测量电源电动势和内阻实验中“等效替代”的正确理解及应用

李旭斌

“测量电源电动势和内阻”是电路中的学习难点，同学们可能会对以下问题产生疑惑：什么是等效电源？ 等效的依据是什么？ 电流表相对电源的内、外接法对电源电动势和内阻的测量带来怎样的影响？ 如何从理论上进行分析？ 新、旧电池对电源电动势和内阻的测量带来怎样的影响？ 我们是选择新电池还是旧电池进行实验？ 当缺少电压表或电流表时，如何根据伏阻法、安阻法的特性图像获得电源电动势和内阻相关信息？ 下面针对这些问题进行详细分析．

１ 等效电源的选取依据

伏安法测量电源电动势和内阻的原理是闭合电路欧姆定律E＝U ＋Ir，通过测量电源两端的电压（路端电压）U 、通过电源的电流I，便可得到电源的电动势E 和内阻r，电路图有两种，如图１所示．

图１所示两种电路接法的区别主要是电流表所处的位置不同，甲图中电流表相对电源外接，同学们可以想到将电源和电压表视为等效电源，实验中实际测量的是等效电源的电动势和内阻，但这么判断的依据是什么呢？ 如图１Ｇ甲所示，电压表所测量的电源路端电压U 是准确的，但电流表测量的电流I 并不是通过电源的电流．考虑到电压表不是理想电表，电压表内阻存在分流，因此电流表测得的电流值比实际通过电源的电流偏小，从而产生系统误差．如果将电源和电压表视为整体，电流表测量通过该整体的电流是准确的，这样获得的路端电压和电流数据都是准确的，这个整体就是等效电源，实验测量的就是該等效电源的相关量．

同理，图１Ｇ乙中电流表的测量结果是准确的，但由于电流表的分压作用，电压表的测量值小于电源两端的电压，产生系统误差．如果将电源和电流表视为整体，电压表测量该整体的路端电压是准确的，这样获得的路端电压和电流数据都是准确的，这个整体就是等效电源，实验测量的就是该等效电源的相关量．

２ 两种接法对电源电动势和内阻测量结果的影响

考虑到实验测量的是等效电源的电动势和内阻，设等效电源的电动势和内阻分别是E′和r′，电源的电动势和内阻分别是E 和r，则E′和r′是测量值，E 和r是真实值，它们的区别体现了两种接法对电源电动势和内阻测量结果的影响．

根据前面的分析，所测的电源电动势就是电源的开路电压，图１Ｇ甲和乙中的等效电源分别如图３Ｇ甲和乙所示，当两个等效电源处于开路状态下，图３Ｇ甲中的电源仍有电流通过，并未实现真正的开路，电压表实际测量的是路端电压，因此有E′＜E;同理，图３Ｇ乙中的电源没有电流通过，实现了真正的开路，等效电源两端电势差为实际电源电动势，因此有E′＝E．

在测量等效电源短路电流过程中，需要把等效电源进行短接，图３Ｇ甲中等效电源短接后，电压表被短路，流过电源的电流为真实的短路电流，因此图３Ｇ甲的短路电流测量值是准确的;同理，图３Ｇ乙中等效电源短接后，由于电流表存在内阻，流过电源的电流比理论上的短路电流小，因此图３Ｇ乙的短路电流测量结果偏小．

最后，根据UＧI 图像中两点确定一条直线，结合开路电压（电动势）测量值与真实值的关系，短路电流测量值与真实值的关系，便可确定两种接法对电源电动势和内阻测量结果的影响．

图４中的实线代表电源的UＧI 图像（真实图像），虚线代表等效电源的UＧI 图像（测量图像）．当电流表相对电源外接时，由E′＜E 得到电源电动势的测量值（等效电源的电动势）小于电源电动势的真实值，短路电流的测量值等于短路电流的真实值，由此得到图４Ｇ甲的UＧI 图像;当电流表相对电源内接时，由E′＝E 得到电源电动势的测量值（等效电源的电动势）等于电源电动势的真实值，短路电流真实值大于测量值（等效电源的短路电流），由此得到图４Ｇ乙的UＧI图像．

综上，电流表相对电源外接构成电压表与电源并联的等效电源，其电动势测量结果偏小，即E′＜E，根据图像斜率的绝对值代表内阻，可知内阻测量结果偏小，即r′＜r;电流表相对电源内接构成电流表与电源串联的等效电源，其电动势测量结果准确，即E′＝E，内阻测量结果偏大，即r′＞r．

例１ （２０２０年北京卷）用图５所示的甲、乙两种方法测量某电源的电动势和内电阻（约为１Ω）．其中R 为电阻箱，电流表的内电阻约为０．１Ω，电压表的内电阻约为３kΩ．

（１）利用图５Ｇ甲实验电路测电源的电动势E 和内电阻r，所测量的实际是图６中虚线框所示“等效电源”的电动势E′和内电阻r′．若电流表内电阻用RA 表示，请你用E、r 和RA 表示出E′、r′，并简要说明理由____．

（２）某同学利用图像分析甲、乙两种方法中由电表内电阻引起的实验误差．在下面选项中，实线是根据实验数据（图５Ｇ甲：U ＝IR，图５Ｇ乙：I＝UR）描点作图得到的UＧI 图像;虚线是该电源的路端电压U 随电流I 变化的UＧI 图像（没有电表内电阻影响的理想情况）．

下列选项中，对应图５Ｇ甲电路分析的UＧI 图像是____;对应图５Ｇ乙电路分析的UＧI 图像是____．

（３）综合上述分析，为了减小由电表内电阻引起的实验误差，本实验应选择图５中的____．

（１）等效电源的开路电压就是电源的电动势，因此E′＝E;等效电源的等效内阻满足r′＝RA＋r，因此r′＞r．

（２）图５Ｇ甲电路对应的等效电源开路电压（电动势测量值）就是电源电动势，因此E′＝E，等效电源的短路电流小于电源短路电流，因此选C;图５Ｇ乙对应的等效电源开路电压（电动势测量值）小于电源电动势，因此E′＜E，等效电源的短路电流就是电源的短路电流，因此选A．

６ 小结

伏安法测量电源电动势和内阻的难点是分析导致系统误差的原因，其关键在于找“等效电源”．对于电流表相对电源外接的情形，电压表测量结果准确而电流表测量结果偏小，由此电压表的分流导致了系统误差，若将电源与电压表视为等效电源，则电压表和电流表的测量结果均准确，由此实验测得的伏安图像是等效电源的UＧI 图像，等效电源的开路电压为电源的路端电压，等效电源的总电阻小于电源内阻，由此实验测得的电源电动势小于电源真实电动势，实验测得的电源内阻要小于电源真实内阻．

对于电流表相对电源内接的情形，电流表测量结果是准确的，而电压表测量结果偏小，由此电流表的分压导致了系统误差，若将电源与电流表视为等效电源，则电压表和电流表测量结果均准确，由此实验测得的伏安图像是等效电源的UＧI 图像，等效电源的开路电压等于电源的电动势，等效电源的总电阻大于电源内阻，由此实验测得的电源电动势等于电源真实电动势，实验测得的电源内阻大于电源真实内阻．

在拓展应用方面，同学们应善于使用戴维宁定理将复杂的二端有源网络等效为一个恒压源，或使用诺顿定理将复杂的二端有源网络等效为一个恒流源，以简化问题的分析．