二维不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程组的全局强解

刘楠,任永华,张建文

(太原理工大学数学学院,山西 晋中 030600)

1.引言

本文考虑如下不可压缩Navier-Stokes-Landau-Lifshitz耦合模型:

其中Ω ∈R2为光滑有界区域,其边界为∂Ω,ρ=ρ(x,t),u=(u1,u2)(x,t)以及P=P(x,t)分别代表密度函数,速度函数,压强函数,d=(d1,d2)(x,t)表示宏观分子取向力,(1.1)中的项∇d ⊙∇d表示一个2×2的矩阵,其第i行j列元素可表示为∂id·∂jd(1≤i,j ≤2).(1.1)的初边值条件如下所示:

其中v是∂Ω上的单位外法向量.(1.1)是不可压缩的Navier-Stokes和Landau-Lifshitz方程耦合而成的.若u=0,则(1.1)3为Landau-Lifshitz方程;当d为一个常值向量时,(1.1)1、(1.1)2以及(1.1)4是不可压缩的Navier-Stokes方程;若(1.1)中省略d×∆d,则(1.1)是向列相液晶方程.Navier-Stokes方程反映了粘性流体流动的基本力学规律,在流体力学中有十分重要的意义,Landau-Lifshitz方程是描述磁性物质动态磁化现象的方程,对非平衡态磁学的研究起着十分重要的作用,而这两个方程进行耦合之后的系统可以用来描述磁体磁化的色散理论.Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程目前已经被许多作者在不同角度研究过,其中DUAN和ZHAO[1]在(ε>0)足够小的条件下,证明了三维不可压缩的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程柯西问题解的全局适定性;FAN等人[2]利用精细的估计,得到了Besov空间以及乘子空间中Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程光滑解的正则性准则;WANG和GUO[3]通过Faedo-Galerkin近似以及弱紧性理论证明了二维空间中不可压缩的Navier-Stokes-Landau-Lifshitz方程弱解的存在唯一性.

贯彻于全文,采用如下简记的空间记号:

本文主要结论如下:

定理1.1对常数q ∈(2,∞),假设初始数据(ρ0,u0,d0)满足

此外,假设以下初值条件成立:

那么对任何0

2.预备知识

引理2.1[4]假设初值(ρ0,u0,d0)满足条件(1.4),则存在一个正时间T,使得问题(1.1)–(1.3)在Ω×(0,T)中有唯一强解.

引理2.2[7](Gagliardo-Nirenberg不等式) 对于任意q ∈[2,∞),r ∈(2,∞)以及s ∈(1,∞),假设f ∈H1(R2)以及g ∈Ls(R2)∩D1,r(R2),则存在依赖于q、r以及s的正常数C,满足如下

接下来给出Stokes方程的正则性性质:

引理2.3[8]假设F ∈Lr(Ω),1

引理2.4[9]设(ρ,u,d)为问题(1.1)-(1.3)在(0,T)上的强解,假设0≤ρ ≤则

3.先验估计

引理3.1设(ρ,u,d)为系统强解,(ρ0,u0,d0)满足初值条件(1.4)以及(1.5),则存在正常数C使以下成立:

证由最大值原理、方程(1.1)1、以及方程(1.1)4可得

本文假设m ≥1,则

1) 用u与方程(1.1)2做向量积,然后在R2上积分,利用分部积分与方程(1.1)4可得

2) 用-∆d-|∇d|2d与方程(1.1)3做向量积,并且在R2上积分可得

则由式(3.5)以及(3.6)可知,式(3.4)可写为

将式(3.3)和(3.7)相加,并在[0,T]上积分,由Gronwall不等式可得

另一方面,由于

结合式(3.9)以及(3.10)可得

则(3.13)对t积分并由Gronwall不等式可得

则(3.1)成立.

推论3.1对任意t ∈[0,T],有以下成立:

证首先由式(3.1)以及(3.2)可直接得到

再对方程(1.1)3应用L2估计,并借助H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.16)可得

再次借用式(3.1)可得

则式(3.15)可直接得到.

