一种考虑关节跃度约束的实时刀具路径光顺算法

杜煦 常泽鑫 郑军强 任鹏飞

摘要 ：针对机器人加工过程中关节跃度超过约束的问题，提出一种考虑机器人关节跃度约束的刀具路径光顺算法。采用有限冲激响应滤波器插值算法对五轴刀具路径进行光顺处理，一步完成了路径光顺和速度规划。建立了关节与刀具之间的速度、加速度和跃度关系，通过调整时间常数保证了关节跃度不超过约束。考虑机器人关节加速度约束后，该算法计算出的时间常数更小。仿真和实验结果表明该算法能减小关节的跟踪误差，提高机器人的工作稳定性。

关键词 ：关节跃度约束；五轴刀具路径光顺；有限冲激响应滤波器插值；机器人加工

中图分类号 ：TH161；TP242

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2024.02.012

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

A Real-time Tool Path Smoothing Algorithm Considering Joint

Jerk Constraints

DU Xu 1 CHANG Zexin 1 ZHENG Junqiang 2 REN Pengfei 1

1.School of Mechanical Engineering，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou，310018

2.School of Mechanical Engineering，Hangzhou Dianzi University，Hangzhou，310018

Abstract ： Aiming at the problems of joint jerk exceeding constraints in robot machining， a tool path smoothing algorithm was proposed considering joint jerk constraints. The FIR filter interpolation was used to smooth the five-axis tool paths. Path smoothing and speed planning were achieved in one step. The relationship of velocity， acceleration， and jerk between joint and tool was established， and the joint jerk did not exceed the constraint by adjusting the time constant. Time constant calculated by the proposed method was smaller than considering the acceleration constraints of robot joint. Simulation and experimental results show that the proposed algorithm may reduce the tracking error of the joint and improve the stability of the robot joint in machining.

Key words ： joint jerk constraint； five-axis tool path smoothing； finite impulse response（FIR） filter interpolation； robot machining

0 引言

與数控机床相比，机器人具有柔性高、工作空间大等优点，在复杂零件的加工中得到了越来越广的应用  ［1-2］ 。在机器人的加工任务中，刀具路径命令通常为离散的线性命令（G01）  ［3］ 。转角处的刀具路径是切向不连续的，这导致关节的速度和加速度也不连续，因此刀具在每个转角往往需要减速到零，这不仅降低了加工效率，还会引起机器人关节的振动  ［4］ 。为解决小线段路径带来的问题，通常对路径进行光顺处理，以实现机器人关节的平稳运动  ［5］ 。

五轴刀具路径光顺一般分为两步，首先使用参数曲线分别对刀尖和刀轴的路径进行光顺处理  ［6-7］ ，再使用数值方法对光顺后的参数曲线进行同步  ［8-9］ 。参数曲线插补计算复杂，难以在线计算  ［10-12］ ，且参数曲线与直线路径的连接处通常是高阶不连续的，导致机器人关节产生振动，影响加工质量  ［13］ 。

TAJIMA等  ［14-16］ 采用有限冲激响应（finite impulse response，FIR）滤波器分别与刀尖速度和刀轴速度作卷积运算，并通过重叠运动学曲线一步实现了路径光顺和速度规划。与传统方法相比，这种实时插补算法减少了计算量，有利于数控系统的实时插补，但没有考虑关节的运动学约束。LIU等  ［17］ 采用FIR滤波插值算法在工作空间中对刀尖运动进行插值，在关节空间中对刀轴运动进行插值。此算法虽然可以直接满足关节的运动学约束，但不适用于机器人。SUN等  ［18］ 将基于FIR滤波的光顺算法用于机器人加工，通过机器人关节位移对刀具位移的导数，建立关节与刀具之间的速度和加速度的关系，通过关节的速度和加速度约束来调整FIR滤波器的时间常数（保证机器人关节的速度和加速度在约束内），并在六自由度机器人上进行了验证。上述方法都没有考虑关节的跃度约束，而机器人的耦合特性会导致某些时刻的关节跃度超过约束  ［19-20］ ，对机器人造成冲击，影响加工质量。

