一类特殊的完备左对称代数的导子与triple导子

吴孟珂,吴明忠

(西华师范大学 数学与信息学院,四川 南充 637009)

0 引 言

左对称代数(也被称为pre-Lie代数、拟结合代数、Vinberg代数)是一类很重要的非结合代数,最早由Cayley于1890年作为一种rooted tree代数引入[1].左对称代数也源于20世纪60年代对几何和代数中一些课题的研究,如李群上的仿射流形和仿射结构[2],以及结合代数的形变[3].最初人们并未将左对称代数作为一个独立的代数系统进行研究,直到20世纪90年代才有相关文献将左对称代数作为独立的领域来研究.文献[4]研究了左对称代数在不同领域的重要作用,如向量场、顶点代数、operad理论、李群上的左不变仿射结构等.正如文献[5]指出的那样,“左对称代数应当得到比以往更多的关注”.

在代数结构理论的研究中,导子[6]和triple导子[7]是非常重要的内容,它们能够反映代数最本质的结构和性质.近年来,关于代数的导子和triple导子的研究受到越来越多的关注.文献[8]利用导子和triple导子的定义,刻画了特征不为2的代数闭域上4维幂零李代数的导子和triple导子.文献[9]对4维幂零左对称代数的相邻李代数的triple导子与δ-导子进行了研究.文献[10]和文献[11]确定了Qn,Ln的导子代数的极大环面,并证明Qn,Ln的导子代数是可完备化的.文献[12]给出了拟Rnfiliform李代数的导子和自同构,并证明了拟Rnfiliform李代数是可完备化的幂零李代数. 文献[13]给出了广义矩阵代数上的李triple导子结构.由此可见,导子和triple导子对代数理论的研究具有非常重要的意义.

文献[14]给出了完备左对称代数的概念,目前关于完备左对称代数的研究较少.对五维完备左对称代数进行分类一直是一个难题,文献[14]给出了与Abelian李代数相容的维数小于或等于4维的完备左对称代数的一个确切的分类,列出了所有可能的同构类型的详细结构,并给出了其自同构相应的矩阵形式,但未对其导子和triple导子进行深入研究.本文在此基础上,利用导子的定义,以文献[14]中的A4,1为例,通过计算线性变换在一组基{e1,e2,e3,e4}下的结果,得到A4,1的导子的矩阵形式;利用triple导子的定义,以文献[14]中的A4,4为例,通过计算线性变换在一组基{e1,e2,e3,e4}下的结果,得到A4,4的triple导子的矩阵形式.对于文献[14]中其他与Abelian李代数相容的维数小于或等于4维的完备左对称代数,可以按照类似的方法,得到它们的导子以及triple导子相应的矩阵形式.本文通过表格形式呈现其导子和triple导子相应的矩阵形式,这是对文献[14]的一个重要补充.

1 基本概念

定义1[1]设A是一个线性空间.在A上定义一个双线性运算(x,y)→xy,如果这个双线性运算满足对任意的x,y,z∈A,都有：

(xy)z-x(yz)=(yx)z-y(xz),

则称A为一个左对称代数.

定义2[14]设A是一个左对称代数.对x∈A, 记ρx是A上的右乘运算：ρx(y)=yx,∀y∈A.对任意的x∈A, 若1+ρx是一个线性空间的同构,那么称左对称代数A为一个完备左对称代数.

定理1[14]设A是一个李代数(记李括积运算为[·,·]).如果在线性空间A上有一个左对称代数运算使得

[x,y]=xy-yx,∀x,y∈A,

则称这个左对称代数的结构与给定的李代数A的结构相容.

定义3[6]设A是一个代数,σ为A上的一个线性变换.若σ满足：

σ(xy)=σ(x)y+xσ(y),∀x,y∈A,

(1)

则称σ为代数A的导子.

定义4[7]设A是一个代数,φ为A上的一个线性变换.若φ满足：

φ(x(yz))=φ(x)(yz)+x(φ(y)z)+x(yφ(z)),∀x,y,z∈A,

(2)

则称φ为代数A的triple导子.

2 主要结果

文献[14]给出了与Abelian李代数相容的维数小于或等于4维的完备左对称代数的具体结构, 见表1.

表1 与Abelian李代数相容的维数小于或等于4维的完备左对称代数的结构

定理2令A4,1的代数结构如表1中所述.设σ是A4,1上的一个线性变换,则σ是A4,1的导子当且仅当σ在基{e1,e2,e3,e4}下具有以下的矩阵形式：

(3)

证明令

σ(e2)=a12e1+a22e2+a32e3+a42e4,σ(e3)=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4,
σ(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4.

根据定义3和e2·e2=e1,e3·e3=e1,e4·e4=e1,可得：

σ(e1)=σ(e2·e2)=σ(e2)·e2+e2·σ(e2)=2a22e1,
σ(e1)=σ(e3·e3)=σ(e3)·e3+e3·σ(e3)=2a33e1,
σ(e1)=σ(e4·e4)=σ(e4)·e4+e4·σ(e4)=2a44e1.

因此a22=a33=a44.由此可得：

σ(e1)=2a22e1,σ(e2)=a12e1+a22e2+a32e3+a42e4,
σ(e3)=a13e1+a23e2+a22e3+a43e4,
σ(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a22e4.

又因为e2·e3=0,e2·e4=0,e3·e4=0,可得：

(4)

分别比较式(4)两边e1的系数,可得a23=-a32,a24=-a42,a34=-a43.

综上可得：

(5)

所以A4,1的导子σ在基{e1,e2,e3,e4}下的矩阵具有式(3)的形式.