引理3.2设(ρ,u,d)为系统(1.1)强解,且初始数据(ρ0,u0,d0)满足条件(1.4)以及(1.5),则存在正常数C使以下成立:

证

1) 用ut与方程(1.1)2做向量积并在R2上积分可得

由式(3.2)、Holder不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式,可得

将(3.22)代入(3.21)中,且根据young不等式以及式(3.1)可得

由引理2.4以及式(3.23)可得

2)对方程(1.1)3作用∇,再乘-∇∆d,并在R2上积分可得

则由Gagliardo-Nirenberg不等式以及式(3.1)可得

式(3.26)与(3.24)相加,取ε足够小可得

则由式(3.27)可得

满足m(t)′≤Cm(t)n(t)+Cm(t)n(t)logm(t),则

则由式(3.28)、(3.1)以及Gronwall不等式可得

接着式(3.27)对t积分,并由式(3.29)以及(3.1)可得

最后由式(3.17)以及(3.29)可得

则(3.18)可由式(3.29)、(3.30)以及(3.31)得到.

引理3.3由式(2.2)、(3.1)以及(3.18)有下式成立:

一般来说，体育小镇的空间布局由点、轴、网和域等4个基本要素构成，这4个要素不是简单意义的空间形态，而是有着特定内涵和功能的区域[5]，每一要素的内涵及布局要求如表1所示。

引理3.4设(ρ,u,d)为(1.1)强解,且(ρ0,u0,d0)满足初始条件,则存在依赖T的正常数C使以下成立:

证1) 对方程(1.1)2关于t求导,可得

用ut与(3.34)做向量积,并在R2上积分,由方程(1.1)1以及式(1.1)4可得

现对Ii进行估计,由H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)、(3.15)以及式(3.18)可得

将以上估计式代入式(3.35)中可得

2) 对方程(1.1)3关于t求导,可得

用-∆dt与方程(3.37)做向量积,并且在R2上积分可得

现对Mi进行估计,通过H¨older不等式、Gagliardo-Nirenberg不等式、式(3.1)以及式(3.18)可得

将以上估计式代入式(3.38)并与式(3.36)相加,取ε足够小可得

由式(3.1)、(3.18)、(3.22)以及式(3.32)可得

式(3.39)乘以t并对T积分,再由Gronwall不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.40)可得

3) 对方程(1.1)3关于t求导可得

用dtt与上面的方程做向量积,并R2在上积分可得

现对Ji进行估计,利用H¨older不等式、Cauchy不等式、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得

将Ji的估计式代入(3.42)再乘以t,并由式(3.15)、(3.18)以及(3.41)可得

4) 对方程(1.1)3作用∇,再乘以∇∆d,由(a×b)·b=0、式(3.1)、(3.15)、(3.18)以及式(3.41)可得

则由式(3.18)以及式(3.41)可得

最后由式(3.22)、(3.18)、(3.32)、(3.44)以及式(3.41)可得

则式(3.33)可由式(3.41)、(3.43)、(3.44)以及式(3.45)得到.

引理3.5对定理1.1中q ∈(2,∞),存在一个正常数C,使得对任意r ∈[2,q),有以下成立

证1) 由引理2.3、Sobolev不等式、式(3.1)、(3.18)、(3.44)以及式(3.45)可得

因此,由式(3.33)可得

2) 根据Stokes方程的正则性理论、H¨older不等式以及Gagliardo-Nirenberg不等式可得

式(3.48)对t积分,并由式(3.18)、(3.33)、(3.40)以及式(3.1)可得

显然∇ρ满足如下方程

用q(∇ρ)q-1与其做向量积,并在R2上积分且由方程(1.1)4可得

则结合Gronwall不等式以及式(3.49)可得

再次利用方程(1.1)1可得

由式(3.50)以及式(3.18)可得

则(3.46)可直接由式(3.47)、式(3.50)、以及式(3.51)可得.

4.定理1.1的证明

证由引理2.1知,存在T∗>0使(1.1)-(1.3)在[0,T∗]有局部唯一强解(ρ,u,d),因此为了证明定理1.1,只需要证明局部解可以扩展到全局解即可.

否则,若T∗<∞,由引理3.1-3.5可知,在t=T∗时,(ρ,u,d)满足初始条件,因此,引理2.1意味着可以存在T∗∗>T∗使(ρ,u,d)作为(1.1)-(1.3)的强解可以扩展到T∗外,与(4.1)矛盾,故(4.2)成立.