一种考虑关节跃度约束的实时刀具路径光顺算法——杜 煦 常泽鑫 郑军强等

中国机械工程 第35卷 第2期 2024年2月

针对上述问题，本文提出一种考虑关节跃度约束的刀具路径光顺算法。使用FIR滤波器分别对刀尖和刀轴运动进行滤波，得到跃度有限的刀具运动，再通过调整FIR滤波的时间常数实现刀尖和刀轴的运动同步；建立了关节约束和切向运动学约束之间的关系，通过调整FIR滤波器的时间常数来满足关节的速度、加速度和跃度约束;在五自由度加工机器人上进行了仿真和实验。

1 基于FIR滤波的路径光顺

1.1 FIR滤波器原理

FIR 滤波器是一个有限长度的单位脉冲响应滤波器，在拉普拉斯域中，其传递函数定义为

G n（s）= 1－ exp （sT n） sT n   （1）

式中，T n为第n（n=1，2，…，N）个 FIR 滤波器的时间常数；N为滤波器的个数。

求式（1）的拉普拉斯逆变换，可以得到时域上的脉冲信号：

g（t）= δ（t）－δ（t－T n） T n   （2）

δ（t）= 1  t≥0 0  t<0

式（2）表示的是单位脉冲信号，任意曲线与 FIR 滤波器作卷积运算时，曲线与X轴围成的面积不会发生改变，即卷积运算前后曲线的积分结果不变。利用该特性，将速度曲线与 FIR 滤波器进行卷积运算，则卷积前后的刀具位移不会改变。速度曲线与多个滤波器卷积运算后，便可得到高阶连续的运动学曲线。滤波后的速度曲线由滤波前的速度曲线与多个滤波器卷积运算后得到，即

v′（t）=v（t） g 1（t） g 2（t） … g n（t）  （3）

n=1时，生成的是梯形速度曲线，加速度不连续，会导致加工产生冲击。n=2时，生成的是 S 形速度曲线，加速度连续且速度曲线较平滑，广泛用于机床和机器人的加工系统。 本文采用2个滤波器与速度曲线进行卷积，运动学曲线如图1所示，图中，T   v 1 为卷积前的运动时间，T   v 2 、T   v 3 分别为第一个和第二个滤波器的时间常数。

1.2 切向约束下的时间常数计算

加工中，工艺决定了刀具的最大速度、最大加速度和最大跃度即刀具的切向运动学约束。 FIR 滤波器的时间常数决定了滤波后刀具的速度、加速度和跃度的大小，因此需要计算出满足刀具切向运动学约束的时间常数。以相邻的刀具路径为例来说明切向约束下计算时间常数的过程。首先计算刀尖位移和刀具角位移：

L n=| P   n+1 － P  n|

θ n= arccos | O  n· O   n+1 |   （4）

式中，L n为第n段刀尖路径的长度； P  n、 P   n+1 分别是刀尖路径上第n个和第n+1个路径点的坐标；θ n为第n段刀轴路径的角度； O  n、 O   n+1 分别为刀轴路径上第n个和第 n+1 个路径点的坐标。

以刀尖运动为例，根据切向约束计算出 FIR 滤波器时间常数的范围：

T   v1  ≥L n/v   max

T   v2  ≥v   max  /a   max

T   v3  ≥a   max  /j   max     （5）

式中，v   max  、a   max  、j   max  分别为切向的速度、加速度和跃度 约束。

为生成时间最优的运动学轨迹，式（5）中各式取等号。

1.3 时间同步

计算出时间常数后，还需要对刀尖和刀轴的运动进行时间同步。刀尖的运动时间T  v 、刀轴的运动时间T  ω 分别为

T  v =∑ 3 n=1 T   v n   （6）

T  ω =∑ 3 n=1 T   ω n   （7）

如果T  ω >T  v ，则调整刀尖运动的时间常数T   v 1 ，同步刀轴运动。T   v 1 按下式调整计算：

T′    v 1 =T  ω －T  v +T   v 1   （8）

调整后，T   v 1 增大到T′    v 1 ，T   v 2 、T   v 3 不变，因此最大速度v   max  、加速度a   max  和跃度j   max   会减小，这意味着同步后的刀尖运动依然满足切向运动学約束。如果T  ω

