有限大小量子Dicke-Stark模型的动力学性质

阎占元,李欣阳,邱方程,常习者,刘洋

(1.华北电力大学 数理系,河北 保定 071003;2.云南电网有限责任公司电力科学研究院,云南 昆明 650011;3.华北电力大学 河北省物理学与能源技术重点实验室(筹),河北 保定 071003)

光与物质相互作用无论是在理论还是实验方面都是重要的研究方向,涉及凝聚态物理、量子信息、量子光学等广泛的研究领域[1].随着光与物质相互作用实验平台和实验技术的拓展和进步,为了提供理论支撑和解释实验现象,基础理论也在做相应的推广和发展.1936年,Rabi提出了描述这一相互作用的最基础的理论模型[2].Rabi模型形式虽然简单,但难以解析求解.局限于当时的实验条件,光与二能级系统的中耦合强度比较弱,Rabi模型中的反旋波项可以忽略(RWA近似),简化为Jaynes-Cummings(J-C)模型[3].由于J-C模型可以解析求解,在以后相当长的时间内J-C模型广泛应于相关领域的研究.随着实验技术的发展,2010年前后,实验室中在腔QED[4-5]、超导量子电路[6-11]、光力系统[12-14]等实验平台上,先后实现了光与系统的强耦合、超强耦合和深强耦合,实验上证实了J-C模型的失效,因此Rabi模型的解析求解问题成为了研究的重要课题.2011年,Braak在Bargmann空间利用Rabi模型的Z2对称性,实现了量子Rabi模型的解析求解[15],在理论上实现了突破.2012年,陈庆虎等[16]提出了BOA(bogoliubov operator approch)方法重现了量子Rabi模型的解析解,BOA方法的物理图像更加清晰和简洁.2013年,钟宏华等[17]得到了用合流Heun函数表示的Rabi模型的精确解.此后,研究人员开始讨论更复杂的光与物质相互作用的模型:双光子Rabi模型[18-21]、双模Rabi模型[22-25]、各向异性Rabi模型[26-29]、Rabi-Stark模型[30-32]、Dicke模型[33-34]等.

量子Rabi模型之所以难以求解,是由于反旋波项的存在,体系的基态和激发态是Fock态空间(光子数空间)中所有基矢的叠加,因此构建的体系哈密顿是不能约化的无穷维矩阵.理论上讲,矩阵维数越大,计算结果越精确,对计算机的数据存储和计算能力提出了相当高的要求.对于更复杂的Dicke模型,它描述N个二能级原子和单模光场相互作用,体系空间维度是由角动量空间和光子数空间的直积得到,即|J2,Jz〉⊗|N〉.显然,求解Dicke模型的本征方程需要更多的计算资源.相干态空间是超完备空间,人们已经发现在相干态空间中,只需有限个相干态基矢,就能足够精确地求解Dicke模型的本征方程[35].

在量子态的制备和光场模式重建过程中,量子光场与二能级系统之间便会引入非线性Stark相互作用[36-39].人们在Rabi模型中引入Stark相互作用,讨论了Stark相互作用对能谱结构的影响[30-32].在Dicke模型中引入非线性Stark相互作用,称为Dicke-Stark模型[40].本文将在相干态空间,计算Dicke-Stark模型的本征方程,并进一步讨论Stark项对Dicke模型的量子相变、平均光子数分布和平均角动量等动力学性质的影响.

1 闭合Dicke-Stark模型

描写单模量子光场和N个二能级系统的Dicke-Stark模型的哈密顿量表示为(自然单位)

(1)

(2)

很明显,当U=0,Dicke-Stark模型还原为Dicke模型.

2 相干态空间中的有限大小Dicke-Stark模型

(3)

整个系统在Hilbert空间的本征矢为

(4)

把式(4)代入Dicke-Stark模型哈密顿的本征方程H|ψn〉b=En|ψn〉b,可以得到薛定谔方程第n行表达式,

上式先后左乘〈j,m|和Am〈l|得到

(5)

计算中用到了Am〈l|k〉Am-1=(-1)lDl,k,Am〈l|k〉Am+1=(-1)kDl,k,其中

基于式(5),可以在Dicke-Stark模型Hilebert空间的基矢|j,m〉⊗|k〉Am上,构建体系的哈密顿量矩阵算符,得到体系的能级及其对应的波函数,进而可以讨论Dicke-Stark模型的动力学性质.

