齐型空间上加权Besov空间与Triebel-Lizorkin空间的Tb定理
2024-03-08刘金瑞郑涛涛肖燕梅
刘金瑞,郑涛涛,肖燕梅
(浙江科技大学 理学院,杭州 310023)
1 预备知识
为了说明研究的主要结果,我们首先回顾一些必要的定义。
定义1[8]称(X,ρ,μ)为Coifman与Weiss意义下的齐型空间,如果ρ是一个满足以下条件的拟度量: 1)ρ(x,y)=0当且仅当x=y;2)ρ(x,y)=ρ(y,x);3)对任意的A≥1,有ρ(x,y)≤A[ρ(x,z)+ρ(z,y)],且正则测度μ满足倍测度条件,即
0≤μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r))。
(1)
Macías等[9]证明了拟度量ρ可以被另一拟度量d替换,其中拟度量ρ和d在X上诱导的拓扑是一致的,且
μ(B(x,r))≈r。
(2)
其中对于0
|d(x,y)-d(x′,y)|≤Cd(x,x′)θ[d(x,y)+d(x′,y)]1-θ。
(3)
在本研究中,齐型空间(X,d,μ)特指测度μ满足式(2) 和拟度量d满足式 (3) 的齐型空间。
我们研究与仿增长函数相关的加权Besov空间和加权Triebel-Lizorkin空间的Tb定理,首先回顾仿增长函数和权函数的定义。
定义2[6]232有界复值函数b称为仿增长函数,若对任意的方体Q⊂X,存在正常数C和δ及子方体Q′⊆Q,使得δμ(Q)≤μ(Q′)和
(4)
记Mb为对应的乘法算子,即Mbf=bf。
(5)
Mω(x)≤Cω(x),t=1。
(6)
式(6)中:M为X上的Hardy-Littlewood极大函数,在这种情况下,定义ω∈At(X)。
在此基础上为了定义与仿增长函数相关的加权Besov空间和加权Triebel-Lizorkin空间,我们需要引入与仿增长函数相关的检测函数和分布及恒等逼近的定义。
定义4[11]设0<β,γ≤θ,称函数f为以x0∈X为中心,r>0为半径的(β,γ)型检测函数,若f满足:
(7)
(8)
3)对于所有的x∈X,有
若f是以x0∈X为中心,r>0为半径的(β,γ)型检测函数,则记f∈Gb(x0,r,β,γ)。f在Gb(x0,r,β,γ)中的范数定义为
(9)
(10)
对于某些g∈Gb(β,γ),定义
bGb(β,γ)={f∶f=bg}。
(11)
与仿增长函数相关的恒等逼近定义如下:
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
现在我们来定义与仿增长函数相关的加权齐次Besov空间和加权齐次Triebel-Lizorkin空间。
(17)
(18)
(19)
(20)
为了得到与仿增长函数相关的加权齐次Besov空间和加权齐次Triebel-Lizorkin空间的Tb定理,需要给出齐型空间上齐次标准核Calderón-Zygmund奇异积分算子及弱有界的定义。
定义7[13-14]称定义在{(x,y)∈X×X:x≠y}上的连续复值函数K(x,y)为齐次标准核,若存在常数ε∈(0,θ]和C>0使得:
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
为了介绍本研究的主要结果,我们需引入以下符号
定义9[16]称Calderón-Zygmund奇异积分算子T具有弱有界性,记为T∈WBP,若存在常数η∈(0,1]和C>0,对于所有的x∈X使得
(26)
接下来阐述Christ在文献[17]中给出的下述构造,它对齐型空间函数理论的发展起着关键的作用。
基于引理1需引入如下的离散型Calderón再生公式:
(27)
(28)
(29)
且
(30)
2 主要结果及证明
在证明此定理之前,需建立与仿增长函数相关的加权Besov空间和加权Triebel-Lizorkin空间的Plancherel-Plya特征刻画,以表明函数空间的范数独立于恒等逼近的选取。
(31)
(32)
(33)
(34)
在证明引理3及引理4之前,先回顾两个重要的引理:
(35)
(36)
引理3及引理4证明。由引理2及引理5有
若1/(1+s) 考虑p>1和t/(1+ε) 最后一个不等号的成立基于以下事实: 当t/(1+ε) 由t/(1+ε) 由1/p≥1,用Hölder不等式,有 进而有 最后一个不等号的成立基于以下事实: 式(31)得证。有关式(32)、式(33)及式 (34)的证明与其类似,在这省略了细节。 接下来引入如下几乎正交估计的引理,这对本文主要定理的证明起着重要作用。 (37) 式(37)中:0<ε′<ε。 对于1/(1+s) 考虑p>1和t/(1+s) 最后一个不等号的成立基于以下事实: 当t/(1+s) 当t/(1+s) 由1/p≥1,用Hölder不等式,有 进而有 最后不等式的成立基于以下事实: 定理1得证。 下面用加权Fefferman-Stein向量值极大不等式,有 最后一个不等式的成立基于以下事实: 和 定理2得证。
