新教材“函数的零点与方程的解”的教学策略

王小燕

［摘 要］教材是教师教学的依据，也是学生学习的主要载体，更是优质的教学资源。函数是高中数学的核心概念，对学生后续学习高等数学起到奠基作用。文章分析新人教A版高中数学教材中“函数的零点与方程的解”出现的变化，并提出相应的教学策略。

［关键词］新教材；函数零点；教学策略

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）02-0008-04

新课标实施后高中数学教材也进行了修订，新教材做出了很多改变，本文所述的“函数的零点与方程的解”就进行了重新编排，更利于学生学科素养的发展。数学教师应通过对比新舊教材，掌握新教材的变化特点，在教学中渗透“用函数零点求解方程”的思想，提升学生的逻辑思维能力；合理运用新教材提高教学效率，培养学生的数学学科核心素养。

一、新教材“函数的零点与方程的解”的内容变化

（一）课题的呈现位置和名称有所变化

1.课题呈现位置的变化

新教材中设置了“函数的零点与方程的解”这一内容，这与旧教材无异，但纵观表1可以发现，旧教材中此内容位于必修1第三章“函数的应用”的第一节“函数与方程”中，而新教材中此内容位于必修第一册第四章“指数函数与对数函数”的第五节“函数的应用（二）”中。

2.课题名称表述的变化

从表1可以看出，新教材中的“函数的零点与方程的解”替代了旧教材中的“方程的根与函数的零点”，并且调整了其他知识点的顺序，新教材更强调运用函数的零点求解问题，同时也表达此章知识点属于“函数的应用”范畴。旧教材的课题“方程的根”在新教材中改为“方程的解”，这是因为一元方程的根和解表达方式是不同的。

（二）知识的编排方式有所变化

1.课题导入突出学习内容产生的必要性

在“零点”知识的教学中，可将情境作为课堂导入的方式，以此让学生对函数与图象的关系有更清楚的了解，为后续的解题奠定基础。新教材采用问题导入的方式，先对部分旧知识进行回顾，再提出“像[lnx+2x-6=0]这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢”的问题，为学生提供类比推理的思路。

2.注重类比特殊函数的零点并调整等价顺序

旧教材“二次函数与一元二次方程、不等式”一节编排在必修5中，而新教材将此节移到必修第一册教材的第二章中。既衔接了不等式内容，又定义了二次函数学习中所涉及的“零点”问题，在对比中得出一般函数的零点定义。新教材调整了旧教材中函数零点与方程解之间的等价关系的呈现顺序，将“求方程解”的问题关系的呈现转化为“求对应函数的零点”问题，并通过调整等价顺序体现函数零点的几何意义。

3.突出定理名称和零点个数

旧教材在阐述函数是否存在零点的判定时以“一般地，我们有”作为开头，并未表示函数的零点存在定理的名称，而新教材在呈现函数的零点存在定理时用蓝色字体凸显了名称。同时，旧教材中的内容是“函数[y=f（x）]在区间[（a，b）]有零点”，新教材中则于“零点”前添加了“至少有一个”，这一改动能够启发学生产生“函数[y=f（x）]在区间[（a，b）]有几个零点”的思考，突出函数的单调性以及证明函数单调性的重要性。另外，新教材更改了“函数的零点与方程的解”的课题名称，同时还将“方程[f（x）=0]的根”改为“方程[f（x）=0]的解”，以“解”进行表述，以作呼应。

（三）旁白的设置有所变化

旁白通常以文字或图片的形式被编排在正文内容旁边，能够对教师的教学和学生的学习进行启发。从功能出发可以将旁白分为探究类旁白和注释类旁白两类，前者以问题引导师生展开进一步思考，后者则是对正文内容的诠释和说明。图1是新旧教材中“函数的零点与方程的解”的旁白对比。

从图1可以看出，新旧教材中此内容的旁白均为针对函数[f（x）=lnx+2x-6]的探究类旁白，启发学生通过证明该函数的单调性得出零点个数。但相较于旧教材，新教材中的旁白增加了一个反问，启发学生思考为何通过已有的两个条件仍无法说明函数[f（x）]只有一个零点。这有助于学生对函数的单调性和确定零点个数的必要性展开进一步的思考。

