“双减”背景下初中数学作业设计的基本策略

刘真环

［摘 要］“双减”背景下，初中数学作业设计已经成为初中数学教师教学工作的重要任务之一。初中数学作业设计除了要体现层次性，让不同的学生获得相应的训练，还要注重实践性、富有新意及体现单元整体意识，以促进学生数学核心素养真正得到提升。

［关键词］“双减”背景；初中数学；作业设计

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）02-0011-03

作业指的是学生为完成一定学习任务而进行的学习活动。作业一般分为课堂作业和课后作业，本文主要讨论的是课后作业。课后作业既是检验学生课堂学习效果的有效手段，也是巩固课堂所学知识的有效方式。在实际教学中，如果教师根据统一的教学目标，设计相同内容的作业，或者为了让学生快速掌握教学内容，布置大量重复、内容单一的作业，可能导致学生课业负担过重，长此以往，不利于学生的身心健康成长。为了更好地贯彻“双减”精神，教师应该重视作业设计，对作业的内容和形式进行调整。教师在设计初中数学作业时，应以新课程标准为指导，既要控制作业的“量”，又要保证作业的“质”，以提升学生的数学核心素养。本文以人教版九年级数学部分课时作业为例，探讨初中数学作业设计策略。

一、作业的设计要分层

根据“双减”政策的要求，教师应践行“因材施教”理念，根据学生的能力层次对作业进行分层设计，帮助学生巩固数学基础知识、训练数学基本技能、拓展数学思维和视野，以满足不同层次学生的学习需求和发展需要。

在具体的作业设计中，教师还应遵循由易到难的基本原则，注意知识的层次性。由于学生的认知过程是由低级向高级逐步转变的， 因此教师在设计作业时应遵循这一规律。作业内容要做到由浅入深、由单一到综合、从模仿到创新，拾级而上、逐步提高，既要设计一定数量的基本练习，又要有适当的变式训练，以拓展学生的数学思维。一般而言，可将作业设计成A类基础题、B类综合题和C类探究题三个层次，让学生根据自身能力进行选择，这样可以满足不同层次学生的学习需求。

例如，对于“二次函数的定义”这一节，可以设计这样的作业：

1.形如                             的函数叫二次函数。

2.在下列函数中，[y]关于[x]的二次函数有：                     。

（1）[y=ax2+bx+c]    （2）[y=2x-1]

（3）[y=5x2-2x+2x2]  （4）[y=-x2+2]

3.说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）[y=5x2+14x-1] （2）[y=2（x-1）2+1]

4.下列函数关系中，是二次函数关系的是                                。

（1）在弹性限度内，弹簧的长度[y]与所挂物体的质量[x]之间的关系；（2）当距离一定时，火车行驶的时间[t]和速度[v]之间的关系；（3）矩形的长为宽的2倍，它的面积[S]与宽[x]之间的关系；（4）参加一次聚会的每两人之间握一次手，所有人共握手的次数[m]与聚会人数[n]之间的关系。

5.已知函数[y=（m2-m）x2+（m-1）x+2-2m]。

（1）若这个函数是二次函数，求[m]的取值范围。

（2）若这个函数是一次函数，求[m]的值。

（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？

6.已知[y]与[x2]成正比例，且当[x=3]时，[y=-18]，写出[y]与[x]之间的关系式，它是二次函数吗？

7.初中阶段我们已经学过一次函数、正比例函数，请你回顾前面学习一次函数的思路，用思维导图呈现出来；请你仿照一次函数的研究方法，对将要学习的二次函数的研究思路进行梳理和预习。

本节作业的设计遵循了由浅入深、先易后难的分层设计原则。第1、2、3题是A类基础题，要求所有学生在学习了本节课后都掌握。第4题需要学生根据题目情境列出关系式，再进一步判断函数的类别，较前面题目难度有所增加；第5、6题需要学生能掌握前面学过的一次函数内容，灵活运用本节课的二次函数新知识，难度较大，属于B类综合题。第7题属于C类探究题，需要学生回顾前面研究函数的一般方法和步骤，预估二次函数的研究思路，对学生的要求较高，利于优秀学生形成大单元学习意识。这样的作业设计，使得不同层次的学生均可得到训练，更能提高学生的学习效率。学生存在个体差异，甚至差异会很大，因此教师在设计课后作业时要设计相应的有层次和有梯度的作业内容，确保全体学生通过作业训练都得到知识的巩固和能力的提升。

二、作业的设计要重实践

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，数学课程要培养学生的数学核心素养，要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。在学生完成了一定的数学知识学习后，教师要适当设计综合实践性作业，让学生运用生活經验和所学知识、方法去解决生活实际问题。

例如，在教学“三角函数”后，教师可设计这样的数学实践性作业：

我们周边有很多高大的建筑物，有时不能直接测量其高度。你能应用所学的知识计算出它们的高度吗？请你和同学选择一个建筑物（高物），先设计出方案，再按方案进行测量，最后求出它的高度。

1.确立模型。你将测量的建筑物（高物）是什么？你的测量方案是什么？请你画出示意图，建立模型并写出求解思路。

2.实际测量。请你根据第1步的方案，和同学一起测量，把相关数据记录下来。（小组合作完成）

3.推算。请你完成最后的计算，推测出建筑物（高物）的高度。

4.小结反馈。通过这次活动，你有什么收获？有什么地方是可以改良的？记录下来，和老师、同学们一起分享！

该作业是在学生完成了初中阶段图形与几何领域“图形的性质”“图形的变化”两大主题后布置的一个综合实践性作业，要求学生能够在学习了相关知识点后，从生活实物抽象出几何图形，借助图形分析问题，构建几何模型，形成解决问题的思路，提出解决问题的方法，并实际测量，通过模型估算出高物的高度。从学生的完成情况及反思可以看出，学生通过实践性作业不仅对几个基本几何模型有了更深刻的理解，还能提出实际操作中遇到的问题和解决策略，学生的协作能力也得到了锻炼。

