借助模型转化 凸显数学本质——以“乘法的初步认识”为例

哈尔滨市群力实验小学 王 睿

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称新课标）强调：数学模型的建立，可以让学生感受到很多生活问题都可以用数学模型进行表达和解释，从而更深刻地认识到数学与生活的联系。

一、建构模型，建立数学与外界的关联

（一）数学的本质与作用

数学是研究数量关系和空间形式的科学。它是对现实生活的抽象化，具体包括数量以及数量关系、图形和图形关系的抽象。 这些抽象化的概念形成了数学的探究目标。建立在抽象结构之上， 通过对研究目标进行符号运算、形式推理、模型构建等，生成数学的观点和途径，它能协助我们理解、识别并描述现实生活中的本质、关系和规律性质。

新课标将“数与代数”和“图形与几何”两个主题进行了重新组织，以便更好地理解和掌握数学知识。 在“数与代数”领域，把传统的六个主题整合为“数与运算”“数量关系”两个主题；在“图形与几何”领域，把传统的四个主题整合为“图形的认识与测量”“图形的位置与运动”两个主题[1]。 例如，通过对数量的抽象，可以更好地理解自然数的大小关系，而通过对角的概念的介绍，可以更好地理解角的大小关系。 可以看到，这样的整合有利于学生感悟数学的本质，形成和发展核心素养。

（二）数学建模的意义

研究数学就是探讨现实生活中的数量关系和空间结构，从而发现一些具有普遍适用性的规律，将这些规律运用到其他领域或日常生活中，从而形成多种多样的数学模型。因此，数学建模是数学应用的基本方式，模型思想是数学的一种基本思想。一套完备的数学模型构建步骤涵盖了从现实状况中用数学角度发现问题、提出问题、分析问题、创建模型、解决问题、检验结果、对模型进行优化的过程，最后成功处理实际问题。这一过程比较充分地反映了数学课程要培养的核心素养，即数学观察、数学思考与数学表达。 正因为如此，许多国家和国际组织提炼数学素养的依据就是数学建模过程[2]。

以数量关系这一部分为例， 数与运算包括整数、小数、分数的认识及其四则运算，是按照加、减、乘、除数学发展规律进行教学的。 数与运算的关系图体现了数的运算本质上的一致性， 从中可以看出加法是四则运算的核心（见图1）。数概念的教学应融合进“＋”的主题，讨论数量关系涉及到数学模型的使用。 利用这些模型，人们会采用数学创造的语言、 符号和方法来解读真实世界中的故事，从而构建数学与生活实际的联系。数学建模是数学活动中较为复杂的内容，构建模型的过程中难度相对较大。因此，教师在数学教学中，应该更关注学生的生活体验，利用一些简单的日常环境以及现有的模型，重视数学化的过程。

图1 数与运算关系图

二、立足教材，落实数学语言素养

数学语言素养在小学阶段的主要表现之一是“模型意识”。教学前教师要对学习内容有深入的了解，抓住知识本质巧妙设计问题，激发学生的学习兴趣，获得学习动力，引导思考方向，提出建构模型的问题，这样在设计问题时就有了方向，学生的思考就有了目标，为推导模型的建立指明了方向。 下面以“乘法的初步认识”为例进行解读。

（一）整体解读，直指单元本质

新课标指出： 通过感悟数的运算及运算之间的关系，体会数的运算本质的一致性， 形成运算能力和推理意识。“乘法的初步认识”一课，学生通过在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟乘法模型的意义，形成模型意识，引领学生认识到乘法是一种简化的加法运算。 感受乘法和加法内在的一致性， 是求几个相同加数的和是多少。所以本课核心素养聚焦在“推理意识”“模型意识”两个核心词上。

“乘法的初步认识”这个部分，是学生对乘法运算概念的首次触碰和理解，是学习乘法、除法以及多位数的乘除法的基石，同时也是增强学生运算能力的重要步骤。 在教学过程中，我们通过丰富且生动的直观表象，辅助学生构筑乘法模型的理解。我们将一连串的同加数相加的运算抽象为“几个几”的表述方式，进而构建起加法运算式与乘法运算式之间的联系。

（二）前后勾连，形成整体模型构架

在学生已经熟练掌握“加法”及“100 以内加减法”的基础之上，开始深入研究“乘法的初步认识”。现阶段，学生已经成功地建立了加法模型，即几个数相加就是把几个数合起来，且他们能准确地完成基础的加法运算。 在接触这节课之前，有一部分学生已经通过多种途径对乘法有了直观的理解， 还有一些学生已经通过各种方法记住了乘法表。然而，他们对乘法含义的理解相对宽泛，需要借助直观表象，以及连加的加法表达式，初步了解乘法模型。

