在比较中感悟运算本质的一致性

杭雅琴 蒋明玉

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，数的运算教学，要让学生经历算理和算法的探索过程，理解算理、掌握算法。感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，提高运算能力和推理能力。“小数加法和减法”是苏教版小学数学教材五年级上册的教学内容，如何引导学生深刻体会整数加减法与小数加减法运算本质上的一致性呢？教师要深研教材，重组教材，精心设计，多次对比，引发学生深度思考，沟通小数加减法、整数加减法在算理和算法上的联系，深刻体会运算本质的一致性，提升学生的运算能力和推理能力，发展核心素养。

一、创设情境，提出问题

师：同学们，学校正在举行“五星级书香儿童”阅读比赛。周末，书店正好搞促销活动，大家纷纷去书店购买自己喜爱的图书。（出示场景图和书的价格）你们能据此提出什么数学问题？

生：《青鸟》和《故乡》一共要多少元？

生：《金银岛》比《昆虫记》贵多少元？

师：真棒，这些问题你们会列式解答吗？

生：4.75+3.2。

生：5.6-4.64。

师：仔细观察这些式子，你们发现了什么？

生：这些算式是小数加减法。

师：今天这节课我们就一起来研究小数加减法。

（板书：小数加法和减法）

【思考】结合全校正在举行的“五星级书香儿童”阅读活动，教师创设真实情境，激發学生的学习兴趣，引导学生发现问题，提出问题，让学生感受到小数加减法是日常生活中常用的数学知识。真实情境拉近了学生与生活的距离，学生体会到数学来源于生活也应用于生活，同时也为后面借助元、角、分探究小数加减法的算理提供情境依据。

二、分层探究，明晰算理

（一）自主探究小数加法

1.自主尝试，链接经验

师：买《青鸟》和《故乡》一共要多少元？

4.75＋3.2等于多少呢？你们会计算吗？试试看。

生：我是这样列竖式计算的（如图1-①）。

生：我也是列竖式计算的（如图1-②）。

2.猜想验证，合作探究

师：这两种竖式计算究竟哪种是正确的呢？请大家试着进行探究吧（如图2）。

小组反馈：

第一组：我们组认为①是正确的。我们用的是估算的方法：4.75元大约是5元，3.2元大约是3元，合起来大约是8元。

第二组：我们组认为①是正确的。我们是用元、角、分来验证的：4元7角5分加3元2角是7元9角5分，也就是7.95元（如图3）。

师：你是把元和元相加、角与角相加、分与分相加。

第三组：我们组也认为①是正确的，我们是画方块图验证的，如图4所示，把4.75看作4个1、7个0.1和5个0.01，3.2看作3个1和2个0.1。然后4个1和3个1相加，7个0.1和2个0.1相加，5个0.01和0个0.01加，结果是7.95。

第四组：我们组也认为①是正确的，我们是借助计数器来验证的：个位上的珠子拨在一起，十分位的珠子拨在一起，百分位上的珠子拨在一起，结果是7.95（如图5）。

3.横向对比，沟通联系

师：大家用不同的方法验证了第一种算法是正确的。仔细观察这几种验证方法，它们有什么相同之处呢？先独立想一想，再和同桌互相议一议。

生：它们都是把相同单位的数相加在一起的。

生：它们都把相同数位对齐了。

师：无论是用“元角分”、方块图，还是计数器的方法，都遵循了一个共同的道理：把相同计数单位的数相加。也就是都把相同数位对齐，相同数位上的数直接相加。

4.剖析错例，明晰算理

师：图1-②的算法错在哪里了？

生：相同数位没有对齐。

生：要把小数点对齐，这样相同数位才能对齐。

师：是的，在小数加法中只有小数点对齐了，才能保证相同数位对齐，才能把相同数位上的数直接相加。

【思考】在教学时，如果教师只呈现小数位数相同的情况，不利于学生深刻理解小数加法运算的本质。因此，教师可以整合教材中例1和例2的教学内容，在解决购买图书这一实际问题的过程中，直接呈现小数位数不同的小数加法，引导学生通过独立思考、自主探究、猜想验证，经历探索小数加法的计算过程。学生借助已有的知识和经验，在交流、追问、对比中感悟到不同验证方法背后的相同之处，聚焦核心概念“计数单位”，凸显“相同的计数单位相加”这一结论。

（二）迁移学习小数减法

师：《金银岛》比《小王子》贵多少元？5.2-4.64又等于多少呢？有了小数加法的学习经验，相信这一题一定难不倒大家，试试看。

师：老师发现大家有三种不同的算法，一起看，哪种算法正确？

生：我认为图6-①和6-②的算法都是正确的。

师：第②种方法和第①种方法比，在被减数的末尾添了一个0，请问可以在5.2的后面添上0吗？为什么？

生：可以，这是利用了小数的性质。

师：对于第③种方法，你有什么想说的吗？

生：百分位上是0减4，他没有减，而是直接把4抄下来了，所以是错的。

师：是的，可别小看百分位上添的这个0，它不仅便于我们看出几减4，还能更好地体现出相同数位对齐，提高我们计算的正确率。

（三）加减法对比，沟通联系

师：今天我们学习了小数加法和减法，请同学们比一比，说一说它们有什么相同的地方？

生：无论是小数加法还是小数减法，都要把小数点对齐进行计算。

生：小数点对齐了，相同数位才能对齐，相同数位上的数才能相加减。

生：可以利用小数的性质在小数的末尾添“0”进行计算。

师：说得真好，我们在计算小数加减法时，都要把小数点对齐（也就是相同数位对齐），从低位算起。

【思考】学生独立完成后，教师收集学生中的典型算法引导他们进行辨析，通过充分的讨论、交流，在添“0”和不添“0”的对比中，及时化解小数减法计算的易错点，得出小数减法的计算方法。接着设置小数加法与减法之间的对比环节，沟通加减法之间的联系，通过对比让学生感受小数加减法运算背后的相通之处：都是把相同数位上的数相加减。计算时都要把小数点对齐，也就是相同数位对齐。进一步理解小数加减法的算理和算法。

三、练习巩固，内化延伸

师：大家不仅善于思考，而且善于表达，真会学习。接下来，请大家在下面的圆圈里填上运算符号（如图7），在需要的地方添上小数点，使竖式成立。

［学生独立完成练习后，教师收集学生不同的作品展示（如图8）］

师：这几种方法都对吗？

生：都对。

师（故作疑惑状）：图8-①和图8-②的小数点都对齐了，图8-③行吗？

生：行，不点小数点就是整数加法。

师：计算整数加法时，我们是怎么计算的？

生：计算整数加法时，我们要末位对齐，从个位加起。

师：再比一比，看看整数加法和小数加法有什么相通之處吗？

生：我觉得整数的末尾对齐就是小数的小数点对齐，它们是一回事，只是整数的小数点没标出来。

生：整数加法和小数加法都要从最末位算起。

生：都要把相同数位上的数相加。

师：看来，无论是整数加减法的末位对齐，还是小数加减法的小数点对齐，都是为了相同数位对齐，相同计数单位的数直接相加减。

【思考】教师巧妙设计练习，让学生再次经历对比，即整数加减法和小数加减法的对比，通过对比，让学生对“相同数位对齐”有了新的认识，感悟到整数加减法和小数加减法背后的相通之处，以“计数单位”为抓手，将整数加减法和小数加减法的计算统一成“相同计数单位的数相加减”。算法与算理逐步统一的过程，也正是学生将小数加减法纳入整数运算系统、扩充运算知识链的过程。

（作者单位：江苏省丹阳市华南实验小学）