基于Rényi-α 熵的参数化纠缠度量*

戴伟鹏 贺衎 侯晋川

(太原理工大学数学学院,太原 030024)

与各种非参数化纠缠度量相比,参数化纠缠度量显示了其优越性.并发纠缠被广泛用于描述量子实验中的纠缠.作为一种纠缠度量,它与特定Rényi-α 熵有关.本文提出了一种基于Rényi-α 熵的参数化两体纠缠度量,命名为α-对数并发纠缠.与现有的参数化度量不同,首先定义了纯态的度量,然后推广到混合态.进一步验证了α-对数并发纠缠满足纠缠度量3 个条件.展示了对纯态的度量是容易计算的,然而对于混合态,解析计算只适用于特殊的双量子位态或特殊的高维混合态.因此,本文致力于建立一般两体态α-对数并发纠缠的一个下界.令人惊讶的是,这个下界是这个混合态的正部分转置判据和重排判据的函数.这表明了3 种纠缠度量之间的联系.有趣的是,下界依赖于与具体态相关的熵参数.这样我们可以选择适当的参数α,使得Gα(ρ)≫0用于特定态ρ 的实验纠缠检测.此外,计算了isotropic 态的α-对数并发纠缠的表达式,并给出了d=2时isotropic 态的解析表达式.最后,讨论了α-对数并发纠缠的的单配性.建立了两个量子比特系统中并发纠缠和α-对数并发纠缠之间的函数关系,然后得到了该函数的一些有用性质,并结合Coffman-Kundu-Wootters (CKW)不等式,建立了关于α-对数并发纠缠的单配性不等式.最终证明了单配性不等式对于α-对数并发纠缠是成立的.

1 引言

近年来,围绕量子纠缠这一课题展开了大量的研究,对量子信息理论产生了深远的影响.量子纠缠在量子密集编码[1]、量子隐形传态[2]、量子密钥共享[3]、量子密码[4]等量子计算和量子信息中起着不可或缺的作用.如何验证一个量子复合系统态是纠缠态还是可分态是量子信息理论的一个基本问题.对于一般的混合态,这仍然是未解决的问题.到目前为止,两体纠缠有两个重要的纠缠判据.一种是正偏转置(PPT)判据[5],这个判据描述了对于任意可分的两体态ρAB,它的偏转置矩阵满足≥0.正偏转置判据只是纯态和2⊗2 或者2⊗3混合态的纠缠判据的充要条件,但一般而言,对于更高的维度是不充分的[5,6].另一种是重排判据[7–9],即对任意可分的两体态ρAB,它的重排矩阵R(ρ)满足∥R(ρ)∥1≤1,其中∥X∥1表示矩阵X的迹范数,∥X∥1=这两个纠缠判据在量子信息理论中得到了广泛的应用.

纠缠度量的关键是度量一个纠缠量子系统可以利用多少资源,这对量子信息的定量研究具有重要意义.对于两体系统,常见的纠缠度量有: 并发纠缠[10–12]、负性纠缠[13,14]、生成纠缠[15,16]、Rényi-α熵纠缠[17,18]、Tsallis-q熵纠缠[19]、robustness 纠缠[20]等.对于任意的纯态|ψ〉AB,并发纠缠可表示为C(|ψ〉AB)=其中ρA=trB|ψ〉〈ψ| .近年来,通过并发纠缠,参数化纠缠测度问题被广泛研究[21–23].杨雪等[21]提出当q≥2 时的参数化单调纠缠量q-并发纠缠,它与一般的Tsallis-q熵有关,并且通过联系PPT 判据和重排判据来刻画它的解析下界.魏志伟等[22]将q-并发纠缠的解析下界刻画得更紧致.此外,魏志伟和费少明[23]受Tsallis-q熵纠缠和参数化单调纠缠量q-并发纠缠的启发,对于任意的0 ≤α≤1/2,提出了一种新的参数化纠缠度量,命名为α-并发纠缠,并且研究了它的性质,刻画了其解析下界.本文将提出一种参数化纠缠度量,命名为α-对数并发纠缠.

