动态变化混叠模型下盲源分离中的源数估计*

白 琳,温媛媛,李 栋

(中国空间技术研究院西安分院 空间微波通信全国重点实验室,西安 710100)

0 引 言

对于机载、星载平台等应用场景,由于重量、空间及体积等方面的限制,引入的接收传感器数目不可能很多,往往要少于源信号数目,这属于欠定盲分离问题范畴[1]。在无线传感器网络中,由于成本或者环境的约束,传感器的数目少于源信号的数目,这也属于欠定盲分离。欠定情况下,系统是不可逆的,即使混合矩阵已知,源信号也不存在唯一解。近几年来,欠定的盲分离问题一直是研究的热点,也取得了很大的进展[2-4]。到目前为止,主要采用基于稀疏表征的两步法求解欠定盲分离问题,即求解过程分两步实现盲分离,首先估计混合矩阵A,在已知A的基础上再求解源信号s(t)。在实际应用环境中,信源数和混合形式通常是未知的,对于空间中传播的所有信号,不可能都会一直持续存在。在当前时刻传播的信号,在下一时刻可能会消失。或者,当前时刻不存在的信号,下一时刻可能会出现。另外,信道的特性由于受到环境的影响,也不可能会一直持续不变。例如在移动通信系统中一个小区的用户数是未知的,随时有可能增加或减少,即在此场景下混合矩阵是动态变化的。对于这种情况下的欠定盲分离,源信号数目更应该被实时估计。因此,源数目估计对盲分离技术的发展具有重要意义,也是目前必须予以解决的问题。然而,有关盲分离源数目估计的专门研究尚不多见。对于动态变化混叠模型下盲源分离中的源数估计研究,更是鲜有报道。

基于此情况,本文探讨了动态变化混叠模型下盲源分离中的源数估计问题,提出了一种动态变化混叠模型下欠定盲源分离中的源数估计方法。首先,建立动态变化混叠情形下盲源分离的数学模型,通过多维观测矢量去除干扰采样点以及标准化等的预处理操作后,采用一种构建动态标识矩阵的方法统计和判断动态源信号数目是否发生了变化,以及在何时发生了变化。其次,通过对源信号数目变化前后分段时间内多维观测矢量采样点概率密度曲线进行平滑滤波以及峰值统计的方法,实现动态变化混叠模型下盲源分离中的源信号数目的有效估计。仿真结果表明,本文方法能有效实现动态变化混叠模型下欠定盲源分离中的源数估计,并且信号估计效果良好。

1 数学模型的建立

独立信号源的盲分离是指在不知道源信号和传输信道任何先验知识的情况下,仅根据输入源信号的统计特性,通过观察信号恢复出各个独立源信号的过程。考虑最常见的线性盲分离模型:设s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T是n个零均值未知独立的源信号矢量,x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T是经过信道传输混合后m个观测信号的矢量[5],其数学模型可以表示为

x(t)=As(t)

(1)

式中:A是一个m×n阶的未知矩阵,称为混合矩阵。由于常规的信号源盲分离算法一般都不具备对未知信号源个数进行估计的能力,只能在假设信号源的个数已经事先确定的前提下才能进行计算,否则就无法进行信号分离。因此在处理过程中,一般假设传感器数目与源数目相等。而在许多实际应用中,需要在观测信号个数少于源信号个数(m

对欠定情形下信源及信道动态变化的盲源分离最一般的模型进行分析:在t=0,…,T1,T1+1,…,T2的持续时间段内,设s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn1(t))T(t=0,…,T1)是n1个零均值未知独立的源信号矢量,而v(t)=(v1(t),v2(t),…,vn2(t))T(t=T1+1,…,T2)是n2个零均值未知独立的源信号矢量,且在t=0,…,T1时刻,混合矩阵为A;在t=T1+1,…,T2时刻,混合矩阵变为B。x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T是经过信道传输混合后m个观测信号的矢量,则其数学模型可以表示为

x(t)=As(t)+Bv(t) ,t=0,…,T1,T1+1,…,T2

(2)

式中:A和B分别是一个m×n1阶和m×n2阶的未知矩阵,为混合矩阵。在这里,m

上述模型只是欠定模型下信源及信道动态变化[6]的最一般的模型。在m

一般来说,进行欠定模型下的盲源分离时,源信号的数目是未知的。但是很多算法在进行欠定盲源分离的过程中是必须要知道源信号数目的,否则将无法进行盲分离。比如估计混合矩阵的各种聚类算法,一般来说源信号的数目就是要聚类的数目,因此估计源信号的数目仍然是进行欠定盲源分离的一个前提和必要步骤。特别在动态变化混叠模型下时,源信号数目的实时变化和动态掌握就显得更为必要,也变得更为困难。因此,需要寻找一种估计动态变化混叠模型下实时源信号数目的有效方法。

2 动态变化模型下盲源分离中的源数估计理论分析

首先需要对观测信号进行预处理,观测信号的预处理第一步主要是去除观测信号采样点中的干扰采样点,主要目的是使观测信号的散点图散落性更强,以使得通过剩余的观测信号采样点能够更好地对源数目进行估计。如果源信号在频域中的稀疏性较强,则一般处理时需要去除的观测信号采样点中的干扰采样点是具有较低频率的采样点,因为观测信号的低频采样点一般散落性不强。通过预先设定一门限,将观测信号在频域中低于这一门限的采样点进行滤除即可,这样就完成了第一步的预处理工作。

(3)

图1 某二维观测信号去除干扰采样点后散点图示意Fig.1 Scatter plot of a two-dimensional observation signal after removing interference sampling points

