基于质疑式数学命题学习的教学设计与案例分析

傅海伦，张晓芸，王晓瑞

（1.山东师范大学数学与统计学院；2.山东省济南市东方双语学校）

一、对质疑式数学命题学习的再认识

数学命题是指具有数学意义，可判断真假的，对数学对象的性质或关系进行逻辑思维判断的陈述句.其在数学史、教育心理学和逻辑学中均占有重要的研究地位.质疑式数学命题学习是推进数学命题学习的重要方式.数学是一门逻辑性较强的学科.大多数的数学知识不仅是以命题的形式给出的，而且是通过不同命题之间的不同变式或推论得出的，所以质疑式数学命题学习是重要的学习命题的方式.中学数学命题主要包括公式、定理、公理、法则等.因此，中学数学课程内容中的质疑式命题学习主要是指真命题的学习.

所谓质疑式数学命题学习，是指在调动学生自主思维的基础上，以问题为主线，激活思维，并以质疑为特征寻找命题中条件和结论的关系及其规律，打造以思维碰撞为核心活动的学习方式.

思维活动是数学学习的核心活动，师生之间、生生之间的有效思维交流是提高课堂学习效果的必然方式.质疑式数学命题学习注重在解决问题的过程中通过师生之间的思维碰撞，培养学生的问题意识，训练学生的思维能力.围绕培养具有求知欲、自主探索能力和合作能力的创新型人才的目标，教师在采用质疑式命题学习方式时，要调动学生自主思考，以问题为主线激活课堂思维，以质疑为特征培养学生的问题意识，打造以思维碰撞为核心活动的学习课堂.

奥苏贝尔将命题学习分为上位学习、下位学习和并列学习.在此基础上，喻平教授针对数学命题学习的独特性进一步提出了“同位学习”的概念，同时强调了“命题域”和“命题系”在数学命题学习中的重要性，并将数学命题学习划分为命题获得、命题证明和命题应用三个阶段.笔者根据质疑式学习的特征，尝试将质疑式数学命题学习的过程细分为感知命题信息、解读命题叙述、探究命题证明和强化命题应用四个学习阶段，如图1所示.

图1 质疑式数学命题学习流程图

“感知命题信息”是质疑式命题学习的初始阶段.教师立足学生认知结构的缺口，依托现实问题情境引发学生的认知冲突，从而同化新命题，或通过考查问题中的特例，使学生感知命题产生的必要性.学生经历数学知识的发生发展过程，归纳、抽象出数学命题.

“解读命题叙述”阶段是在学生猜想出数学命题后，进一步对数学命题的条件和结论进行深入解读，并以质疑为特征，寻找命题条件和结论的关系及其规律，通过对命题变式进行探究，进一步抓住命题表述中的实质性联系，明确命题的适用范围，激活学生的思维.

“探究命题证明”阶段对学生的质疑水平和逻辑思维能力要求较高，要求学生利用已有的相关命题或概念与该命题各部分建立有意义的实质性联系，选择合适的结点连成一条命题的题设和结论之间的通路.经过师生之间、生生之间的质疑和思维交流过程，规范学生思维的指向，经反复猜想、探究、质疑、推论后得出命题的证明过程.

“强化命题应用”阶段培养的是学生运用命题解决数学问题或实际问题的能力，在应用命题的过程中加强对命题的整体把握，并通过质疑过程与方法的迁移，完善命题域和命题系.

二、基于质疑式数学命题学习的教学设计与案例分析

基于对质疑式数学命题学习重要性的认识，笔者以人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“勾股定理”的教学为例，给出质疑式数学命题学习的教学设计.

1.教学内容分析

勾股定理是数形结合的典范，是欧氏几何中一条重要的基本定理，也是反映自然界基本规律的一个重要结论.勾股定理从边的角度进一步揭示了直角三角形中三边之间的数量关系，是沟通几何与代数的桥梁，是解三角形的重要工具，也是图形变换思想的重要体现.

2.教学目标分析

（1）掌握勾股定理的命题内容，理解勾股定理的证明方法，会用勾股定理解决问题.

（2）经历感知、猜想、辨析、证明、应用的探究过程，体会数形结合思想，培养学生灵活、敏捷等思维品质.

（3）通过自主探究、合作交流，提高学生提出问题、解决问题的能力，培养学生的问题意识和质疑精神.

3.学情分析

八年级学生已经掌握了求直角三角形和正方形的面积的方法，具有探究勾股定理的知识基础，积累了一定的观察能力和动手操作能力，能够进行简单的逻辑推理和理性分析，但是思维跳跃性较大，需要教师加以引导和规范.因此，勾股定理的证明对学生来说是一个难点，应用勾股定理是重点.

4.教学过程设计

（1）感知命题信息.

活动1：教师运用课件展示毕达哥拉斯与勾股定理的故事，内容如下.

相传2 500 多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边间的某种数量关系.本节课我们就来探索一下直角三角形中的这种关系.

师生活动：师生一起了解数学史，感受数学美，相互交流所了解的关于勾股定理的故事.

活动2：观察图2，图中每个小方格的边长为1 个单位长度，给出A，B，C三个正方形的面积.

