2024年高考解三角形考点预测(下篇)

罗文军

六、与角平分线有关的最值问题

例11.在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若（c+b）（sin C-sin B）=a（sin B+sin A）．

（1）求角C的大小；

（2）若M为AB上一点，CM平分∠ACB，CM=6，求a+4b的最小值．

解析：（1）由题设得，c+ba=sin B+sin Asin C-sin B，

由正弦定理可得，c+ba=b+ac-b，

所以，a2+b2-c2=-ab，

所以，cos C=a2+b2-c22ab=-ab2ab=-12，

所以C为钝角，C=2π3；

（2）解法1：因为CM平分∠ACB，所以，∠ACM=∠BCM=12∠ACB=π3，

又因为SΔABC=SΔACM+SΔBCM，

所以，12absin2π3=12b·6sinπ3+12a·6sinπ3，

所以，ab=6（a+b），所以a+bab=16，所以1a+1b=16，

所以，（a+4b）1a+1b=ab+4ba+5≥2ab·4ba+5，

所以16（a+4b）≥9，a+4b≥54，

当且仅当a=2b时等号成立，联立a=2b，

ab=6（a+b），可得a=18，b=9时，a+4b取的最小值54．

解法2： 由角平分线定理可得，AMMB=ACBC=ba，

所以CM=aa+bCA+ba+bCB，因为CM=6，

所以，将上式两边平方可得，

36=aa+b2·b2+2·aa+b·b·ba+b·a·-12+ba+b2·a2，

整理可得，6（a+b）=ab，所以，1a+1b=16，下同解法1．

【点评】第（1）问运用正弦定理实现角化边后，再运用整体代换法思想和余弦定理推论可求出角C，第（2）问解法1用的是等面积法，先运用角平分线性质和三角形面积公式，通过化简将问题转化成二元条件最值问题，再借助基本不等式和添系数的方法可求出最小值，解法2运用角平分线的向量形式和向量数量积运算，运用了两边平方法，把向量问题实数化，解题过程中蕴含“算两次”思想、化归与转化思想和方程思想，考查了数学运算和逻辑推理素养．

七、解三角形与数列交汇问题

解三角形与数列的交汇问题，主要有三种类型：（1）三角形的三边长成等比数列；（2）三角形的三边长成等差数列；（3）三角形的三个内角成等差数列．

例12.在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知边a，c，b成等比数列．

（1）证明：0

（2）點M在边AB上，且BM=3MA，CM=c，求cos∠ACB．

（1）证明：因为边a，c，b成等比数列，所以c2=ab，

由余弦定理，可得cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-ab2ab.

由重要不等式，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，

所以cos C≥2ab-ab2ab，所以cos C≥12，

因为0

（2）因为BM=3MA，所以CM=14CB+34CA，CM=c，

所以，c2=116a2+38abcos∠ACB+916b2……①

由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcos∠ACB……②

由①②，可得19c2=12b2+4a2，又因为c2=ab，

所以，4a2-12ab+12b2=0，

所以，4a=3b或a=4b.

又因为cos ∠ACB=a2+b2-c22ab=a2+b2-ab2ab，

当a=4b时，cos ∠ACB=16b2+b2-4b28b2=138>1，舍去，

当a=34b时，cos ∠ACB=9b216+b2-3b242·3b4·b=1324，

所以，cos∠ACB=1324．

【点评】第（1）问运用等比数列的定义、余弦定理推论和基本不等式以及余弦函数的性质，可得出C的范围；第（2）问运用向量的数量积运算、余弦定理和余弦定理推论可得出cos∠ACB的值，蕴含函数与方程思想、分类讨论思想，考查了数学运算和逻辑推理素养．

八、判断三角形的形状问题

例13.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin Ccos B+cos C=sin A，且三边b，c，a成等差数列．