此外,用解析方法计算任意给定混合态的纠缠度是非常困难的.目前,只适用于特殊度量和双量子位态或特殊的高维混合态[12,24–28].因此,寻找纠缠度量的解析下界具有重要意义.如在文献[29–33]中,通过联系PPT 判据和重排判据,给出了并发纠缠的解析下界.本文的一个目标是构造α-对数并发纠缠的解析下界.第2 节给出α-对数并发纠缠的定义,然后证明它是一个良好的纠缠度量;第3 节根据PPT 判据和重排判据,得到一般两体系统α-对数并发纠缠的解析下界;第4 节计算了isotropic 态的α-对数并发纠缠;第5 节研究α-对数并发纠缠的单配性问题.

2 α-对数并发纠缠

在量子系统中,对于Hilbert 空间HA⊗HB中的任意纯态|ψ〉,并发纠缠(concurrence)定义为

其中,ρA为子系 统A 的约化 密度算子,ρA=trB|ψ〉〈ψ|.纯态的并发纠缠与特定的Rényi-α 熵有关,即当α=2时,C(|ψ〉)=其中R2(ρA) 表示α=2时的Rényi-α熵,R2(ρA)=-log2tr.接下来,定义另一个参数化纠缠度量并命名为α-对数并发纠缠,对于α≥2,它与一般的Rényi-α 熵有关.

HA⊗HB是任意d×d维的Hilbert 空间,任意定义在Hilbert 空间HA⊗HB上的纯态|ψ〉 可以表示为Schmidt 分解:

其中λi表示Schmit 系数的平方,且λi>0,m是Schmit数,1 ≤m≤d.{|ai〉}和{|bi〉}是与子系统A 和B 相关联的规范正交列[34].

定义2.1对于任意的纯态|ψ〉,α-对数并发纠缠可以被定义为

对任意的α≥2,其中ρA=trB|ψ〉〈ψ| 是约化密度算子.

根据上面的定义,对于任意的纯态|ψ〉 通过Schmidt 分解,可以得到

其中,Gα(|ψ〉) 满足0 ≤Gα(|ψ〉)≤-log2m1-α.当且仅当|ψ〉 是可分态时下界可以得到,当最大纠缠纯态时,上界可以得到.

定义2.2对于Hilbert 空间HA⊗HB中的一般的混合态ρAB,可以通过凸顶的形式对α-对数并发纠缠进行定义:

令D是Hilbert空间HA⊗HB上的一 个两体态的集合.一个良好定义的纠缠度量E应该满足以下基本条件[35–37]:

1)E(ρ)≥0对于任意态ρ ∈D,当且仅 当ρ 为可分态时等号成立;

2)E(ρ) 在局部酉变换下是不变的,即E(ρ)=

3) 在局部操作与经典通信(LOCC)下E(ρ)是不增的,即对任意的LOCCΛE(ρ)≥E(Λ(ρ)) .

定理2.1α-对数并发纠缠Gα(ρ) 由定义2.2给出的形式,是一个纠缠度量.

证明需要验证Gα(ρ) 满足纠缠度量定义的3 个条件.

1) 由定义2.1可以得到Gα(|ψ〉)≥0,再通过Gα(ρ)的凸顶形式,根据定义可以得到Gα(ρ)≥0 .如果ρ 是一个纠缠态,那么在ρ 的任意纯态分解中,至少存在一个纠缠纯态|ψ〉,那么至少有一个Gα(|ψi〉)>0,再根据Gα(ρ) 的凸顶形式,可以得到Gα(ρ)>0.因此,Gα(ρ)=0 当且仅当ρ 是可分态.

2) 由tr(ρα) 的酉不变性,可知Gα(|ψ〉) 是局部酉不变的,再根据Gα(ρ) 的凸顶形式,可以得到

3) Mintert 等[38]证明了在LOCC 条件下,可以从态|ψ〉开始制备态|ϕ〉当且仅当λψ ≺λϕ.λψ表示由态|ψ〉 的Schmit 系数的平方按降序给出的Schmit 向量.λψ ≺λϕ表示λψ被λϕ优化.由于在LOCC下纠缠度量是不增的,当λψ ≺λϕ时,任意纠缠度量E必须满足E(ψ)≥E(ϕ) .在文献[39]中,这种条件被称为Schur 凹.E作为Schmidt 系数的平方λi的函数是Schur 凹的,当且仅当满足下面两个条件:

