对一道课后改编习题的深入思考——不等量异种电荷连线上场强最弱位置的求法

张文杰 武 维 全水聪

(包头市第九中学 内蒙古 包头 014010)

1 问题的提出

下面的习题是一道人教版新教材必修第三册“9.3电场 电场强度”课后习题第7题的改编题目:

【题目】如图1所示,真空中有两个异种点电荷,Q1=4Q2,分别固定在x轴的坐标为0和6cm的位置上.一带正电粒子从1cm处静止释放,在仅受电场力作用下沿x轴运动,现研究该粒子从1cm到5cm运动过程,下列说法中正确的是( )

图1 题图

A.该粒子速度先增大后减小

B.该粒子加速度先增大后减小

C.该粒子电势能先减少后增大

D.该粒子在1～2cm的动能变化量大于3～4cm的动能变化量

该题目的正确答案为选项D,要想正确分析求解1～2cm的动能变化量和3～4cm的动能变化量之间的关系,必须分析得出在Q1、Q2连线上0～6cm之间电场强度最弱的点所在位置,对于该问题的分析,学生在做题时出现了以下两种典型的错误.

2 两种错误解法及错因分析

错解一：

设在Q1、Q2连线上0～6cm之间电场强度最弱的点坐标为xcm,根据点电荷电场强度的计算公式和电场强度的叠加原理

对上式通分得

令

f(x)=5x2-48x+144

对上式求导可得

f′(x)=10x-48

当f′(x)=0时,解得x=4.8cm.

错因分析:在求场强最小值的过程中,由于电场强度表达式的分母中x2(6-x)2并不是一个单调函数,因此,对f(x)=5x2-48x+144求导数得到的最小值仅仅是分子的最小值,而不是电场强度E的最小值.

错解二：

设在Q1、Q2连线上0～6cm之间电场强度最弱的点离Q1的距离为r1,离Q2的距离为r2.

由基本不等式可得

r1=4cmr2=2cm

因此,在Q1、Q2连线上0～6cm之间电场强度最弱的点坐标为4cm.

但在式(1)的应用中

3 正确解法

设在Q1、Q2连线上0～6cm之间电场强度最弱的点离Q1的距离为r.设a=r,b=6-r,则

a+b=6

令

求导可得

F′(a)=-8a-3+λ

F′(b)=-2b-3+λ

F′(λ)=a+b-6

分别令

F′(a)=0 F′(b)=0 F′(λ)=0

可解得

所以当

时,场强有最小值.

图2 函数图像

4 总结

通过上述对不等量异种电荷连线上场强最弱位置的错解分析及其正确解法可见,学生在学习物理时必须合理使用数学知识,并且不能死记硬背,要灵活掌握数学公式、定理的适用条件,同时希望本文给出的用拉格朗日乘数法求极值的方法可以对学生解决类似问题有所帮助.