（1）证明ΔABC为直角三角形；

（2）若ΔABC的内切圆面积为16π，求ΔABC的面积．

解析：（1）证明：由已知可得，2sinA2cosA2=2sinB+C2cosB-C22cosB+C2cosB-C2，

即2sinπ2-B+C2cosπ2-B+C2=2sinB+C2cosB-C22cosB+C2cosB-C2，

所以，2cosB+C2sinB+C2=sinB+C2cosB+C2，

所以，1-2cos2B+C2=0，所以，cos（B+C）=0，

所以，-cos A=0，因为0

所以，ΔABC为直角三角形．

（2）因为边b，c，a成等差数列，所以2c=b+a，

由正弦定理可得，2sin C=sin A+sin B，

所以，2sin（A+B）=sin A+sin B，

所以，4sinA+B2cosA+B2=2sinA+B2cosA-B2，

又因为sinA+B2≠0，所以2cosA+B2=cosA-B2，

即2cosA2cosB2-2sinA2sinB2=cosA2cosB2+sinA2sinB2，

所以，3sinA2sinB2=cosA2cosB2，

所以，tanA2tanB2=13，因为A=π2，所以tanB2tanπ4=13，所以tanB2=13，

所以，sin B=2tanB21+tan2B2=2×131+19=35，

所以，sin C=sin A+sin B2=1+352=45，又因为sin A=1，

由正弦定理可得，b：c：a=sin B：sin C：sin A=3：4：5，

可设b=3m，c=4m，a=5m，其中m>0，

设ΔABC的内切圆的半径为r，由题设πr2=16π，所以r=4，

由直角三角形的性质，b+c-a=2r，3m+4m-5m=2r=8，

所以，m=4，

SΔABC=12bc=12·3m·4m=6m2=96．

【点评】第（1）问是判断三角形形状问题，运用了二倍角公式和和差化积公式，再运用了三角形内角和定理和三角函数诱导公式，最后运用二倍角余弦公式可得出A的值，判断出ΔABC的形状，第（2）问运用了等差数列的定义，再运用正弦定理实现边化角，最后借助直角三角形内切圆的性质通过计算，可得出ΔABC的面积．

例14.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（b2+c2）sin（B-C）=（b2-c2）sin（B+C）．

（1）判断ΔABC的形状；

（2）若A=5π12，b=4，求ΔABC的面积．

解析：（1）由题设可得，c2sin（B+C）+sin（B-C）=b2sin（B+C）-sin（B-C），

所以，2sin Bcos C·c2=2cos Bsin C·b2，

所以，c2sin Bcos C=b2sin Ccos B，

由正弦定理和余弦定理，可得c2b·a2+b2-c22ab=b2c·a2+c2-b22ac，

整理，可得b2-c2b2+c2-a2=0，

所以，b=c或b2+c2=a2，

所以，ΔABC为等腰三角形或直角三角形；

（2）因为A=5π12，结合（1）可知ΔABC为等腰三角形，b=c=4，

SΔABC=12bcsin A=12×42×sinπ4+π6=8×6+24=26+2．

【点评】第（1）问先运用两角和与差的正弦公式化简后，再借助余弦定理推论化简可得出ΔABC的形状，第（2）问运用三角形面积公式可求出面积，解题过程中蕴含方程思想，考查了数学运算和逻辑推理素养．

方法总结：判断三角形的形状问题，通常要综合运用余弦定理和正弦定理后，第一种思路是化归为角的问题，通过三角恒等变换求出某个角或证明某两个角相等；第二种思路是化归为边的问题，通过代数运算，证明某两边相等或三边满足勾股定理．

九、解三角形结构不良问题

解三角形中的结构不良题型主要为选择条件型．

例15.在ΔABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，a=32，b=2，c=4，

（1）求ΔABC的面积；

（2）在下列条件中选择一个作为已知，求线段AD的长：

①D为BC边上一点，AD平分角∠BAC；

②D为BC边上一点，AD为BC边上中线．

解析：（1）由题设及余弦定理，可得cos B=a2+c2-b22ac=（32）2+42-222×32×4=528，

所以sin B=1-cos2B=1-（528）2=148，

所以SΔABC=12acsin B=12×32×4×148=372；

（2）选条件①，由角平分线定理可得，BDDC=ABAC=cb=2，

BD=23a=23×32=22，

在ΔABD中，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B

=42+（22）2-2×4×22×528=4，所以AD=2；

选条件②，BD=12BC=322，

在ΔABD中，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B

=42+（322）2-2×4×322×528=112，

所以AD=222．

【点评】这是一道结构不良问题，解答第（2）问需要考生选择条件，选择条件①的话，运用角平分线定理和余弦定理可以解答，选择条件②的话运用三角形中线的性質和余弦定理可以解答，解题过程蕴含方程思想，本题具有一定的开放性，考查了考生的探究意识和创新意识，考查了数学运算和逻辑推理素养．

十、解三角形数学文化试题

解三角形数学文化题主要取材于中国古代经典名著中的名题或者世界数学历史中的数学名题．

第16题图例16.刘徽是我国古代三国时期数学家，《海岛算经》是他写的一部关于测高望远之术的专著，其中第二题“望松”问题是关于测量山上松树高度的问题，如图，点E，H，G在水平线CI上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，EG称为“表距”，EH称为“前表却行”，GI称为“后表却行”，DJ称为“入表”，请运用含自然语言的等式表示出松树的高度AB．

