β衰变型自给能堆芯中子探测器灵敏度K因子研究（第一篇：理论分析、计算模型及计算结果）

2024-03-01于稼驷

核安全 2024年1期

于稼驷

（中华人民共和国生态环境部，北京 100006）

中子灵敏度是自给能探测器的核心参数，国内外很多文献对β衰变型自给能探测器中子灵敏度进行了探讨、分析、研究［1-6］。其中参考文献［4］～［6］引用了美国原子能委员会出版的《核动力堆仪表系统手册》［7］提供的自给能探测器中子灵敏度K 因子，并以此为基础，对自给能中子铑、钒探测器灵敏度进行了分析、研究、计算。

中子灵敏度K 因子研究是灵敏度研究的基础。许多文献［1，2，7］在研究探测器灵敏度时，也都涉及一些灵敏度K 因子的研究。但这些文献提供的K 因子研究存在不足：（1）只涉及热中子灵敏度K 因子，未考虑超热中子对铑探测器灵敏度的贡献及其相关K 因子，未涉及中子场全谱中子K 因子；（2）只涉及部分灵敏度K 因子研究，而非全面、系统的研究。本文试图对灵敏度K 因子进行全面、深入、系统的研究。

β衰变型自给能探测器主要指铑和钒自给能探测器。本文重点分析铑自给能中子探测器K 因子。钒的中子俘获截面符合1/v 率，钒自给能中子探测器（以下简称钒探测器）的灵敏度K因子计算模型与铑自给能中子探测器（以下简称铑探测器）的热中子灵敏度K 因子计算模型相同。

1 探测器灵敏度和灵敏度K 因子

1.1 灵敏度

灵敏度是本论文的核心概念，为了便于论述，现定义两个灵敏度术语如下：

探测器灵敏度：整个探测器单位中子注量率输出电流。

探测器单位长发射体灵敏度：与单位长（1 cm，下同）发射体相对应的那部分探测器灵敏度的简称。如果探测器灵敏度为I，探测器发射体长度为L，那么，探测器单位长发射体灵敏度为I/L。

1.2 灵敏度K 因子

把自给能中子探测器放在稳定的典型热堆中子场中，在平衡状态，发射体单位时间放出的β粒子数等于其俘获的中子数，本文称这样的状态为“稳定平衡态”。发射体放出的β粒子在穿越发射体过程中损失能量，以一定的概率逃脱发射体。逃脱发射体的β粒子，只有穿越绝缘区空间电荷电势峰才能对探测器灵敏度有贡献［1，8］。因此，所谓探测器灵敏度K 因子研究，就是研究影响探测器灵敏度的各种因素，如中子自屏因子、中子注量率降低因子，中子诱发的β粒子逃脱发射体的概率，逃脱发射体的β粒子穿越绝缘体空间电荷电势峰的概率，以及中子诱发的β粒子逃离发射体，并穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率等。探测器灵敏度K 因子是一组无量纲K 系数，它与探测器的几何尺寸、材料及所处的中子场环境、慢化剂环境等有关。

2 铑探测器灵敏度K 因子数学模型、计算公式

2.1 铑探测器全谱中子屏降综合因子KfF

2.1.1 发射体中子俘获率和全谱中子屏降综合因子KfF（Full spectrum neutron self-shielding and depression comprehensive factor）

从参考文献［3］式（6）知，单位长铑发射体中子俘获率的计算公式如下：

其中，nv0：Westcott 中子注量率；σ0：103Rh热中子（2200 m·s-1，下同）微观吸收截面；g、s：103Rh 的Westcott 因子；：中子谱超热参数，简称超热参数；s0=s（20℃）；N1：单位长发射体103Rh 的核子数；f1：发射体热中子自屏因子；F1：发射体热中子注量率降低因子；f2：发射体超热共振中子自屏因子；F2：发射体超热共振中子注量率降低因子。

单位长铑发射体中子俘获率还可以用下式表示：

比较式（1）和式（2），可得：

从文献［10］知，单位长铑发射体中子俘获率还可以用下式表示：

比较式（2）和式（4），可得：

其中，f（v）：发射体速度为v的中子的自屏因子；F（v）：发射体速度为v的中子的中子注量率降低因子；σ（v）：103Rh 速度为v的中子的微观吸收截面；n（v）：速度为v的中子的密度；v：中子速度，其他同上。

2.1.2KfF的物理内涵

式（3）和式（5）从不同角度表达了KfF的物理内涵。KfF体现了全谱中子场的中子自屏效应和中子注量率降低效应的综合结果，既包括热中子的效应，也包括超热共振中子效应。此外，KfF还随着超热参数的变化而变化。可以把KfF称为探测器全谱中子屏降综合因子。

假定一根无限细的铑丝和一个铑探测器发射体放在相同的典型热堆中子场中。由式（4）知，式（5）的分子表示发射体中一个103Rh 核子单位时间内俘获中子的概率（P发射体）。由文献［3］的式（5）知，本文式（5）的分母表示无限细铑丝中一个103Rh 核子单位时间内俘获中子的概率（P极细铑丝）。那么，KfF=P发射体/P极细铑丝。

同上，仍然假定一根无限细的铑丝和一个铑探测器发射体放在相同的典型热堆中子场中。铑丝的103Rh 的核子数为N′。假定在发射体中做一个横向切片A （见图1），切片与发射体轴向垂直，切片厚度均匀，切片中103Rh 的核子数也为N′。再假定，稳定平衡态，铑丝单位时间吸收100 个中子。那么，发射体切片A 单位时间吸收100·KfF个中子。这是对KfF物理内涵的最直白解读。