首先,比较一下在相干态空间和Fock态空间计算Dicke-Stark模型基态能谱的收敛性.在Δ=1.0,U=1.0,N=32时,分别用DFS方法计算了光子截断数Ntr=8,32,128时Dicke-Stark模型基态能谱,以及用DCS方法计算了光子截断数Ntr=6时Dicke-Stark模型基态能谱,结果如图1a所示.可以发现:随着DFS方法的光子截断数增加,Dicke-Stark模型基态能谱计算结果逐渐接近用DCS方法计算得到的能谱.可见,用DCS方法计算Dicke-Stark模型能谱,若想得到足够精确的结果,Ntr需要取相当大的值,对计算机的数据存储和计算都是巨大挑战.而用DCS方法,相干态空间的光子截断数Ntr=6时,就能足够精确地得到Dicke-Stark模型基态能谱,从而得到有限尺度Dicke-Stark模型的严格精确解.图1b中给出了Dicke-Stark模型(U=1.0,U=-1.0)和Dicke模型(U=0)的基态能谱.很明显,由于非线性Stark相互作用的影响,Dicke模型基态能被压低.

a.不同光子截断数计算得到的基态能谱;b.不同模型计算得到的基态能谱

3 有限大小Dicke-Stark模型中的量子相变

在相干态表象中,算符和的矩阵元分别表示为

(7)

a.不同有限系统中平均角动量变化;b.不同作用强度下平均角动量变化;c.不同有限系统中平均数光子数变化;d.不同作用强度下平均光子数变化

4 平均光子数和平均角动量的动力学演化

(8)

(9)

(10)

a.N=2,U=0.5;b.N=4,U=0.5;c.N=8,U=0.5;d.N=16,U=0.5,e.N=16,U=0;f.N=16,U=0

在图4中,图4a-d是U=0.5时,取不同的原子数N=2、4、8、16,平均角动量〈Jx〉/N随光场与原子的耦合强度和时间演化的相图.可以发现:随着原子数的增加,平均角动量较大的区域整体向耦合强度小的方向移动;随时间的推移,整体振幅趋于平滑.图4e-f分别为在U=0、U=-0.5时,平均角动量的演化相图.对比图4d、图4e和图4f可以发现,在0.5<λ<0.8区域平均角动量较大,形成一条带状结构,与U=0的计算结果比较,非线性Stark相互作用U>0时,平均角动量的值增大,U<0时,平均角动量的值变小.

5 结论

利用相干态的超完备性,在相干态空间构建有限尺度Dicke-Stark模型的哈密顿量,在较少的相干态空间实现了体系严格精确解的计算.利用有限尺度Dicke-Stark模型的计算结果,讨论了基态的平均光子数和平均角动量随耦合强度的变化,发现了量子相变现象.并且,量子相变点会随非线性Stark作用发生移动:U>0时,相变点向耦合强度小的方向移动,U<0时,相变点向耦合强度小的方向移动.本文计算Dicke-Stark模型平均光子数和平均角动量随光场与原子的耦合强度和时间演化的相图.发现随着原子数的增加,平均光子数振幅整体趋于平滑,激发变弱,强激发区域向耦合强度小的方向移动;随时间的推移,激发整体趋势变弱.非线性Stark相互作用U>0时,相图整体趋向耦合强度小的方向移动;而当U<0时,相图整体趋向耦合强度大的方向移动,在相对较大的耦合区域会发生较大的激发.平均角动量较大的区域随着原子数的增加整体向耦合强度小的方向移动;随时间的推移,整体振幅趋于平滑.非线性Stark相互作用U的正或负,会使平均角动量的值变大或变小.本文的结果,有助于更清楚地了解有限尺度Dicke-Stark模型的动力学性质.