1)E在任意两个元的置换下是不变的;

2) 对于λ的任意两个分量λi和λj,满足

接下来,只需验证Gα(ρ) 是Schur 凹的即可得到Gα(ρ)在LOCC 下是不增的.所以,需要验证上述两个条件.首先,对任意纯态|ψ〉,当λ中的任意两个Schmidt 系数的平方λi和λj置换时,α-对数并发纠缠Gα(ρ) 是不变的.所以验证了条件1).一个简单的计算表明:

对λ中的任意两个Schmidt 系数的平方λi和λj都成立.当α≥2时,,所以可以直接验证(6)式的不等式成立.根据上述条件,可以得到:

式中最后一个不等式由Gα(ρ) 的凸顶形式的定义得到.证明完成.

3 α-对数并发纠缠的下界

本节通过使用PPT 判据和重排判据来推导α-对数并发纠缠的下界.一个两体态可以写成的形式,i和k是子系统A 的行和列下标,j和l是子系统B 的行和列下标.PPT 判据[5,6]: 如果态ρAB是可分的,则对A 系统的偏转置是非负的,即≥0,偏转置矩阵为

重排判据[7–9]: 重排矩阵为

如果态ρAB是可分的,则∥R(ρ)∥1≤1,其中∥X∥1表示矩阵X的迹范数,∥X∥1=

定理3.1对于HA⊗HB上维数分别为m和n(m≤n)的任意混合纠缠态ρ,α-对数并发纠缠Gα(ρ)满足下面不等式:

从文献[21]和文献[40]可以得到下面的不等式:

这里,不等式(16)来自不等式:

因此,将不等式(22)代入不等式(18),可得:

根据(9)式,即

用类似的方法可以证明

结合不等式(23)和不等式(24),可得

至此完成了该定理的证明.

4 α-对数并发纠缠关于isotropic 态

Isotropic态ρF可以表示为

定理4.1给出isotropic态ρF在Cd ⊗Cd(d≥2)上的α-对数并发纠缠Gα(ρ) :

其中,F ∈(1/d,1],co(η(F,α,d)) 表示给定函数η(F,α,d)上界的最大凸函数.

证明下面利用文献[26,41,42]中的相关方法给出这个定理的证明.对称态ρF下的Gα由下式给出:

其中函数η(F,α,d) 可定义为

通过Schmit 分解可以得到

通过直接计算可以得到

其中Fd≥1 .极值的条件由下式给出:

其中Λ1,Λ2表示拉格朗日乘子.对任意的α≥2,是关于的凸函数.我们知道一个凸函数和一个线性函数至多在两点上相交,因此方程(32)至多有两个非零解.令γ,δ表示这两个正解,则

其中n+m≤d,n≥1 .最小化问题已转化为如下问题:minGα(|ψ〉) 约束条件为

其中Gα(|ψ〉)=-log2(nγ2α+mδ2α).通过求解上述方程,可以得到:

因此,只需要在1 ≤n≤Fd和Fd≤n+m≤d定义的平行四边形区域上最小化Gα(|ψ〉) 即可.首先,通过对约束条件做如下微分来计算γnm和关于n和m的导数:

接下来,计算Gα(|ψ〉) 关于n和m的偏导数:

同样是金枝玉叶的段誉，第一次来燕子坞吃的那些：“茭白虾仁”“龙井茶叶鸡丁”，看看就教人馋涎欲滴。段誉的当时心理评判是这样的：“鱼虾肉食之中混以花瓣鲜果，色彩既美，自别有天然清香。”

容易发现:

因此,主要通过分析下面的方程来判断偏导数是正还是负:

通过分析得到:

不等式(43)可由函数f(α)=(关于α 的增函数)得到.对于任意的α≥2和γ≥δ,有

和之前一样主要分析前面的方程:

通过化简得到:

设t=δ/γ,t ∈[0,1] .记(49)式中括号里面的式子为

则f(1)=0.对f(t) 求导得到下式:

然后,令

则g(1)=1.对g(t) 求导得到下式:

有h(1)=0,当α≥2时,

通过这种方法,得到函数η(F,α,d) 的解析表达式为

其中,γ和δ 可以写成

至此完成了对定理的证明.

