也是后续特殊平行四边形定义的引入方式.通过类比三角形的学习路径，逐步引导学生从定义、表示方法、组成要素等方面建构平行四边形的概念，注重对概念的深度理解，形成知识与方法体系，为后续特殊平行四边形、圆等其他几何图形的学习提供样例.

3.聚焦学习的严谨性设问

学习的严谨性包括推理严密、书写规范、计算无误，以及使用数学语言准确进行表达的能力.教师在引导学生用不同的方式去探索和尝试，从不同的角度思考、分析问题的同时，更要引导学生树立大胆猜想、细心验证、严谨证明的学习态度.

教学片断3：问题链设问，严谨论证.

问题6：你能用手中的小棒摆出一个平行四边形吗？你能用什么方法或步骤说明所摆的图形是平行四边形？

问题7：观察各自摆出的平行四边形模型，它们有什么特征？任意平行四边形都具有这些特征吗？能否给出严谨的证明？

教师根据学生的回答进行板书，并填写表1.

表1

问题8：当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也随之确定，平行四边形问题可以转化为三角形进行研究.它们具有共性，也有不同.类比三角形，观察各自所摆的平行四边形模型，你有什么发现？

学生发现大家所摆的平行四边形的形状不是相同的.

追问：你能说一说平行四边形的这个性质吗？一般四边形是否也具有这个性质？

学生回答：当平行四边形的四条边确定时，这个平行四边形的形状没有确定，即平行四边形具有不稳定性.一般四边形也具有这个性质.

【设计意图】学生通过抽象摆出的图形建立几何直观，巩固用定义判定平行四边形的方法.教师引导学生抽象平行四边形对边的位置关系和数量关系及对角的数量关系的本质特征，经历有关平行四边形的性质定理的发生发展及证明过程.学生在经历操作、观察、猜想后，能将四边形问题转化为用三角形的知识加以证明，提高了抽象能力和推理能力，为之后得出平行四边形对角线的性质作铺垫.二次利用操作过程，引导学生再次观察和思考，通过类比三角形的稳定性，使学生深入理解平行四边形的不稳定性的内涵，体会平行四边形的不稳定性在生活中的广泛应用，引导学生用平行四边形的相关知识解释其在生活中的应用原理，并用数学语言加以表达.

4.聚焦思维的发散性设问

发散性思维是一种从不同的方向、途径和角度去猜想，或者探究多种答案，最终使问题得以解决的思维方式.变式题组能很好地反映学生的知识掌握情况.根据学生思考角度的不同，考查学生的思维能力，使不同的学生在数学学习中获得不同的想法与发现.

教学片断4：巩固应用，积累经验.

练习1：如图4，在▱ABCD中，∠B=70°，则∠A的度数为______，∠C的度数为______，∠D的度数为______.

图4

练习2：如图5，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，且AF∥CE.求证：∠BAF=∠DCE.

图5

【设计意图】设计有关角度的练习题，让学生感受从具体到抽象的变化，以培养学生从发散性思维的角度寻求证明角相等的多种方法，从而积累活动经验，促进学生思维的深度发展.

5.聚焦思维的批判性设问

教师要引导学生关注自己思维活动的全过程，积极剖析自己发现和解决问题过程中的思维与方法，更加全面地看待问题，培养学生的批判性思维能力.学生通过编题的指引，可以深入思考更复杂的问题，也可以通过原先的假设或解题过程，重新审视条件和结论，从而更清楚地看到问题的本质，逐步建立批判性思维，进而形成更为完善的认知结构.

教学片断5：小组编题比赛.

要求：①在如图4 所示的▱ABCD中，添加一根或两根小棒；

②根据添加小棒的情况编题，题型不限，写出已知和所求，并给出解答.

各小组报告编题成果如下.

小组1：如图6，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点F.求证：△ABF是等腰三角形.

图6

小组2：如图7，在▱ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线分别交边BC于点F，E，AF与DE的交点为点G.求证：△ADG是直角三角形.

图7

小组3：如图8，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC的中点.求证：四边形AFCE是平行四边形.

