溯本清源 格物致知

文／武妍

例1【苏科版数学教材七（下）80页第2题】用不同的代数式表示图1中草坪的面积。由此，你能得到怎样的等式？试用整式乘法法则说明这个等式成立。

图1

【解析】观察图形可知，草坪的面积等于大正方形的面积减去两条路的面积，但要注意有重叠部分。故可得S=20×20-2a×20+a·a=400-40a+a2。

将图中的两条路平移至两边后，可得草坪的面积为S=（20-a）2。

利用完全平方公式对（20-a）2展开，可得400-40a+a2。

∴等式（20-a）2=400-40a+a2成立。

【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景。观察得出等式并明确完全平方公式是解题的关键。

变式如图2，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b=10，ab=12，则图中阴影部分的面积为________。

图2

【解析】将a+b=10两边平方，得

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将ab=12 代入，得a2+b2+24=100，即a2+b2=76，

则两个正方形面积之和为76。

【点评】我们还可将图中阴影部分切割成两个三角形，分别表示出两个三角形的面积再求和。本题充分体现了割补法求面积的巧妙之处。

例2【苏科版数学教材七（下）90页第10题】

观察下列式子：

探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立。

【解析】两个连续偶数的积与1 的和等于这两个偶数中间的奇数的平方，即2n（2n+2）+1=（2n+1）2（n为正整数），左边=4n2+4n+1=右边，所以等式成立。

【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，利用整式运算即可求解。

变式观察下列算式：

①1×5+4=32，②2×6+4=42，③3×7+4=52，④4×8+4=62，……

请你观察规律解决下列问题：

（1）填空：____×_____+4=20152。

（2）写出第n个式子（用含n的式子表示）并证明。

【解析】（1）由以上4个等式可以看出规律：每一个等式中第一个数字等于序号数，第二个数字比第一个大4，等式右边的底数比第一个数大2，指数始终为2。因此，2013×2017+4=20152。

（2）由（1）可知第n个等式为n（n+4）+4=（n+2）2。

∵左边=n2+4n+4=（n+2）2=右边，

∴n（n+4）+4=（n+2）2成立。

【点评】本题是教材原题的翻版，大部分同学可迅速发现规律并证明，证明时可分别求解左右两边，证明等号左右两边相等即可。