例4.1为了方便起见,以d=2为例,即

其中F ∈[1/2,1],可以得到:

根据co(·) 的定义,需要计算η(F,α,2) 的二阶导数来判断其性质,从而给出co(η(F,α,2)) 的解析式.对于二阶导数,有

通过(66)式和(67)式可以知道P1-P2和P1+P2是非负的.然后可以得到下面的结果:

根据不等式(68),有

接下来可以得到:

对任意的α≥2都成立,其中当且仅当F=1 时等号成立.因此,对F ∈[1/2,1],η(F,α,2) 的二阶导数是非负的.也就是说,当α≥2时,η(F,α,2) 是F ∈[1/2,1]上的凸函数.根据co(η(F,α,d)) 的定义,可以得到co(η(F,α,2)) 的解析式.双量子比特isotropic态ρF的Gα由下式给出:

5 α-对数并发纠缠的单配性

本节建立了一个关于α-对数并发纠缠的单配性的数学表达式.首先,在双量子比特中建立并发纠缠与α-对数并发纠缠Gα之间的函数关系.对双量子比特纯态,得:

对任意两体纯态|ψ〉AB,并发纠缠C(|ψ〉AB) 可以写成:

不难发现,|ψ〉AB的Schmit 系数λ0,λ1,即约化密度矩阵ρA的特征值与C(|ψ〉A√B) 存在一一对应的关系.这个关系为通过上述方法,可以定义双量子比特系统中并发纠缠与Gα之间关系的函数.

定义5.1对任意的α≥2,gα(x)是x ∈[0,1]上的可微函数,使得

根据gα(x),可以写出下式:

根据gα的性质,可以给出混合态ρAB的形式.

引理5.1对任意的α≥2,gα在x ∈[0,1] 上是一个单调递增的凸函数.

这个引理证明由文献[18]给出.基于这个引理,给出了关于混合态ρAB的如下定理.

定理5.1对任意的α≥2,当gα是单调递增的凸函数时,有

对任意的双量子态ρAB.

式中第二个等式来自Gα(|ψ〉AB)=gα(C(|ψ〉AB)) .第一个不等式来自gα的凸性.根据gα是单调递增函数以及C(ρAB) 的定义,可以得到第二个不等式.设存在一个最优分解使得

式中第二个等式来自C(|ψi〉AB)=C(ρAB),不等式来自Gα(ρAB) 的定义.根据上述两个不等式,可以得到:

至此,完成了证明.

CKW 不等式是单配性不等式,具体如下:

其中C是并发纠缠,|ψ〉A(BC)表示将ABC 切分成两部分A 和BC,C(ρAB)和C(ρAC) 是约化密度矩阵ρAB和ρAC在子系统AB 和AC 上的并发纠缠.

引理5.2对于任意的α≥2,

其中0 ≤x,y≤1,0 ≤x2+y2≤1 .

这个引理证明由文献[18]给出.

定理5.2对于α≥2 和任意的三体量子态ρA(BC),有关于Gα单配性不等式:

证明对于α≥2,注意到,对于A 和BC 的二分,|ψ〉A(BC)是2⊗4 纯态.由于gα(x) 单调递增的性质以及CKW 不等式,可以得到:

其中ρAB=trC(|ψ〉ABC〈ψ|),ρAC=trB(|ψ〉ABC〈ψ|),然后利用引理2中的不等式,得到

将两个不等式结合起来得到:

根据Gα和并发纠缠的函数关系,(84)式可以改写为

式中最后一个不等式来自于Gα(ρ) 的定义.至此,完成了证明.

6 结论

本文研究了基于Rényi-α 熵的参数化纠缠度量问题.首先,引入了α-对数并发纠缠的概念,其中α≥2 ;然后,证明了α-对数并发纠缠是一个定义良好的纠缠度量,得到了α-对数并发纠缠的下界,计算了isotropic 态的α-对数并发纠缠的表达式;最后,对该纠缠度量单配性问题进行了讨论.参数化纠缠度量α-对数并发纠缠给出了一族纠缠度量,丰富了量子纠缠理论,后续工作可以对参数α 的范围进行讨论,研究α ∈(0,1) 时的情况.