（四）例题与习题的各方面内容有所变化

1.丰富了例题与习题的类型

旧教材中的题型分为四种：例题、练习、习题A组以及习题B组，并且正文部分编排了例题，而练习编排于小节知识点之后。新教材丰富了例题与习题的类型，分为五种：例题、练习、复习巩固、综合运用以及拓广探索，后三种为小节习题。旧教材中的练习题只需要学生计算出数值或进行简单推理，但新教材中增加了证明题和改错题，有助于学生批判性思维的发展。

2.调整了例题与习题的难度

旧教材中“方程的根与函数的零点”的例题与习题注重对学生的数学认知能力的考查，而新教材则是在知识背景、推理能力方面上加大了难度，同时降低了知识综合方面的难度。

3.突出用函数观点求解的思路

旧教材中出示的例题为“求函数[lnx+2x-6=0]的零点的个数”，新教材中的例题为“求方程[f（x）=lnx+2x-6]的实数解的个数”。由此可见，旧教材设计的例题是直接求函数的零点的个数，而新教材设计的例题联系了课题导入中“像[lnx+2x-6=0]这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况”的问题，即求解[f（x）=lnx+2x-6]零点个数的情境。在分析与解答中，学生需要找到方程解的数量。同时，求方程实数解的个数强调在对方程进行求解时若遇到困难，应化归为求函数的零点问题对方程的实数解进行计算。

二、“函数的零点与方程的解”的教学策略

（一）合理导入，凸显新知识

数学教学的重要目标之一就是培养学生的思维能力，这就要求教师在教学中要突出学生的主体地位，先激发学生的学习兴趣，再指导学生自主学习，这就突出了“导入教学”的重要性。在新教材“函数的零点与方程的解”的内容中，[lnx+2x-6=0]无法用公式求解，这就需要学生开辟新的思路，找到新的解决方法。因此，教师在课堂导入环节应采用合适的方法启发学生的思维，引导学生对旧知识进行迁移应用。

在课堂导入环节，教师可以让学生思考：方程的实数解与对应的函数图象之间的关系如何？并让学生填写下列表格。

同时，让学生回答以下问题：①表格中的一元二次方程有解吗？②一元二次方程对应的二次函数的图象与[x]轴之间存在交点吗？③方程的解和对应函数的图象与[x]轴交点的横坐标之间的关系如何？在导入环节引导学生回顾初中阶段学习的一元二次方程知识，探索方程的实数解与对应函数的图象之间的关系，以“形”助“数”，引出二次函数的零点的概念，以便让学生发现新旧知识之间的关联，有助于学生后续对一般函数的零点的概念和一般函数的零点与对应方程的实数解之间的关系进行学习和理解。

（二）从数学概念出发创设教学情境

1.基于数学概念本质的理解创设情境

新教材比旧教材更重视呈现知识点的背景和应用，这使得学生的数学学习更具探究性和趣味性。对此，在进行教学设计时，教师应充分领会新教材的编写意图，引导学生关注数学概念的形成过程，发挥现成素材的优势，使学生对数学概念的本质进行深入理解。

例如，新教材以“二次函数的零点”的概念为例，给出一般函数的零点的定义，并以大量素材引入此概念，凸显了概念的本质特征。教师可以通过一系列问题引导学生进行辨析：（1）函数的零点所指的并不是一个点，而是交点所在的横坐标。（2）从方程的角度来分析， [f（x）=0]的零点就是对应方程解；从“形”的角度分析，[y=f（x）]的零点是图象与横轴的交点，而从自变量的角度分析，零点是函数值为0所对应自变量[x]的值。（3）零点可以求解方程，在面对无法运用公式求解的方程时，可以先利用函数的性质确定函数的零点，再对方程求解。之后再设计下列问题：①区间[（a，b）]内的零点个数能通过零点存在定理进行说明吗？②[y=f（x）]的图象在[a，b]区间上会有连续不断的曲线吗？③假设[f（a）f（b）>0]，是否存在零点？④如果函数[y=f（x）]的图象在闭区间[a，b]上呈现出一条连续不断的曲线，且函数[y=f（x）]于区间[（a，b）]内存在零点，那么[f（a）f（b）<0]是否成立？在教学中，教师以函数的零点概念为核心，通过铺垫和提问引发学生的进一步思考。