反之,当线性变换σ在基{e1,e2,e3,e4}下具有式(3)的矩阵形式时,∀x,y∈A4,1,设x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4,y=y1e1+y2e2+y3e3+y4e4, 则

σ(x)y+xσ(y)=σ(x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)(y1e1+y2e2+y3e3+y4e4)+
(x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)σ(y1e1+y2e2+y3e3+y4e4)=
x2y2a22e2·e2+x2y3a32e3·e3+x2y4a42e4·e4-
x3y2a32e2·e2+x3y3a22e3·e3+x3y4a43e4·e4-
x4y2a42e2·e2-x4y3a43e3·e3+x4y4a22e4·e4+
x2y2a22e2·e2-x2y3a32e2·e2-x2y4a42e2·e2+
x3y2a32e3·e3+x3y3a22e3·e3-x3y4a43e3·e3+
x4y2a22e4·e4+x4y3a43e4·e4+x4y4a22e4·e4=
2a22(x2y2+x3y3+x4y4)e1.

(6)

σ(xy)=σ(x1y1e1·e1+x1y2e1·e2+x1y3e1·e3+x1y4e1·e4+
x2y1e2·e1+x2y2e2·e2+x2y3e2·e3+x2y4e2·e4+
x3y1e3·e1+x3y2e3·e2+x3y3e3·e3+x3y4e3·e4+
x4y1e4·e1+x4y2e4·e2+x4y3e4·e3+x4y4e4·e4)=
x2y2σ(e1)+x3y3σ(e1)+x4y4σ(e1)=
2a22(x2y2+x3y3+x4y4)e1.

(7)

由式(6)和式(7)可得σ(xy)=σ(x)y+xσ(y),满足导子的定义.所以满足式(5)的线性变换σ是A4,1的导子.

下面计算A4,4的triple导子.由A4,4的结构,可得A4,4中的e1,e2,e3都可由e4生成得到,如：

e3=e4·e4,
e2=e3·e4=(e4·e4)·e4,
e1=e2·e4=(e3·e4)·e4=((e4·e4)·e4)·e4.

定理3令A4,4的代数结构如表1中所述.设φ是A4,4上的一个线性变换,则φ是A4,4的triple导子当且仅当φ在基{e1,e2,e3,e4}下具有以下的矩阵形式：

(8)

证明令

φ(e3)=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4,
φ(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4.

根据定义4和e2=e4·e3=e4·(e4·e4),e1=e4·e2=e4·(e3·e4),可得：

φ(e2)=φ(e4·(e4·e4))=φ(e4)·(e4·e4)+e4·(φ(e4)·e4)+e4·(e4·φ(e4))=
3a34e1+3a44e2,φ(e1)=φ(e4·(e3·e4))=φ(e4)·(e3·e4)+e4·(φ(e3)·e4)+
e4·(e3·φ(e4))=(a33+2a44)e1+a43e2.

由式(2)和e3·(e4·e3)=0,可得：

0=φ(e3·(e4·e3))=φ(e3)·(e4·e3)+e3·(φ(e4)·e3)+e3·(e4·φ(e3))=2a43e1.

因此a43=0.

综上可得：

(9)

所以A4,4的triple导子φ在基{e1,e2,e3,e4}下的矩阵具有式(8)的形式.

反之,当线性变换φ在基{e1,e2,e3,e4}下具有式(8)的矩阵形式时,∀x,y∈A4,4,设

x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4,
y=y1e1+y2e2+y3e3+y4e4,
z=z1e1+z2e2+z3e3+z4e4,

则

φ(x(yz))=φ((x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)((y1e1+y2e2+y3e3+y4e4)(z1e1+z2e2+z3e3+z4e4)))=

φ((x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)((y2z4+y3z3+y4z2)e1+(y3e4+y4z3)e2+y4z4e3))=

φ((x3y4z4+x4y3z4+x4y4z3)e1+x4y4e2)=

((x3y4z4+x4y3z4+x4y4z3)(a33+2a44)+3x4y4z4a34)e1+3x4y4z4a44e2,

(10)

φ(x)(yz)=x3y4z4a33e1+x4y3z4a44e1+x4y4z3a44e1+x4y4z4a44e2+x4y4z4a34e1,

(11)

x(φ(y)z)=x3y4z4a44e1+x4y3z4a33e1+x4y4z3a44e1+x4y4z4a34e1+x4y4z4a44e2,

(12)

x(yφ(z))=x3y4z4a44e1+x4y3z4a44e1+x4y4z3a33e1+x4y4z4a34e1+x4y4z4a44e2.

(13)

将式(11)、式(12)、式(13)相加,可得：

φ(x)(yz)+x(φ(y)z)+x(yφ(z))=
((x3y4z4+x4y3z4+x4y4z3)(a33+2a44)+
3x4y4z4a34)e1+3x4y4z4a44e2.

(14)

由式(10)和式(14)可得φ(x(yz))=φ(x)(yz)+x(φ(y)z)+x(yφ(z)),其满足triple导子的定义,所以满足式(9)的线性变换φ是A4,4的triple导子.

与定理2和定理3的证明过程类似,文献[14]中其他与Abelian李代数相容的维数小于或等于4维的完备左对称代数同样可以按照导子和triple导子的定义,通过计算线性变换在一组基下的结果,得到导子和triple导子的矩阵形式,见表2.

表2 维数≤4的与Abelian李代数相容的完备左对称代数的导子与triple导子

3 结 语

本文通过对线性变换在一组基下的结果的研究,确定了与Abelian李代数相容的维数小于或等于4维的完备左对称代数的导子以及triple导子的矩阵形式,补充了文献[14]的相关结果.