“新形势”背景下康奈尔笔记法在自动控制原理课程建立数学模型教学中的探究

裴玖玲 王宪磊 闫同斌 张洪洲 胡灿

［摘           要］  针对自动控制原理课程中系统数学模型教学中存在的记忆性知识点多、应用条件复杂等问题，给出一种基于康奈尔笔记法的建立系统数学模型教学理念与记录应用等实践教学方法。依据康奈尔笔记法对各种数学模型的建立方法进行了5Ｒ归纳，总结5种数学模型的定义、建立过程和方法，各模型之间的转换方法，以及系统函数这个最重要数学模型的特征和几种求解方法，便于理解与记忆。通过实例分析与课堂实际教学效果验证了所提方法的有效性与可行性。

［关    键   词］  康奈尔笔记法；自动控制原理；数学模型；微分方程；结构图；信号流图

［中图分类号］  G642                   ［文献标志码］  A                   ［文章编号］  2096-0603（2024）03-0０57-04

一、引言

自动控制原理课程是塔里木大学（以下简称我校）电气工程及其自动化、自动化、农业电气化等工科专业的核心专业基础课，为了改变传统课堂沉闷、学生学习积极性低下问题，在该课程的教学中融入“新工科”[1]教育理念，对培养学生兴趣，提高学生动手能力、创新意识、解决复杂工程问题的能力有极其重要的意义。课程教学组老师在教学过程中针对课程教学痛点，对该课程进行教学改革和教学创新，通过教学改革实践，培养学生的创新思维，提高学生的创新能力。课程建设注重结合专业应用型人才培养目标，课程教学目标支撑各专业人才培养目标，根据专业人才需求，结合工程案例，不断改进课程内容，以学生为中心，不断改变教学方法，不断提高学生的课程实践技能，使學生的课程理论水平和实践能力得到进一步提升。随着打造我校“自动控制原理一流课程”的建设，把广泛应于医学、计算机、英语等专业教学并获得成功的康奈尔笔记法引入自动控制原理课堂教学中[2]，教学效果与以往相比发生了本质上的改变。

康奈尔笔记法由康奈尔大学的Walter Pauk博士提出，以Keywords（关键词）、Notes（笔记）及Summary（概括）为主要特征，包含Record（记录）、Reduce（简化）、 Recite（背诵）、 Reflect （补充）、Review（复习）5个阶段，又称5R笔记术[3]，非常适用于自动控制原理课程抽象性、分析对象的复杂性和多样性、综合性的教学。本文以“塔里木大学重点学科建设”和打造“自动控制原理一流本科课程”项目为依托，针对自动控制原理课程中关于控制系统数学模型建立理论教学和实践教学中存在的问题，从教学理念、教学内容、教学方法等实践环节方面进行了改进。依据康奈尔笔记将建立系统数学模型进行了5R归纳，总结为系统数学模型的定义、建立的方法，各种数学模型之间的关系，并注解它们的作用和本质。通过这种新的教学思路，在课堂上把理论与具体实际案例相结合，促进了学生深入理解系统数学模型的相关内容，有助于我校自动控制原理这一课程与国际先进教学水平接轨。

二、康奈尔笔记法

康奈尔笔记法是把笔记、复习、自测和思考结合到一体的学习方法，以5R为特征：其精华就是基于笔记本三栏区间的划分，将课前预习和自测相结合，快速、准确地进行课堂记录，从而提高学生课堂学习效率。康奈尔笔记法示意图如图1所示，核心在于记录、简化、背诵、补充与复习，现以建立系统数学模型为学习背景，阐述如何展开相应的康奈尔笔记教学。

（一）记录（Record）

记录（Record），顾名思义，让学生在最大的笔记栏（Notes）中先进行快速直接的记录与收集[4]。主要记录数学模型的相关定义和类型。

1.数学模型定义、建立方法

数学模型是描述系统（或环节）内部各物理量之间关系的数学表达式。建立了数学模型，可以定量（或精确）地给出系统中一些变量之间的相互关系。系统数学模型的建立，方便对控制系统进行各种分析和设计。因为系统的时域分析、根轨迹分析、频域分析和系统矫正都是基于数学模型对系统进行稳定性分析、动态响应分析、误差分析和系统矫正的。建立方法有机理建模法和是实验法，LTI系统常见的数学模型有常系数线性微分方程、系统函数、频率特性函数、结构图等。

2.微分方程

根据元部件伏安关系和电路定律，通常需要四步就可列写出系统的数学模型：（1）根据要求，确定输入量xi（t）、输出量xo（t）和中间变量。（2）按变量遵循的物理定律列写元部件的微分方程式。（3）消去中间变量，整理只含xi（t）、xo（t）的微分方程。（4）标准化：xi（t） 在右边，xo（t） 在左边，导数降幂排列。那么，n阶LTI系统的时域数学模型为式（1）：

3.系统函数

微分方程数学模型虽直观 ，一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计，最重要的数学模型是系统函数。其定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。在定义中，需要重点指出“一范围、一条件”，即这个模型适用范围是LTI系统，零初始条件意味着零初使条件是指当t≤0时，系统输入信号r（t）、输出信号c（t）以及它们的各阶导数均为零。系统函数表达式为式（2）：

