机械工程专业“计算方法”OBE课程教学改革

唐嘉昌?曾鑫?廖海洋?余江鸿

摘要：针对机械工程专业“计算方法”课程教学中存在的问题导向不明、涉及知识点繁多、计算思想理解困难等问题，提出了基于成果导向教育（Outcome Based Education， OBE）“计算方法”课程改革模式：建立机械工程问题－数学建模－计算求解全过程教学模式，明确问题导向和求解对象；基于机械工程问题，构建基础知识链接图与数学实验设计闭环。改革完成有助于提升学生灵活运用算法思路解决机械工程专业问题的能力。

关键词：成果导向教育；计算方法；机械工程专业；知识链接；教学闭环

一、前言

通过该课程体系，学生能够深入理解“计算方法”课程知识和实际工程问题应用场景，提升处理问题、解决问题的能力，教师能够更准确、合理地评估教学成效，提高教学效率和全方位培养学生的能力，最终实现教学相长的效果。另外，机械工程问题－数学建模－计算全过程教学模式的思路还能够拓展到其他机械工程专业课程中，助力其他课程的教育教学改革成效。

二、“计算方法”课程教学的现状分析

机械专业的“计算方法”课程旨在利用计算机技术将数值计算理论应用于解决机械工程专业问题，是各大高等院校机械工程专业的专业必修课，其内容主要包括线性代数方程组解法，插值和逼近建模、数值微积分计算、微分方程求解等。成果导向教育（Outcome based education，OBE）是坚持以学生学习为中心，以成果为导向，反向设计课程体系和教育教学方法的教育模式。目前，针对“计算方法”课程中重数值计算方法理论讲解、案例教学缺乏等问题，基于OBE的“计算方法”课程教学改革得到高校教师的广泛研究。刘玉飞[1]等基于OBE从课程大纲制定到Matlab科学分析软件应用等几个方面进行了改革探索。吴鸿韬等[2]针对“计算方法”中重理论轻实践的问题，引入学科前沿和技术来提高学生实践能力。葛坤朋等[3]从学习成果、教学手段等方面对“计算方法”课堂进行反向设计。武斌和王冠舒[4]结合中国石油大学信息科学学院的实际情况提出了一种持续性OBE改进方案。熊金泉[5] 采用案例教學法，建立数学模型并编程序实现算法，实现了基于OBE的“计算方法”课程教学改革。然而，上述OBE大部分都是针对理科专业学生提出，未有针对机械工程专业的OBE“计算方法”的课程教育改革的论文出现，而机械工程专业课程体系和应用领域不同，其OBE课程改革的方式和内容理论上也与其他专业课程教育改革有所不同，因此，上述课程教学改革的方式很难应用到机械工程专业的教育教学改革中。机械工程专业“计算方法”课程OBE改革存在若干问题。首先，所授方法与机械工程实际问题联系较少。现有“计算方法”课程的例题以求解数值问题为主，更偏数学类课程角度，很少涉及实际机械工程案例，学生很难理解所学方法与所学专业之间的联系，在遇到专业问题时很难将“计算方法”课程中所教授的计算工具用于其中。因此，如何在课程中将0BE有机引入“计算方法”课程中，以提高学生解决机械工程实际问题为导向，反向设计课程体系和教育教学方法是首先需要解决的问题。其次，相关基础知识拓展少，导致学生理解困难。“计算方法”课程课时较少但内容较多，因此，许多授课老师在有限的课程学时设置中主要讲解算法的计算流程而对其中所涉及的高数、线性代数等课程的基本知识介绍较少。而大多数同学对于高数、线性代数等课程的知识掌握并不牢靠，较大程度上导致多数机械工程专业学生对于所提算法的理解困难及其与储备知识之间的联系不清的问题。因此，需要教师在讲授过程中一方面把课程相关算法思想讲透彻，另一方面需要把算法所涉及的基础知识有所提及，方便学生在学习过程或者课后查漏补缺，提升学生的学习积极性和效率。

针对上述问题，本文将OBE理念与机械工程“计算方法”课程体系有机结合，提出机械工程问题－数学建模－计算全过程教学模式，并在此模式上提出基础知识链接图教学工具，帮助教师更好地完成机械工程问题－数学建模－计算全过程教学。首先，引入数学建模相关知识作为桥梁，连接机械工程问题与计算方法，设计机械工程问题－数学建模－计算方法全过程教学模式。其次，强化本课程与基础课之间的联系并对关键知识点进行直接链接。最后，通过数学实验完成整个课程的目标。课程的改革能够帮助机械工程专业学生成功将不同类别的典型实际工程应用问题与相应的算法类型相结合。基础知识链接图的引入能够较直观地将所学算法的思想与基础知识之间的联系表征清楚，易于机械工程专业学生学习；利用数学实验的方式，引导学生采用“计算方法”中的算法工具获得实际工程问题的数值解，推动教学完成闭环。