图2 某二维观测信号标准化后散点图示意Fig.2 Scatter plot of a two-dimensional observation signal after standardization

(4)

属于某一类的观测信号采样点,必然可以转化为较为相近的θ(k)值,因此θ(k)中样本点会有较多的数目落在某子区间。假设此时源信号的数目共有N个,则此时处理后的采样点必然汇聚成以坐标系中某N个点为圆心的N个小圆域Ψi(i=1,2,…,N),即假设Ψi中心点的坐标分别为Pi(i=1,2,…,N),则有|θ(k)-Pi|∈ε(i=1,2,…,N)。其中ε为趋近于无限小的一个小圆域半径,并记numberi为落在第i个小圆域Ψi(i=1,2,…,N)的样本数。构造一行数为N的动态标识矩阵D,动态标识矩阵D的取值遵循如下规则:

(5)

所以当源信号的混叠情况及源数目未发生变化时,在理想情况下,矩阵D将呈现如下形式:

(6)

(7)

即动态标识矩阵D的所有元素值均为1。接下来可以如此考虑,统计动态标识矩阵D的每一列有且仅有一个元素值为0而其他元素值均为1的列数,并设置两个门限α和β。对于i=1,2,…,M的M帧观测信号,α用来判决各帧观测信号中动态标识矩阵D的每一列非有且仅有一个元素值为0,而其他元素值均为1的统计列数是否超出该判决门限,超出该判决门限的列数记为l(i);β用来判决各帧观测信号的l(i)在该帧采样点中所占的比例是否超出该判决门限,如果持续出现超出b的l(i),则认为源信号数目已经发生变化。

3 算法步骤

下面给出动态变化模型下欠定盲源分离中的源数估计基本算法步骤:

步骤1 去除观测信号采样点中的干扰采样点,以使得观测信号的散点图散落性更强。

步骤4 通过动态标识矩阵D的列元素构成,统计并判断信号源数的变化时刻。

步骤5 绘制信号源数变化前后分段时间内观测矢量采样点在二维空间的分布密度曲线,并统计其峰值个数,即可获得估计的动态源信号个数。

4 仿真实验

下面给出一个计算机仿真实例:对于动态变化的混合矩阵,判断出其混合矩阵变化的时刻;对于动态变化的源数目,分别估计出其变化前后的源信号数目。

仿真实验中,源信号为6个同频通信信号,采样频率为1 000 Hz,信号持续时间为2 s。仿真中设置的接收传感器数量只有2个。混合矩阵随机产生,且在1 s的时刻发生了变化。1 s之前的混合矩阵标准化形式为

1～2 s的混合矩阵标准化形式变为

源信号的个数及组成在0～1 s与1～2 s也不相同,它们的类型如表1所示。

表1 1 s之前和1～2 s时的源信号类型Tab.1 Source signal type before 1 s and during 1 to 2 s

下面通过两个接收传感器接收的观测信号来判断出其混合矩阵变化的时刻,并且分别估计出源信号变化前后的源信号数目。图3给出了源信号在时域和频域中的波形图,图4给出了两个接收传感器观测的混合信号在时域和频域中的波形图,显然这些源信号在时域和频域都是有重叠的。

(a)2 s持续时间的各源信号时域波形

(a)观测信号的时域波形

图5给出了观测信号的时域及频域散点图,从时域散点图可以看出,观测信号在处理域具有直线聚类的特性。

图5 两个接收传感器观测信号的比例散点图Fig.5 Proportional scatter plots of the observed signals from two receiving sensors

对动态变化的源信号数目的变化时刻进行估计,这里取门限为20%,分别将各时间片段观测信号的标识矩阵非唯一含零元素列在所有列数中占的百分比与该门限进行比较。从图6中的各时间片段观测信号标识矩阵号的非唯一含零元素列百分比变化曲线可以看出,在第21时间片段(即第1 s时刻)信号起,其非唯一含零元素列百分比持续都在门限以上。因此,可以判断出从第1 s时刻开始,动态变化的源信号数目发生了变化。

图6 观测信号标识矩阵号的非唯一含零元素列百分比变化曲线Fig.6 The nonunique zero-element column percentage change curve of the observed signals identification matrix number

接下来,对动态变化的源信号数目进行估计。分别选取0～1 s和1～2 s观测信号的采样点的数据进行源数目的估计,对观测信号进行去除干扰采样点以及标准化后,对观测信号采样点分布数据进行平滑滤波后最终分别获得对0～1 s和1～2 s源信号数目的估计结果,如图7所示。

(a)0～1 s持续时间内观测信号采样点分布数据进行平滑滤波后结果

通过图7可以看出,0～1 s持续时间内的源信号数目估计曲线图中有6个峰值,1～2 s持续时间内的源信号数目估计曲线图中有4个峰值,说明这两个持续时间内的源信号数目分别为6和4,因此,本文中源信号数目估计的算法在源信号数目变化时仍能正确估计出源的个数。

5 结束语

本文提出了一种动态变化混叠模型下欠定盲源分离中的源数估计方法。通过建立动态变化混叠情形下盲源分离的数学模型,采用一种构建动态标识矩阵的方法进行统计和判断动态源信号数目的变化情况,再通过分段时间内多维观测矢量采样点聚类区间内概率峰值统计,实现动态变化混叠模型下盲源分离中的源信号数目的有效估计。仿真结果表明,本文方法能有效实现动态变化混叠模型下欠定盲源分离中的源数估计,并且信号估计效果良好。但在实际中可能会出现杂波较强,很多峰值被淹没在杂波中的情况,如何在低信噪比下正确估计出源信号的数目将是下一步的研究方向。