T′    ω 1 =T  v －T  ω +T   ω 1   （9）

如果T  ω =T  v ，則刀尖运动的时间常数和刀轴运动的时间常数不需要调整。

1.4 光顺误差控制

1.2节和1.3节计算了路径点之间的刀具运动，生成的刀具速度在路径转角处为零，这种运动造成效率损失。通常的处理方法是在转角处重叠相邻路径的速度曲线，以避免转角处的刀具速度降为零，并生成光滑的运动轨迹。首先利用下式将刀尖速度分解为X、Y、Z方向的速度：

v x（t） v y（t） v z（t）  =v（t）  l x l y l z  =v（t）  P   n+1 － P  n | P   n+1 － P  n|   （10）

利用球面线性插值，将刀轴角速度分解为i、j、k方向的角速度  ［15］ ：

v i v j v k = ω（t）（ O   n+1  cos  θ（t）－ O  n cos （θ n－θ（t）））  sin  θ n

θ n= arccos （ O  n· O   n+1 ）  （11）

通过转角时，分别重叠X、Y、Z、i、j、k方向的速度曲线。重叠速度曲线前，刀具沿线性路径运动。重叠速度曲线后，刀具会在转角处偏离原始的线性路径，产生几何偏差。因此需要选择合适的重叠时间T   vc  以满足刀尖和刀轴的光顺误差 约束。

以刀尖运动为例，如图2所示，当相邻路径的速度v n=v  n+1 时，转角轮廓关于转角平分线对称，最大的光顺误差出现在轮廓的中点 P  m。刀尖光顺误差ε   TCP  的计算公式为

ε   TCP  =| P  m－ P  n|=|s 2 l  2－s 1 l  1|=

T 3   vc   48T   v2  T   v3   V        0≤T   vc  ≤2T   v3

4T 2   v3  －6T   v3  T   vc  +3T 2   vc   24T   v2   V 2T   v3  ＜T   vc  ≤T   v2  +T   v3     （12）

V= v 2 n+v 2  n+1 －v nv  n+1  cos  θ   TCP

θ   TCP  = arccos （ l  1· l  2）

式中， l  1、 l  2分别为 P   n-1  P  n和 P  n P   n+1 的方向向量；s 1为从 P  m减速到 P  n的距离；s 2为从 P  n加速到 P  m的距离；θ   TCP  为 l  1和 l  2的夹角。

由式（12）可以看出，随着重叠时间T   vc  的增加，刀尖光顺误差逐渐增大。为满足刀尖光顺误差约束ε  p    max  ，根据式（12）得到转角重叠时间T   vc  的计算公式：

T   vc  =   3  48T   v2  T   v3  ε  p    max   V        0≤T   vc  ≤2T   v3

T   v3  + 3  8T   v2  ε  p    max   V － T 2   v3   3   2T   v3  ＜T   vc  ≤T   v2  +T   v3     （13）

并选择满足对应公式范围的值。如果v n≠v  n+1 ，则转角轮廓不再关于角平分线对称，在这种情况下，式（12）计算的轮廓中点误差将大于最大的光顺误差，因此通过式（13）计算出的重叠时间T   vc  依然可以使刀尖光顺误差满约束ε  p    max  。

同理，可以近似计算出刀轴的重叠运动时间T   ωc  。最后选择T   vc  和T   ωc  中的较小值作为刀尖和刀轴运动的重叠时间，保证光顺误差在约束范围内，则重叠时间T  c 为

T  c = min （T   vc  ，T   ωc  ）  （14）

2 关节约束下的时间常数调整

机器人关节和刀具之间存在复杂的运动关系，在满足切向约束的情况下，关节的速度、加速度和跃度有可能超过关节的运动学约束。 建立关节运动和刀尖运动的关系：

q · =  d q  d t =  d q  d s   d s  d t =q′s ·   （15）

q  ¨ =q″s ·  2+q′s  ¨   （16）

q … =q s ·  3+3q″s · s  ¨ +q′s …   （17）

式中，q · 、q  ¨ 、q … 分别为关节的速度、加速度和跃度；q′、q″、q 分别为关节位移关于刀尖位移s的一阶、二阶和三阶导数；s · 、s  ¨ 和s … 分别为刀尖的速度、加速度和跃度。