2.以数学概念在教材中的逻辑顺序创设情境

在内容的编排上，新教材比旧教材更具有整体性，注重引导学生观察与分析概念的形成过程。“函数的零点与方程的解”是为学生后续学习“用二分法求方程的近似解”内容做好铺垫。新教材在定义函数的零点时提出了“像[lnx+2x-6=0]这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢”的问题，笔者认为可以如此理解：函数[y=f（x）]是函数的零点定义的前缀，突出[x]在函数值为0时的值，其体现“形”的特点。运用函数的零点求解凸显函数零点的应用价值，这也说明了求方程的解是求函数的零点的意义。因此，教师在教学时应明确“先得出函数的零点再求解方程”的结构顺序，在产生零点后再运用函数的零点求解方程，正确把握新教材的设计意图。

（三）在课堂中采用类比教学

数学知识相较于其他学科知识具有更强的连贯性和衔接性，数学课堂教学的核心内容是把握数学学科的内在逻辑体系。纵观“函数的零点与方程的解”可以发现，新教材以类比二次函数的方式对一般函数的零点的定义和一般函数的零点与对应方程解之间的关系进行抽象概括。此过程与高中生的认知特点相符，有助于他们构建完整的知识网络。对此，教师可以在课堂中运用类比教学的方式讲授本节知识，帮助学生建立一般函数零点的概念，促进学生类比思维能力的提升。

例如，新教材基于旧知识（方程的根、二次函数图象与[x]轴的交点关系），通过类比和延伸引出新知识（函数的零点及定理），具体见表2。

1.类比探究，问题引导

教师可以提出问题：方程[x2-2x-3=0]的实数根和对应的函数图象有什么关系？让学生思考：①如何类比二次函数的零点引出一般函数的零点概念？②函数的零点是点吗？学生在求解方程的过程中能够对方程、函数以及图象的关系有更加明确的认知，更了解“零点”问题，并加深对函数零点概念的理解。之后，教师趁热打铁，通过设计习题让学生在求解方程后求出函数零点，并思考函数零点的存在条件，得出结论。对于无法求解的方程，可以通过绘制函数图象猜测零点。

2.定理辨析，知识运用

教师可通过问题串的形式引导学生学习：①若函数[y=f（x）]的图象在区间[a，b]上呈现出一条连续不断的曲线，并且在区间[（a，b）]内有零点，那么[f（a）f（b）<0]是否成立？②函数在什么条件下只有一个零点？在问题串的引导下，学生的思维能得到更好的发展，同时能加深学生对零点存在定理满足条件的理解。之后，教师再让学生思考：③方程[lnx+2x-6=0]是否可求解？若有解，解的数量是多少个？④判断函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点个数，证明函数[f（x）=lnx+2x-6]为增函数。⑤根据零点存在定理可以说明函数的零点数量吗？学生在解决问题的过程中需要运用本节课所学的知识，并理解函数零点的存在定理，有助于学生数学抽象能力和逻辑推理能力的提升。

（四）巩固练习突出例题与习题的拓展性

新教材丰富了例题与习题的类型，并调整了难度，凸显题目的层次性和拓展性。基于此，教师应设计课堂练习和课后作业，使学生加深对知识的理解，并加强对知识的应用。

例如，新教材第155页“习题4.5”中的第2题是以表格形式呈现数据，要求函数的零点区间学生需要通过对表格进行观察与分析，综合应用定理知识进行证明。对于此题，教师可以引导学生观察[y]值的正、负，进而得到[f（2）f（3）<0]，（2，3）或[f（1）f（3）<0]，（1，3）；[f（3）f（4）<0]，（3，4）；[f（4）f（5）<0]，（4，5）或[f（4）f（6）<0]，（4，6）。本题考查学生对函数零点存在定理的理解和运用情况，能够反映学生对数学知识的综合运用能力。教师在设计习题时应基于教材中的例题与习题进行拓展，使学生能够在解题中有所收获。

［   参   考   文   献   ］

［1］  夏正华.人教 A 版高中数学新教材旁白的分析：以必修第一册文本框旁白为例［J］.中学数学月刊， 2021（3）：40-42.

［2］  官志海.“函数的零点与方程的解”案例分析［J］.黑龙江教育（教育与教学），2021（8）：32-33.

［3］  黄少孟.立足课本 提升数学核心素养：结合一道高考题谈“零点”［J］.数理化解题研究，2021（1）：26-28.

［4］  王华民，张建良.一堂基于核心素养的新教材新授课：高中数学人教A版“对数函数图像和性质”的教学思考［J］.中小学数学（高中版）， 2021（合刊2）：70-73.

［5］  谭娜.“类比教学”在高中数学中的运用：以“函数的零点与方程的解”为例［J］.中学数学，2022（19）：19-21.

（責任编辑 黄桂坚）