三、机械工程专业“计算方法”OBE课程教学

针对机械工程“计算方法”课程机械工程问题联系少和相关基础知识拓展少的问题，基于OBE，以成果为导向，反向设计课程体系和教育教学的教学模式理念，围绕机械工程专业“计算方法”课程进行改革。机械工程专业“计算方法”课程教学设计，如图1所示。首先，引入数学建模相关知识作为桥梁，连接机械工程问题与计算方法，设计机械工程问题－数学建模－计算方法全过程教学模式。其次，强化本课程与基础课之间的联系并对关键知识点进行直接链接。最后，通过数学实验完成整个课程的目标。整个过程是以解决学生处理工程实际问题能力为出发点，以基础知识链接为工具，形成一套完整的反馈系统。机械工程专业“计算方法”OBE课程教学的完成有望打通机械工程实际问题与“计算方法”课程所教授算法之间的壁垒，提升学生解决机械工程实际问题的能力。

（一）机械工程问题－数学建模－计算方法全过程教学

机械工程问题－数学建模－计算全过程教学是基于OBE从“需求”出发的理念。目前，机械工程专业本科生最直接的需求是解决机械工程领域的实际需求。因此，从机械工程问题出发要求能够建立简单的线性/非线性、微分方程组等数学模型，通过计算方法对数学模型进行求解，最后对所求数值解进行判断，如合理，则输出数值解，如不合理，则回到机械工程实际问题中重新建立更为准确的数学模型。如图2所示，为机械工程问题－数学建模－计算方法全过程教学图，在讲授课程内容之前，从复杂结构分析、飞行器安全设计以及多体动力学等机械工程问题出发，让学生真切感受到所讲授算法要解决的问题。其次，针对上述问题采用图论、优化模型或者动态模型等进行建模。再次，引出计算方法对所建模型进行求解，得到方程解、最优解等数值解，并将其代入机械工程问题中进行判断、反馈评价。最终，确定是否保留数值解。以复杂结构分析问题为例，由于模型是数值模型，因此，首先需要建立关键输出参数（最大应力、应变，质量等）与输入参数（载荷、尺寸参数等）之间的函数关系，这里需要采用“计算方法”课程中的插值和逼近的建模知识。其次，在建立较为准确的数学模型之后，需要建立非线性方程组进行求解，拟采用“计算方法”课程中的非线性方程组求解算法。最后，将所得数值解代入原问题中进行判别，如符合，则输出数值解，如不符合，则从数学模型建立和算法选择两个方面进行修正，最终获得合理解。

将机械实际工程问题通过近似、假设或者采用建模分析软件等建立具有一般意义的解析数学问题需要符合所学算法的应用范围，在建模的过程中注重建模思路，可以适当忽略或者放宽模型精度。因为，在本科教学阶段，学生主要关注机械实际问题到数学模型的大体流程，而非可能涉及复杂科研工具的建模精度或者效率的具体问题。基于数学模型采用所学计算方法进行求解时，需要注意的是所计算的解与机械工程实际问题需求之间的关系与合理性，即观察计算迭代过程中的病态程度和所得解代表的机械工程中的实际物理意义的合理性。若不合理，说明在建模过程中可能未考虑一些关键问题或者影响因素，需重新回到机械工程问题中，并构建新的数学模型。若合理，则输出数值解并将所得结果应用在实际工程问题中。整个流程的完成，一方面能够让学生通过仿真观察机械工程问题的分析和设计的实际效果，另一方面能让学生理解发现问题、解决问题的具体过程，积累丰富的问题经验和教训，能够赋予较高的成就感、增加学习积极性和主动性，提升处理问题、解决问题的能力，为之后的升学和工作奠定较好的算法计算能力基础。