图8

教师根据学生的编题情况，引导学生进一步思考：你是如何想到这样编题的？与哪些几何知识有联系？

【设计意图】基于上述操作环节，让学生以几何图形和相关要素为基础进行编题，进一步巩固对平行四边形性质的掌握.通过开放性的编题活动，教师带领学生总结证明边、角相等的常用方法，从边、角、对角线的有关计算和证明中发散学生的思维.通过追问“你是如何想到这样编题的？”引导学生揭示所学知识之间的联系，挖掘题目背后体现的思维价值和方法指引，引导学生从平行四边形的组成要素和相关要素等角度进行有序思考，用发展、运动的眼光来看待问题和评价过程，优化思维品质.学生所编的题目初看是基于对中线、角平分线的理解，实则关联了三角形、平行线等知识，结合了方程、分类讨论、转化等思想，从更高层次抽象出了平行四边形性质的本质，帮助学生实现了创新性思维和拓展性思维水平的提升.

数学活动课更应该是数学思维课，有效设问能使课堂导入中有先行组织者的导航统领，自主探究中有层层深入的思维递进，例题分析中有对概念本质的深度理解，小组合作中有思维火花的交互碰撞，最终实现学生思维水平、思维形式、思维品质等不同维度的高阶思维发展.

四、起始课中有效设问的注意点

数学课堂设问要基于学生思维的最近发展区，从知识所蕴含的思想方法中寻找灵感，反映当前内容的本质，具有发展性、严谨性和启发性，培养学生自主提问的能力.核心素养导向下的单元起始课教学，要立足知识的生长点，以解决关键问题为出发点，理解数学知识的产生与来源、价值与意义，不仅要整体把握教学内容之间的关联，还要把握教学内容主线与相应核心素养发展之间的关联.

1.明晰基本内容，发挥统领作用

在“三角形”单元的学习中，学生按照从一般到特殊的路径学习知识内容，从而确定平行四边形的教学也可以遵循从“四边形—平行四边形—矩形、菱形—正方形”的路径进行探究.一方面，通过有效设问让学生感悟从一般到特殊的研究顺序与类比学习方法的普适性，类比特殊三角形的概念建构，研究特殊四边形也可以从基本元素（边、角、对角线）展开，再结合相关要素（角平分线、中线、高线）构成常见几何图形，根据图形的构成要素和相关要素从数量关系和位置关系角度展开对性质和判定的研究；另一方面，通过有效设问让学生经历对所学概念的建构过程，引导学生有效关联相关知识，厘清联系与区别，对所学知识连点成线，逐渐构建知识网络，以达到优化数学知识结构的目的.通过类比和迁移，明晰所学内容的知识结构，明确知识探究的方向与方法，真正发挥有效设问的统领作用.

2.厘清主次关系，构建相关体系

《标准》指出，要重视数学结果的形成过程，处理好过程与结果的关系；要重视学生直接经验的形成，处理好直接经验与间接经验的关系.以学生原有认知为基础，通过有效设问，让学生整体把握本章的研究内容和研究脉络，经历自主确定平行四边形的定义、性质、判定的研究路径，积累对数量和数量关系、图形和图形关系抽象的活动经验，形成研究几何图形的一般观念，从而逐步构建探究几何图形的方法与知识体系.

3.引发深度思考，变革教学方式

在探究过程中，学生获得的不仅仅是平行四边形的有关知识和学习方法，更重要的是获取了程序性和策略性的知识.立足每一个知识的生长点，通过类比三角形知识的学习方式，有效利用知识间的关联，使学生明确研究新知的方向和方法，从中产生有意义、有深度的数学思考与探究.让学生尝试不同的学习方式，提升学生的自主思考和自学能力，对于接下来如何学习平行四边形及特殊平行四边形具有很强的导向作用，为学生提供了更大的发展空间.

4.强调“学为中心”，发展数学核心素养

学生在小学阶段通过观察、操作认识了平行四边形，包括对其周长和面积的探究.基于学生思维的最近发展区，初中阶段再探究平行四边形时，则注重从定性分析深入到定量研究，强调图形语言和符号语言之间的相互转化.本节课中，教师通过带领学生体验一系列操作活动，引导学生经历知识的发生发展过程，在观察与比较中发现和提出问题，在类比与归纳中分析和解决问题，在编题中提升应用能力和创新意识，注重思想方法的渗透和解题策略的提炼，以提升学生的系统思维能力和探究几何图形的高阶思维能力，真正体现“学为中心”的宗旨.

培养学生的数学思维能力是数学教学的根本任务，它决定了学生对知识方法的掌握水平及创造性能力的提升.有效设问是最基本的课堂组织形式，教师更应该创新有效问题链的设计，以提升学生的数学思维能力，发展学生的数学核心素养.