解析：记松高AB=x，后表却行GI=a，前表却行EH=b，表距EG=d，入表DJ=e，因为ΔDHJ～ΔAHB，所以HDAH=DJAB=ex，所以AH-ADAH=ex，

所以ADAH=1-ex，

又因为ΔADF～ΔAHI，所以ADAH=DFHI=EGEG-EH+GI，

所以1-ex=dd-b+a，解得x=eda-b+e，

松树高度AB=入表×表距后表却行-前表却行+入表．

【点评】这是一道关于解三角形的数学文化试题，同时也是一道解三角形应用问题，考查了直角三角形相似，考查了考生的数学建模和逻辑推理素养．

例17.布洛卡是法国数学爱好者，他研究过在ΔABC中，P为其内部一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则ΔABC具有很多优美性质，后来人们为了纪念他把α叫做ΔABC的布洛卡角，点P叫做ΔABC的布洛卡点，设在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，c=6．

（1）求sin A的值；

（2）求ΔABC的布洛卡角α的正弦值sin α．

解析：（1）在ΔABC中，由余弦定理可得，cos A=b2+c2-a22bc=25+36-162×5×6=34，

所以，sin A=1-cos2A=1-342=74；

（2）设ΔABC的外接圆半径为R，

在ΔPAB中，∠APB=π-α-∠ABP=π-B，

由正弦定理可得，PBsin α=csin∠APB，

所以，PBc=sin αsin∠APB=sin αsin（π-B）=sin αsin B=sin αb2R=2Rsin αb，

所以，PB=2Rcsin αb，同理PA=2Rbsin αa，PC=2Rasin αc，

由三角形面积公式和正弦定理可得，

SΔABC=12absin C=12abc2R=abc4R，

因为，SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPCA，

所以，abc4R=12（PA·c+PB·a+PC·b）sin α，

所以，abc4R=

122Rbsin αa·c+2Rcsin αb·a+2Rasin αc·bsin α，

所以，a2b2c24R2=（b2c2+a2c2+a2b2）sin2α，

所以，sin α=abc2Rb2c2+a2c2+a2b2，

在ΔABC中，由正弦定理可得2R=asin A=474=1677，

所以，sin α=4×5×6167752×62+42×62+42×52=1567268．

【点评】这是一道数学问题试题，第（1）问运用余弦定理推论和同角三角函数基本关系式可以解答；第（2）问综合运用正弦定理和三角形面积公式可解答，蕴含方程思想和化归与转化思想，考查了数学运算和逻辑推理素养．

十一、以四边形为载体的解三角形问题

以四边形为载体的解三角形问题，通常要连接对角线后，化归到两个三角形中解答问题．

例18.已知圆内接四边形ABCD的边长AB=BC=2，CD=1，DA=3．

（1）求对角线BD的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

解析：（1）由圆内接四边形性质可得，A+C=π，

在ΔABD中，由余弦定理可得，

BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A=4+9-12cos A……①

在ΔBCD中，由余弦定理可得，

BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=4+1+4cos A……②

由①②可解得，BD=7，cos A=12，所以A=π3；

（2）S四邊形ABCD=SΔABD+SΔBCD=12AB·ADsin A+12BC·CDsin C

=12×2×3×32+12×2×1×32=23．

【点评】第（1）问运用两次余弦定理，通过解方程可得出对角线BD的长；第（2）问把四边形面积化归为对角线分割成的两三角形面积之和，运用三角形面积公式可解答，蕴含了方程思想与化归与转化思想．

例19.拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑.波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知ΔABC内接于半径为4的圆，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A′，B′，C′，若∠ACB=π6，求ΔA′B′C′的面积最大值．

解析：

如图，由正弦定理可得，

csin∠ACB=csinπ6=8，所以c=4，

∠A′CB′=∠A′CA+∠ACB+∠B′CB=π2，

A′C=32b×23=33b，B′C=33a，故A′B′=33a2+b2.

由余弦定理可得，a2+b2-2abcosπ6=c2，即a2+b2-3ab=16，

又因为a2+b2≥2ab，所以a2+b2≥2（a2+b2-16）3，

所以a2+b2≤322+3，故A′B′≤33322+3，

SΔA′B′C′=34A′B′2≤34×13×322+3=1633+8，

所以，ΔA′B′C′的面积最大值为1633+8．

责任编辑徐国坚