2.1 关节速度约束

关节的速度需要满足：

|q ·  n|=|q′  n|s · ≤|q′  n|s ·    max  ≤q ·    max ，n   （18）

n=1，2，…，5

s ·    max  =L/T   v1    （19）

式中，q′  n为第n个关节的位移关于刀尖位移的一阶导数； q ·    max ，n 为第n个关节的速度约束；s ·    max  为路径的最大速度；L为路径的长度。

结合式（18）和式（19），可得

T   v1  ≥L|q′  n|/q ·    max ，n   （20）

q′  n=  d q n  d s = q n（s+ d s）－q n（s）  d s   （21）

2.2 关节加速度约束

已知关节的加速度约束q  ¨    max ，n ，通过式（16）得到关节加速度需要满足的范围：

－q  ¨    max ，n ≤q′  ns  ¨ +q″ ns ·  2≤q  ¨    max ，n   （22）

进一步可以得到

|q′  n||s  ¨ |≤|q′  n||s  ¨    max  |≤

|q  ¨    max ，n －q″ ns ·  2|   q  ¨  n≥0

|q  ¨    max ，n +q″ ns ·  2| q  ¨  n<0   （23）

结合式（22）、式（23）可以得到T   v 2 的计算 公式：

T   v2  ≥  |q′  n||s ·    max  | |q  ¨    max ，n －q″ ns ·  2|    q  ¨  n≥0

|q′  n||s ·    max  | |q  ¨    max ，n +q″ ns ·  2|  q  ¨  n<0   （24）

文獻［18］计算的时间常数T′    v 2 为

T′    v2  ≥ |q′  n||s ·    max  | q  ¨    max ，n －|q″ n|s ·  2   （25）

对比式（24）和式（25）可以看出，q  ¨  n＜0，q″  n<0，q  ¨  n≥0，q″  n>0时，T′    v 2 =T   v 2 ；q  ¨  n≥0，q″  n<0时，

|q′  n||s ·    max  | |q  ¨    max ，n －q″  ns ·  2| < |q′  n||s ·    max  | q  ¨    max ，n －|q″ n|s ·  2   （26）

q  ¨  n<0，q″  n>0時

|q′  n||s ·    max  | |q  ¨    max ，n +q″ ns ·  2| < |q′  n||s ·    max  | q  ¨    max ，n －|q″  n|s ·  2   （27）

由式（26）、式（27）可以看出T′    v 2 >T   v 2 。因此本文方法计算的时间常数T   v 2 小于文献［18］的方法，即在相同的关节加速度约束q  ¨    max  下，本文的方法缩短了刀具的运动时间。

2.3 关节跃度约束

关节的跃度需要满足下式：

－q …    max ，n ≤q   ns ·  3+3q″  ns · s  ¨ +q′  ns … ≤q …    max ，n   （28）

同理，可得

|q′  n||s … |=|q′  n||s …    max  |≤

|q …    max ，n －q   ns ·  3－3q″  ns · s  ¨ |   q … ≥0

|q …    max ，n +q    ns ·  3+3q″  ns · s  ¨ | q … <0   （29）

结合式（28）和式（29），得到T   v 3  的计算公式：

T   v 3 ≥  |q′  n||s  ¨    max  | |q …    max ，n －q   ns ·  3－3q″  ns · s  ¨ |    q …  n≥0

|q′  n||s  ¨    max  | |q …    max ，n +q   ns ·  3+3q″  ns · s  ¨ |  q …  n<0   （30）