（二）基础知识链接图与数学实验设计闭环

将数学建模与计算方法中涉及的关键相关基础知识进行链接。链接的目的是给遗忘相关知识的学生一个查漏补缺的机会，在缩短学生理解计算方法的时间，提升学习效率，之后将相关计算机语言写入Matlab软件进行求解。其次，需要注意的是，如果学生未接触过Matlab软件，那么需要在课堂讲授过程中对Matlab软件进行简单介绍，并让学生在编程解决问题的过程中熟悉Matlab软件。如图3所示，以曲线拟合最小二乘法知识链接图为例，最小二乘法需要通过极小值判断后建立线性方程组，通过求解线性方程组得到满足条件的解。因此，在链接基础知识时将高等数学中的极小值判断和线性代数中的矩阵求解，在教学过程中利用5—10分钟时间进行讲解。最后，将最小二乘法分解成极小判断、矩阵求解以及基本循环语句进行程序设计，并采用Matlab软件完成教学闭环。需要注意的是，不同内容所构建的基础知识链接图是不同的，因此，需要教师逐章逐节地绘制。另外，在Matlab编程中，可以采用逐步递进的方式，即初始的若干编程课，可以让学生抄写程序，或者提供程序的大体结构，引导学生对空余部分进行填写。

基础知识链接图与数学实验设计主要关注计算方法课程讲解、关联的OBE中的反向设计课程体系和教育教学的理论。需要指出的是，反向挖掘计算方法所包含的基础课知识框架所包含的基础知识链接内容和课堂讲解内容不宜过多、时间不宜过长，以点拨为主。建议通过课堂提问、引导，尽量让学生回忆起来相应的知识，而非重新讲授，且在提问和引导中建立一个自适应过程，即从最贴合所学计算方法内容开始，逐渐向基础挖掘，最终引导至学生所理解的知识为止。因此，所讲解的基础知识的程度和所教授班级学生对于基础知识的掌握程度有关，对于不同年级或者同一年级的不同班级而言，所提问、引导的内容可能存在一定的差异。从这个角度来说，在知识链接的过程中又能反映学生学习为中心的OBE教学思维。基础知识链接图与数学实验设计，一方面，能够降低学生学习“计算方法”课程的门槛，使得学生在入门阶段不掉队；另一方面，能加深学生对于基础知识的理解和基础知识与Matlab调用语句间的对应关系，方便学生在之后的学习中串联基础知识，有望提升学生在学习本课程乃至其他课程的效率。

四、结语

针对“计算方法”课程教学中存在的机械工程问题联系少和相关基础知识拓展少等问题，提出了基于OBE的课程教学改革模式，以学生学习为中心，以成果为导向，反向设计机械工程专业“计算方法”课程体系和教育教学方法。该方法具体步骤为：建立机械工程问题－数学建模－计算求解全过程模型，并在教授计算方法过程中构建基础知识链接图，链接高数、矩阵论等基础课程内容，提高学生学习效率。最终，利用数学实验软件完成计算方法思想在计算机中的实现，进而完成教學闭环。教学改革的完成能够将机械工程问题与计算方法有机结合，将计算方法与相关基础知识有机链接，有助于学生真正掌握“计算方法”课程知识及灵活运用解决机械工程专业问题的能力，为之后的学习和工作打下良好的基础。教师能够更准确、合理地评估教学成效，提高教学效率和全方位培养学生的能力，实现教学相长的效果。另外，所提问题－数学建模－计算全过程教学模式的思路还能够拓展到其他机械工程专业课程中，为其他课程的OBE教育教学改革提供一定的思路和借鉴。

参考文献

[1]刘玉飞，许德章，梁利东，等.基于OBE理念的理工科专业《计算方法》课程教学改革探索与实践[J].教育教学论坛，2018，351（09）：135-137.

[2]吴鸿韬，李智，袁玉倩.《数值分析》课程教学改革：基于OBE的思考与设想[J].软件导刊（教育技术），2019，18（08）：63-65.

[3]葛坤朋，樊罡一，周慧，等.基于OBE工程教育模式的《计算方法》教学实践与探索[J]轻工科技，2020，36（11）：125-126.

[4]武斌，王冠舒.OBE视角下数值分析课程改革探索与实践研究——以中国石油大学胜利学院信息与计算科学专业为例[J].武汉冶金管理干部学院学报，2021，31（01）：72-73.

[5]熊金泉.OBE模式下案例教学法在《数值分析》课程教学中的应用探究[J].南昌师范学院学报，2020，41（06）：50-53.

基金项目：1.湖南工业大学教学改革研究项目（项目编号：2022YB15，2022YB17）；2.湖南省学位与研究生教育改革研究项目（项目编号2020JGYB211）；3.湖南省教育科学“十四五”规划课题（课题编号XJK21CGD02）；4.湖南省研究生教学改革研究项目（项目编号2022JGYB186）

作者单位：湖南工业大学机械工程学院

责任编辑：周航