建立模型的过程包含：从实际生活或特定情境中提炼数学问题，利用数学符号构建等式来描绘数量关系，推导答案并剖析答案的意义。这些步骤能帮助学生开始形成模型思维，提升他们对数学的兴趣和实践观念。 教材应遵循课程内容，排列出利用现存知识和经验进行解决问题的任务。这类任务应以“问题情境——建模——解决验证”作为流程，这一流程有助于理解和掌握相关知识技能，感受数学思维，积累实践经验。

三、围绕本质，建构数学模型

学生对于乘法其实并不陌生，那么，怎么让学生的认识从加法过渡到乘法， 在思考中真正掌握知识的“生长点”与“延伸点”？这是我们每一位教师在用新课标指引下进行教学设计时都应该思考的问题。 选择学生熟悉的生活素材，让他们体会乘法的由来。 通过多元的表征方法，帮助学生理解加法与乘法的关系，初步感受乘法的意义，体会乘法的简便性。

（一）问题引领，经历数学化过程

教师可直接出示教材游乐园主题图（见图2），并引导学生从图中找到数学信息，提出数学问题。从问题“小飞机里面一共有多少人？ ”入手，预设学生会出现以下几种方法。

图2 数学教材中游乐园主题图

方法一：每架小飞机里的人数相同，都是3 人。 于是3个3 个数，并且把每3 人圈了起来，数出15 人。

方法二： 列出连加法算式求出一共有多少人。 3+3+3+3+3=15。

此时，可借助学生汇报的契机进行追问：你能用一句话让我一听就明白吗？学生会总结出——5 个3 相加。利用加数数量多的特点，巧妙地在读法中铺垫乘法的意义，5 个3 相加是15。 这为学生塑造了关于几个几相加的表象，为之后深化乘法含义提炼打下坚实的基础。

接下来按此方法将学生提出的问题依次进行分析，列式计算。

“过山车有多少人？ ”学生已经建立了几个几的表象，发现图中有7 个2，直接列出连加法算式：2+2+2+2+2+2+2=14。此时，让学生的思维进一步延伸：如果过山车增加一排座位呢？ 那就是8 个2 相加，如果增加到20 排座位呢？ 那就是20 个2 相加。或者增加更多的座位，你还想继续列出连加算式吗？学生会提出不想，因为太麻烦，想用几个2 来表示，或者直接有学生提出可以用乘法。由此揭示乘法，帮助学生初步建立乘法模型。

（二）结果解释，感悟建模的意义

我们分析问题、解决问题的过程，就是灵活运用学习过的数学知识和数学方法， 进行数学思维并再创造的过程。这个过程，既需要正向的、发散的思维，又需要逆向的、收敛的思维，正逆向思维的结合处，就是问题得以解决的关键节点。 加深学生对乘法含义的把握，根据乘法的含义构建“乘法模型”，尝试多种方法理解乘法的本质，在进行数学活动的累积过程中，充实数学经验，并发展学生的数学思维能力。

进一步理解乘法算式中2 和7 的含义。可设计这样几个核心问题。

1.乘法算式会读了，那算式中的2 在图中表示什么，能找到吗？

2.能从加法算式中找到2 吗？

3.能在图中找到7 吗？

4.能在加法算式中找到7 吗？

深刻理解7 是2 的个数。7 在图中表示7 节车厢，在加法算式中是2 的个数。引领和深入的问题使乘法算式的每个部分变得更细致，逐步揭示“2”和“7”，为理解创建基础。目标在于加强“相同加数”的概念以及它们在乘法算式中的数量的理解， 让学生认识到乘法其实是加法的延伸，含义相同，只是更加简洁明了，突出了乘法意义的本质，培养学生的模型意识。

（三）多种维度，验证乘法模型

数学建模要引导学生在实际生活中探寻知识的根本，利用数形结合去理解数量关系，同时在多元表征中拓展概念的形象。理清学生的思路，深化学生对乘法意义的理解：一个乘法算式可以表示两层含义。 出示方格图（见图3），每个方格站一人，一共有多少人？ 分别列出加法算式和乘法算式。

图3 4 行5列方格图

经过对比和研究，学生察觉到同一情境可以被表述为不同的加法算式以及相同的乘法算式。 比如，以横向视角观察，每行有5 个，有这样的4 行，此时可以用加法表达为：5+5+5+5，或者乘法表达为：4×5 或5×4。 而从竖向对比，可以视为每列含有4 个，有这样的5 列，加法的表达形式是：4+4+4+4+4，而乘法仍旧是4×5 或5×4。

不同角度的实物情境通过聚焦后， 进行感官的观察、分析、比较，可以帮助学生验证乘法模型，在实物图中抽象出加法算式及乘法算式， 从而发现乘法算式的两层含义，建构“4×5”和“5×4”的模型。

从观察生活情境开始，到让学生留意生活中能用乘法解决的问题，让他们体会数学与生活的密切联系，通过经历简单的“建模”过程，培养学生的模型意识，体会数学化的过程。