相似三角形的几种常见模型分析

谢子婧

【摘 要】  相似三角形是初中几何中重要的证明模型之一，它主要描述了两个相似三角形的边、角之间关系，其中对于不同的三角形的相似模型可以归纳为“A”字形、“8”字形、子母型和一线三等角型.本文对这几种数学模型进行归纳，并列举了例题进行讲解，以期望帮助学生们对相似三角形的知识掌握得更加全面.

【关键词】  初中几何；相似三角形；模型

1  “A”字形

“A”字形的相似模型有两种：（1）如图1（左）所示，平行于；（2）如图1（右）所示，与不平行，但.

图1

例1  如图2所示，在中，边、上分别有、两点，与线段、分别交于、两点，已知，且，求证：

（1）平分；

（2）.

图2

解  （1）因为在和中

所以.

而在和中

因为，

所以

所以

所以平分

（2）在和中

所以

所以

由（1）知

所以，

所以

2  “8”字形

“8”字形的相似模型也有两种：（1）如图3（左）所示，平行于；（2）如图3（右）所示，与不平行，但.

图3

例2  如图4所示，在正方形中，边和的中点分别为点和，连接、、，线段与线段、分别相交于点、.

（1）求的值；

（2）求的值.

图4

解  （1）因为点是的中点

所以

因为四边形是正方形

所以，且平行于

所以，

所以

所以

（2）因为是的中点

所以，

因为平行于

所以

所以，

由（1）知，即

所以

所以

3  子母型

子母型的相似模型有：（1）如图5（左）所示，；（2）如图5（右）所示，.

图5

例3  如图6所示，在中，点为边上一点，.

图6

（1）求证：；

（2）的长为6，的长为3，求的长.

解  （1）因为，

所以

（2）因为

所以

因为，

所以，得

所以

4  一线三等角型

一线三等角型有以下两种模型：

（1）以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景的三等角型相似三角形，如图7所示.

图7

（2）以正方形為背景的三等角型相似三角形，如图8所示.

图8

例4  如图9所示，在中，为边上一动点，点、分别是边、上的点，已知，，求：

（1）若，且，求；

（2）若，不改变的值，以为旋转中心，把按顺时针或逆时针方向适当转动后，和始终保持相似，求.

图9

解：  （1）因为，

所以

因为，所以

所以

又，

所以

则

（2）因为转动后，三角形和三角形始终保持相似

所以

又因为

所以

即时，和始终相似

5  结语

相似三角形具有相同的形状但是大小不同的特点，在初中数学中是一个重要的概念.通过模型的介绍，我们可以通过图形比较的方式来展示相似三角形的特点，既可以帮助学生更直观地理解相似三角形的性质和应用，也可以帮助学生更好地掌握这一概念，为他们的数学学习打下坚实的基础.

参考文献：

[1]金木红.初中数学相似三角形模型分析及应用[J].数理天地（初中版），2023，（15）.

[2]丁兆全.相似三角形的模型[J].中学生数理化（初中版.中考版），2023，（Z1）.

[3]杭永根.相似三角形的三个基本模型探究[J].初中生学习指导，2020，（36）.