可通过S域电路模型求出系统函数，也可对（1）式求拉氏变换来得到n阶系统的系统函数拉氏变换，即为式（3）：

4.结构图

结构图，是一种将控制系统图形化了的数学模型， 可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程，图中包含信号线、方框、比较器三种元素。它是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法，如下图2（a）所示。把环节的传递函数标在结构图的方块里，这样输入量和输出量就可用传递函数表示，如图2（b）所示。这时Y（s）=G（s）X（s）的关系可以在结构图中体现出来。并且，各环节结构图通过串联、并联、反馈连接方式，可以表示出任何复杂系统的结构图。通过结构图的化简，可以导出系统函数。

5.信号流图

也是一种图形化的数学模型，是结构图的简化表达。通过节点［X1（s）、X2（s）］、支路（连接节点的带箭头的线段）、增益（支路旁标的传递函数G（s））三种元素， 是用图示方法表示出线性化代数方程组变量间关系，如图3所示。由信号流图，利用梅森公式，可以求出系统函数。

6.频率特性

频率特性函数是系统在频域中的数学模型，定义为零初始条件下，系统输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比，即为式（4）。

通过对微分方程求傅里叶变换，可推导出频率特性函数。当然，也可通过系统函数来求出频率特性函数。

（二）简化（Reduce）

简化也就是从繁杂的知识信息中获取关键词、关键句，用最快速度理清学习思路，起到提纲挈领作用。系统的数学模型种类很多，除了有时域的、频域的、S域的，还有图形化了的数学模型，结构图和信号流图，画出数学模型的思维导图，即为图4。需要注意，一个系统在不同域可以有不同的数学模型，且各个模型之间不是孤立的，而是可以互相转化的。

（三）背诵（Recite）

背诵，就是把简化的重点与记录的资料作对照，输出学习行动的执行力，其要旨就是突出内容的本质与深度，尽力精简，便于记忆。根据讲义，需要背诵并掌握各个模型的建立方法。

由电气原理图建立时域微分方程数学模型时，需要四个步骤：（1）根据要求，确定xi（t）、xo（t）和中间变量。（2）按变量遵循的物理定律列写元器件的微分方程式。（3）由电气原理图变量，整理只含xi（t）、xo（t）的微分方程。（4）标准化：xi（t） 在右边，xo（t） 在左边，导数降幂排列。（注意：只需要确定变量、列方程、消变量、标准化四个步骤。）

由电气原理图绘制系统结构图时，也需要四个步骤：（1）确定系统的输入、输出变量。（2）由输入到输出列写各组成环节（元件）的微分方程。（3）由各环节（元件）微分方程列写拉氏变换方程并绘制对应的传函方框图。（4）根据信号流向由输入到输出连接各环节（元件）的传函方框图。（注意：只需要确定变量、列写元部件微分方程组、转化成拉氏方程组并绘制环节结构图、连接各环节结构图这四步。）

结构图化简可得系统函数这个数学模型，需要注意利用环节串联、并联、反馈、相加点前移和后移、分支点前移和后移、相邻相加点的移动、相邻分支点移动等化简规则。

由结构图、微分方程、系统函数可画出简化的系统图形数学模型——信号流图。当然，已知系统的信号流图，利用梅森公式，也可得系统函数、微分方程等数学模型。系统输入量和输出量之间传递函数（增益）的梅逊公式为式（5）：

根据微分方程，求零初始状态下的拉氏变换，可得系统函数数学模型。

根据微分方程，求零初始状态下的傅里叶变换，可得系统的频率响应数学模型，且频域数学模型，可直接转换S域的系统函数。

根据系统的单位脉冲响应，通过求拉氏变换，可得系统函数；求傅里叶变换，可得系统频率特性函数。

（四）补充（Reflect）

补充（Reflect），对系统数学模型有了整体了解之后，对传递函数这个最基本、最重要的数学模型的特点、与其他数学模型的转化方面，做一下补充。已知其他数学模型，如微分方程、结构图、信号流图等求传递函数的思维导图如图5所示。

传递函数常见有三种形式，除了如（3）式的有理真分式，还有首1式和尾1式。首1式，又称零极点形式，即式（6）：

在式（6）中，传递函数分子M（s）=0，解下来的s值即为零点；传递函数分母D（s）=0，解下来的s值即为极点；（传递函数的极点就是系统的特征根）；零极点分布决定著系统的性能，根轨迹分析系统时，系统函数通常写成首1式。并且，如果系统函数的零极点全部在S平面的左半平面，对应的系统为最小相位系统，否则，如果有极点或零点出现在右半平面，对应的系统就为非最小相位系统。

尾1式，又称时间常数形式，即式（7）：

从系统函数的尾1式，可以很清楚地看出系统由哪些典型的环节（元部件）组成，在对系统做频域分析和系统矫正的时候，系统函数经常采用尾1式，即典型环节组合形式。常见的典型环节，有比例环节、惯性环节、纯积分环节等，我们可以看出，除延迟环节，其他典型环节的零极点都在S平面的左半平面，所以，如果一个系统是由典型环节（延迟环节除外）组成的，系统就是最小相位系统。

系统函数的10大特点：（1）传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的。（2）传递函数与微分方程一一对应，有相通性。（3）传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一般低于或等于分母的阶数n，即m≤n，且所有系数均为实数。（4）传递函数只取决于系统本身的结构和参数，而与输入信号的形式和大小无关。（5）传递函数描述了系统的外部特性（输出与输入之间的关系），但它不反映系统的内部物理结构的有关信息，因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是系统的相似性。（6）传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。（7）传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应，反过来单位脉冲响应的拉氏变换是系统函数，即g（t）=L-1［G（s）］ G（s）=L［g（s）］。（8）传递函数只能表示输入与输出的函数关系，至于系统中的中间变量无法反映出来。（9）一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。（10）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函数的所有性质。