式（30）约束了路径点之间的关节跃度。在转角处重叠跃度曲线会出现关节跃度超过约束的情况  ［17］ 。如图3所示，图中，蓝色、 红色曲线分别代表第一段路径和第二段路径的关节跃度。图3 a 中，黑色虚线表示刀具运动到路径角点的时刻，可以看出，重叠前关节的跃度在约束内。图3 b 中，黑色虚线分别代表刀具进入转角和离开转角的时刻， 蓝绿色曲线表示路径转角处的关节跃度，可以看出，在路径转角处重叠跃度曲线会导致关节跃度超过运动学约束。为解决这个问题，将关节跃度约束q …    max  设为原始约束的1/2，以使在转角处重叠相邻路径的跃度曲线时能保证跃度不会超过约束。

3 仿真结果和实验结果

3.1 仿真结果

在五自由度加工机器人上对本文算法进行验证。如图4所示，五自由度加工机器人由2-UPR-RPU并联机构（2条UPR支链和1条RPU支链组成）和2个串联的移动平台组成， O  r X  r Y  r Z  r为机器人坐标系， OXYZ 为工件坐标系。

刀尖的速度、加速度和跃度约束分别为 v   max =50 mm/s， a   max =500 mm/s 2， j   max =10 000 mm/s 3。 刀轴的角速度、角加速度和角跃度约束分别为 ω   max =10°/s， ω  ·   max =100°/s 2， ω   ¨   max =2000 °/s 3。 刀尖、刀轴的光顺误差约束分别设为 ε  p  max =0.02 mm， ε  o  max =0.02°，关节的运动学约束如表1所示。光顺后的路径如图5所示。

为验证本文提出方法的有效性，将本文方法与文献［18］的方法进行对比，图6所示为刀尖的速度曲线和刀轴的角速度曲线，两种方法的刀尖的最大速度都为48.2 mm/s，刀轴的最大速度都为10°/s，均满足切向的运动学约束。仿真中，关节1、2、3、5的跃度均未超过约束。关节4的跃度曲线如图7所示，文献［18］方法在时刻A～E超过了跃度约束，而本文方法将关节跃度限制在约束范围内，验证了本文方法的有效性。此外，本文方法的加工时间为13.215 s，文献［18］的方法为13.169 s，将关节4的跃度减小后，本文方法的加工时间依然与文献［18］的方法非常接近。

如图8所示，本文方法的 T   v2 为2.355 s，文献［18］方法的 T   v2 为2.370 s，本文方法计算的时间常数比文献［18］方法的短0.015 s，证明了式（26）和（27）的有效性。

3.2 實验结果

图9所示为五自由度加工机器人实验平台，通过上位机计算关节的运动数据，Dspace1202实时控制系统将位置命令发送给驱动器。每个关节由直线电机驱动，关节的位置数据由编码器获得，实验的加工路径和采用的运动学约束与3.1节 相同。

关节4的跟踪误差如图10所示，表2具体给出了时刻A～E的跟踪误差。结合图7可知，文 献［18］方法在这5个时刻的关节跃度超过了约束，而本文方法的关节跃度始终在约束范围内。表2的数据说明本文方法在这5个时刻的跟踪误差小于文献［18］方法，且E时刻本文方法的跟踪误差减小了14.57%。实验结果说明本文方法可将关节跃度限制在约束范围内，并减小关节的跟踪误差，证明了本文方法的有效性。

4 结论

（1）首先通过关节运动对刀具运动的导数建立了机器人关节跃度和刀具跃度之间的关系，然后使用关节的跃度约束重新调整了FIR滤波器的时间常数，保证机器人的关节跃度都在约束范围内。

（2）考虑关节加速度约束时，本文的时间常数小于现有方法，提高了加工效率。实验结果表明，在几乎不降低加工效率的情况下，本文的跟踪误差最大减小了14.57%，在保证机器人加工效率的同时减小了关节的跟踪误差。

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（ 编辑 张 洋 ）

作者简介 ：

杜 煦 ，女，1986年生，副教授、硕士研究生导师。研究方向为数控加工技术与装备。发表论文14篇。E-mail：duxu@zstu.edu.cn。

郑军强 （通信作者），男，1986年生，讲师，硕士研究生导师。研究方向为机器人技术及其应用。发表论文11篇。E-mail：zhengjunqiang@hdu.edu.cn。