课后作业设计综合实践性问题，让学生解决实际生活问题，不仅能巩固学生所学知识，更能培养学生的实践意识和解决问题的能力，提高学生的数学核心素养。

三、作业的设计要有新意

教师在减少学生机械重复作业的同时，应适当设计形式新颖的创意作业，以激发学生的学习兴趣，满足学生的个性化学习需求，培养学生的创新思维。

例如，在教学完“反比例函数”这一章后，可布置如下作业：

1.“反比例函数”与“闭眼打转”问题

在日常生活中，有一个有趣的现象：当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线。当走的距离足够远时，又回到了原来出发的地方，这就是著名的“闭眼打转”问题。“反比例函数”与“闭眼打转”问题看似两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系呢？看了下面的分析，你就会感受到反比例函数的神奇力量！

相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对此问题进行了深入的研究。他收集了大量事例分析并得到结论：这一切都是由于人自身两只脚在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长（或短）一段微不足道的距离（步差[x]）。而正是这一段很小的步差，导致了这个人走出一个半径为[y]的大圈子！

現在我们来研究一下[x]与[y]之间的函数关系。

如图1所示，假定某人两脚踏线间相隔为[d]，很明显，当人在转圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为[d]的同心圆。

设该人平均步长为[l]，那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程[2πy+d2-2πy-d2=2πd]；另一方面，这个人外脚走的路程是外脚的步长乘步数，内脚走的路程是内脚的步长乘步数，那么外脚比内脚多走的路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，所以有[2πd=2πy2l·x]，即[y=2dlx]。若假设[d=0.1] m，[l=0.7] m，代入得[y=0.14x]，这就是所求的“闭眼打转”问题的半径公式，它是一个反比例函数，假设一个“闭眼走路”的人两只脚的步差长为0.1 mm，那么，仅此微小的差异就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子。看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服呢？

2.有趣的游戏

在举世闻名的水都威尼斯，有个圣马可广场。广场上有一座圣马可大教堂，教堂的前面是一片长方形的开阔场地，长约170米，宽约80米。这片开阔场地一直吸引着四方游人来这里做一个奇特而有趣的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场一端向另一端的教堂走去，看一看谁能到达教堂的正前方。

神奇的是，虽然这段距离只有170米，但是没有一名游客能幸运地做到这一点。大家全都走成了弧线，或向左或向右，偏斜到一边，为什么是这样呢？

（1）我们来算一算，当人们闭上眼睛，如图2所示从广场一侧中央[M]点抵达教堂[CD]的点[C]处，这段弧线的半径[R]为多少？

请同学们回答下面的问题。在矩形[ABCD]中，[BC=170]米，[AB=80]米，[M]是[AB]中点，求[MC]所在圆[O]的半径[R]。

（2）游人如果能够成功，他所走的弧线的半径必须大于或等于这个[R]。请你再用[y=0.14x]计算一下，要达到上述要求，游客的步差[x]的取值范围应该为多少？

你能否说说为什么没有一个游客能够做到“把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，到达教堂的正前方”？

在章节学习结束后，设计这样有新意的作业，能吸引学生深入阅读，积极思考阅读文本背后的数学原理，不仅提高了学生做作业的兴趣，还拓宽了学生的视野，使学生学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界。

四、作业的设计要体现单元整体意识

核心素养导向下的初中数学教学关注的是不同知识之间的联系，强调教学内容的整体性、数学思想方法内在的一致性，因此作业需要围绕主题从单元的角度，基于单元整体来进行设计。

例如，教学“相似三角形”这一章后，教师可设计这样的单元作业：

1.请你回顾本章学习过程，总结本章研究相似三角形的思路、研究内容和研究方法。

（1）补全本章的知识结构图（如图3）

（2）研究思路：定义→性质和判定→应用→特例。

（3）研究内容：研究相似三角形的边和角等具体要素的位置和数量特征；研究特殊的相似——位似。

（4）研究方法：从一般到特殊；类比归纳；演绎证明。

2.请你回顾全等三角形和平行四边形的学习过程，类比相似三角形，你能总结出几何图形的研究思路、研究内容和研究方法吗？

此作业旨在让学生通过回顾和总结全等三角形和平行四边形的研究思路、研究内容和研究方法，结合相似三角形的研究过程，总结归纳出几何图形研究的基本思路、研究内容和研究方法。

教材编写者在编写教材或教师在设计教学时，给学生呈现的是从易到难、精心编写的知识结构，但他们所经历的思维过程却容易被忽略，而其中蕴含的数学思想方法对于培养学生的数学核心素养和解决问题的能力十分重要。因此，在完成章节内容的教学后，教师应对单元内容与方法进行回顾、总结，实现大单元内容的总结与提升。设计单元知识回顾、提升作业，是帮助学生形成数学研究方法、培养思维习惯的有力抓手，教师在设计作业时应重视。

作业是教学的重要载体，是帮助学生巩固课堂知识的主要手段。在进行作业设计时，教师应注意立足单元教学，对作业进行分层设计，同时注意作业的趣味性和与现实生活的关联性，设计出能激发学生的学习兴趣并满足学生的学习需求的作业。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］  曹一鸣.新版课程标准解析与教学指导（2022年版）：初中数学［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑 黄桂坚）