问题1：图中正方形A，B，C 的面积之间有什么关系？

师生活动：学生回答正方形A，B，C面积之间的关系是SA+SB=SC，并在班内交流.教师及时评价、总结学生的交流情况.

问题2：三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么数量关系吗？

师生活动：学生根据A，B，C三个正方形面积之间的关系可以推导出直角三角形三边长之间的关系.教师观察学生的探究情况，及时引导点评.

问题3：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么你能得出什么结论？

师生活动：学生组内交流合作，尝试猜想，提出疑问.教师观察、点评学生的猜想，归纳学生的疑问，及时释疑.

【设计意图】厘清命题概念的意义是命题学习的前提.上述过程依托4 个问题层层深入，让学生在问题探究的过程中逐渐感知勾股定理.在这个过程中，师生问答是激活学生学习思维的手段，生生交流是提高学生自主学习能力的途径，科学设疑、自主生疑、交流释疑是活跃思维的关键.

（2）解读命题叙述.

教师展示由问题3 得出的命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

师生活动：教师引导学生认真观察所得命题，并提出问题4.

问题4：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，其三边也具有该数量关系，那么“等腰”和“直角”这两个条件对于得出的三角形三边间的数量关系是否都是必要的呢？

师生活动：学生组内讨论，对命题变式提出质疑，并总结验证.教师引导学生根据已有的探究思路进一步思考.

学生进一步质疑：其他类型的三角形的三边是否也满足上述等量关系呢？

【设计意图】数学命题由条件和结论两部分组成.明确命题的条件和结论是分析命题的基础，找出条件和结论间的必然联系是灵活运用命题的关键.上述对命题的条件和结论的解读，对命题变式的判断和验证，对命题的符号书写和图形直观的表示，以及对命题条件的验证，都加深了学生对勾股定理的理解，提升了学生的推理能力.

（3）探究命题证明.

证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

师生活动：教师引导学生发现证明思路，即在图3 和图4 中寻找等量关系，列出等式证明勾股定理.学生自己动手尝试证明定理.

图3

图4

接下来，教师指导学生交流、展示证明方法，并进一步总结证明思路，书写证明过程.教师及时点评学生的证明思路，引导学生踊跃质疑.学生自我反思，动手书写，加深对命题证明过程与方法的理解.

活动3：学生对证明方法中的数量关系提出质疑，提出并比较了多种证明方法，包括由勾股定理所体现的传统的构造性方法及“出入相补”原理.根据学生提供的证明方法，教师适时补充赵爽证明勾股定理的方法.

师生活动：学生交流、展示勾股定理的证明方法.教师及时给予指导，规范勾股定理的证明思路和书写步骤，引导学生进一步感受勾股定理的历史意义，体会图形分割和拼接思想.

【设计意图】证明勾股定理是本节课的学习难点.领会命题证明的思路和方法有利于培养学生的思维能力.通过教师的引导，学生可以快速发现证明命题的思路，减少不必要的思维过程.在师生和谐交流、彼此尊重的氛围下，师生进行思维碰撞，通过对勾股定理逻辑推导过程的质疑交流，使学生领会多样的证明思路.

（4）强化命题应用.

基础训练：根据勾股定理，求出下列各三角形的三边长，填写表1.

表1

师生活动：学生进行基础训练，回忆勾股定理.教师倾听并适时指导，促进学生进一步巩固勾股定理.

拓展训练：如图5，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=4，BC=3，求阴影部分的面积.

图5

师生活动：学生尝试解决问题，并在班级内交流展示.教师评价学生的解题思路，总结解题方法，规范书写步骤，强化勾股定理的应用.

【设计意图】难度递增的练习设计不仅能加深学生对数学命题的理解，还能兼顾到不同思维水平学生的自我提升需要.通过对数学命题的感知、探究和解读，师生已经形成了有关勾股定理探究的思维方式，养成了一定的质疑式思维习惯，提高了学生的思维能力.在此阶段，师生的思维方向逐渐趋于统一，后续通过共同总结数学命题，归纳证明思路，消解思维障碍，点明思想方法，达到师生思维同频共振的状态.

三、总结反思

在上述对勾股定理的质疑式学习过程中，问题贯穿每个阶段，学生质疑的对象多样，如对数学问题的质疑、对他人观点的质疑、对某个知识点的质疑.教师对在课堂上收集的学生提出的问题进行反思总结，有利于更好地把握学生命题学习中的思维偏差，了解学生思维的最近发展区和知识漏洞.在课堂教学过程中，教师通过适时的思维诱导和点评，让学生明白“什么问题是好问题”“怎样提出好问题”“以后应该如何思考此类问题”等，体现质疑的过程与方法，发展学生的创新精神.

在充满质疑的课堂氛围中，师生的思维经历了问题导入的激活阶段、交流解读的调整阶段、逻辑争辩的活跃阶段、强化应用的同频阶段.质疑式数学命题学习思维的建构，通常以学生为主体，以问题为主线，以质疑为特征，以思维为价值导向，在提高命题学习的深刻性、针对性和有效性的同时，致力于培养学生的问题意识、自主学习能力、合作交流能力、创新实践能力和质疑精神.