把握数学本质 渗透数学思想

何晶

小学数学教学中，教师抓住数学知识的本质展开教学，注重在教学过程中提炼、概括数学思想方法，有利于学生学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。笔者以人教版数学五年级“植树问题”的教学为例，做具体阐释。

“植树问题”的教学重点是引导学生在实际问题情境中探索并总结“棵数”与“间隔数”的关系，教学难点是把现实生活中类似的问题同化为“植树问题”，并运用解决植树问题的数学思想方法探究、解决这些问题。本节课的教学不能停留在理解结论和运用结论的层面，而要让学生经历猜想、实验、推理的探究过程，掌握获得知识和运用知识的数学思想方法，发展数学核心素养。

一、渗透数形结合思想，经历过程

数形结合思想旨在让“数”和“形”统一起来，达到以“形”助“数”、以“数”辅“形”的效果，进而帮助学生直观地分析、便捷地解决数学问题。四年级学生的抽象思维能力不强，分析、解决“植树问题”对他们来说有一定的难度，尤其在学习的初始阶段，他们思考问题的过程需要具体、形象的图示做支撑。

为帮助学生更好地理清三种“植树”情况（两端要栽、一端栽一端不栽、两端不栽）下“棵数”与“间隔数”的关系，笔者在教学中引导学生借助数形结合思想，通过画图来分析问题、解决问题。课堂上，笔者先呈现一条线段，并引导：“我们把它看作一条路，这条路长20米。如果要在这条路上植树，请同学们想一想，我们还需要了解什么信息？”学生说需要知道每棵树间隔几米、路的两端种不种等信息。笔者进一步引导：“如果在这条路的一边种树，每隔5米种一棵，你认为种几棵合适？”有的学生认为种3棵合适，有的学生认为种4棵合适，还有的学生认为种5棵合适。笔者让学生把头脑中思考的植树情况用简单的示意图表示出来，随后收集到如下三种图示。

学生通过观察，发现这三种图示都符合题目要求。笔者追问：“为什么三种植树方式都符合题目要求，但种出的棵数不同呢？三种情况下植树的位置有何不同？”学生在笔者的提示下清晰地认识到“植树问题”有“两端要栽、一端栽一端不栽、两端不栽”三种情况。

以上教学，笔者引导学生利用数形结合思想研究问题，让学生从整体上感知“植树问题”的三种模型，为进一步探究“棵数”与“间隔数”的关系打下基础。

二、渗透化归思想，找出规律

“化归”指将新问题中的条件或设问变形，使之转化为某个已经会解决的问题。笔者在“植树问题”的教学中运用了化归的思想方法，引导学生把比较复杂、不容易解决的问题转化为容易理解、有能力解决的问题。

“棵数”与“间隔数”之间的关系是学生容易混淆的知识，教师仅仅引导学生用画图方法解决问题是不够的。笔者结合化归思想展开教学，先将例题中的“100米”改为“20米”，引导学生从简单的数据中发现规律，再让学生列举其他数据，进一步验证、巩固规律。课堂上，笔者聚焦“两端要栽”的情况，引导学生把刚才画图表示的植树情况用算式表示出来。学生列式“20÷5=4，4+1=5”，并解释：“先用总长20米除以间隔长5米得到间隔数4，再用间隔数4加1得到棵数5。”笔者追问：“如果把间隔长改为4米，需要多少棵树苗呢？”学生稍加思考后回答：“先用‘20÷4=5计算出间隔数5，再用‘5+1=6计算出棵数6。”笔者据此引导学生计算间隔长为2米时，间隔数为10，棵数为11，并列表呈现上述情境中的间隔长、间隔数和棵数（表略）。接着，笔者提问：“观察表格中的数据，你发现了什么？”学生立马发现“棵数比间隔数多1”“间隔数比棵数少1”。笔者引导学生用简洁的公式表示这两句话的意思。学生总结：“棵数=间隔数+1，间隔数=棵数-1。”然后，笔者随机提问，引导学生巩固、运用这个规律。面对“两端要栽的情况下，8个间隔要栽多少棵树？10个间隔呢？”“两端要栽的情况下，6棵树有几个间隔？10棵树呢？”等问题，学生对答如流。笔者引导学生思考：“两端要栽的情况下，棵数为什么总比间隔数多1呢？”一名学生回答：“我们可以一对一对地看，一棵树对应一个间隔，此时棵数与间隔数相等，而最后一个间隔的尾端也要栽，这样就要再加一棵树，所以棵数比间隔数多1。”笔者回应道：“你的思路很清晰！这个规律能不能用到100米的小路上呢？”笔者紧接着呈现如下问题：“同学们在全长100米的小路的一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？”学生很容易地通过自主计算得出了正确答案。笔者总结：“我们在解决复杂问题时可以从简单的例子入手研究。”

以上教學，学生通过多次“植树”体验，探究出“棵数”与“间隔数”的关系。这样的知识建构过程不仅能保证学生在脱离图形的情况下依然有效解决相似问题，还有利于学生迁移、运用“棵数”与“间隔数”的关系解决变式问题。这样教学，即使学生忘记了“棵数”与“间隔数”的关系式，也能通过枚举法快速找到解题方法。

三、强化建模意识，拓展应用

数学模型是沟通数学与生活的桥梁。教师应该把解决“植树问题”作为渗透模型意识的教学支点，借助“植树问题”模型的建构及拓展应用，发展学生的数学思维。

教学中，笔者设计了从“植树”到“钟面”“车站”“站队”，再到“安装路灯”“切割”“上楼梯”“敲钟”等不同层次的问题情境，帮助学生进一步明晰“棵数”与“间隔数”的关系，建构“植树问题”模型。例如，学生顺利解决“每隔5米栽一棵、两端要栽”情况下“1000米小路的一边栽多少棵树”和“10000米小路的一边栽多少棵树”的问题后，笔者呈现“车站”问题情境：5路公共汽车行驶路线全长12千米，相邻两站之间的路程都是1千米，一共设有多少个车站？学生将车站数看作“棵数”，根据“全长÷间隔长=间隔数，间隔数+1=棵数”，得出一共有13个车站。接着，笔者出示“切割”问题情境：一根木头长10米，要把它平均锯成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完这根木头一共需要多少分钟？学生通过读题联想到锯成的5段可看作“棵树”，锯的次数可看作“间隔数”，根据段数与锯的次数之间的关系，找到了解决问题的突破口，成功解决了问题。

从改变数量——“量变”，到改变对象——“形变”，笔者通过启发学生思考“此问题情境与植树问题有什么联系”，引导学生提炼出“植树问题”的数学模型。自主建构的模型让学生在面对多样化的问题情境时豁然开朗，达到了举一反三、触类旁通的学习效果。

（作者单位：武汉市汉阳区教学研究培训中心）

责任编辑  刘佳