图1 铑发射体和无限细铑丝Fig.1 Rhodium emitter and infinite fine rhodium wire

2.1.3KfF解析

式（3）中，当r=0 时，KfF=f1F1，这类似于热堆反射层孔道的中子场环境。当中子场中没有热中子，只有超热中子时，r趋于无穷，这时，KfF=f2F2；这样的中子场在反应堆中是不存在的，但用包镉的方法，可以近似模拟这样的中子场环境。因此f1F1、f2F2是特定中子场环境下的KfF，是KfF的延伸。这里r是中子谱超热指数，是中子谱超热中子比例的量度［9］。

2.2 铑探测器Kβ有效因子

全谱中子β有效因子Kβ有效（Full spectrum neutron β effective factor，Kβeffe.）是指中子场全谱中子诱发的β粒子，逃离发射体，并穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率。热中子β有效因子K热β有效（Thermal neutron β effective factor，Kther.βeffe.）是指热中子诱发的β粒子，逃离发射体，并穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率。超热共振中子β有效因子K超振β有效（Epi.thermal resonance neutron β effective factor，Kepi.ther.reson.βeffe.）是指超热共振中子诱发的β粒子，逃离发射体，并穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率。K超振β有效是K超热共振β有效的简称。假定Kβ有效=0.56，那么在稳定平衡态，发射体单位时间每吸收100 个中子，就会发射100 个β粒子；这100 个β粒子中，只有56 个β粒子能够逃离发射体，并穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子。

2.2.1K热β有效、K超振β有效数学模型

从文献［3］式（21）知，单位长发射体的灵敏度可以用下式表示：

注意，上述公式中的等同于式（1）中的N1。

从文献［3］式（7）知，探测器单位长发射体灵敏度，还可用下式表示：

比较式（8）和式（6），可得：

2.2.2Kβ有效计算公式

从式（1）及Kβ有效定义知，单位长发射体的灵敏度还可以用下式表示：

比较式（11）和式（7），可得：

参照2.1.3 节知，式（12）中K热β有效、K超振β有效是特定中子场环境下的Kβ有效，是Kβ有效的延伸。

2.3 铑探测器Kβ逃脱因子

全谱中子β逃脱因子Kβ逃脱（Full spectrum neutron β escape factor，Kβesc.）是指全谱中子场中子诱发的β粒子逃离发射体的概率。热中子β逃脱因子K热β逃脱（Thermal neutron β escape factor，Kther.βesc.）是指热中子诱发的β粒子逃离发射体的概率。超热共振中子β逃脱因子K超振β逃脱（Epi.thermal resonance neutron β escape factor，Kepi.ther.reson.βesc.）是指超热共振中子诱发的β粒子逃离发射体的概率。K超振β逃脱是K超热共振β逃脱的简称。

2.3.1K热β逃脱、K超振β逃脱数学模型

（1）K热β逃脱数学模型。

从文献［1］式（10）知：

（2）K超振β逃脱数学模型。

从文献［3］式（13）知，铑发射体吸超热共振中子后放出的β粒子逃离发射体表面时的能量分布叫超热共振逃脱谱，可用下式表示：

同理，

（3）文献［3］中，计算出了绝缘体厚度为零的探测器灵敏度。绝缘体厚度为零，意味着逃离发射体的β粒子都能穿越空间电荷电势峰，这样，式（9）和式（10）中，P（E） =1，E0=0；绝缘体厚度为零，还意味着逃离发射体的β粒子都能成为对探测器输出电流有贡献的电子，因此Kβ逃脱=Kβ有效。这样可得：

式（16）和式（13）相同，式（17）和式（15）相同。

2.3.2Kβ逃脱

据上述Kβ逃脱的定义，中子场中子单位时间在单位长发射体中诱发的β粒子，穿越发射体，到达发射体表面，且逃离发射体的β粒子数还可以用下式表示：

比较式（18）和式（19），可得：

参照2.1.3 节，式（20）中，K热β逃脱、K超振β逃脱是特定中子场环境下的Kβ逃脱，是Kβ逃脱的延伸。

2.4 铑探测器Kβ穿越因子

全谱中子β穿越因子Kβ穿越（Full spectrum neutron β cfactor，Kβ.cross.）是指中子场中子诱发的且已逃离发射体的β粒子，穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率。热中子β穿越因子K热β穿越（Thermal neutron βcfactor，Kther.β.cross.）是指热中子诱发的且已逃离发射体的β粒子，穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率。超热共振中子β穿越因子K超振β穿越（Epi. thermal resonance neutron β crossing factor，Kepi.ther.reson.β.cross.）是指超热共振中子诱发的且已逃离发射体的β粒子，穿越绝缘体空间电荷电势峰，成为对探测器输出电流有贡献的电子的概率。K超振β穿越是K超热共振β穿越的简称。

2.4.1K热β穿越数学模型

结合上述K热β有效和K热β逃脱定义，可得：

2.4.2K超振β穿越数学模型

结合上述K超振β有效和K超振β逃脱定义，可得：

2.4.3Kβ穿越计算公式

结合上述Kβ有效、Kβ穿越和Kβ逃脱定义，可得：

结合式（12）和式（20），可得：

结合式（21）、式（23）、式（26），可得：

2.5 汇总

现将热中子、超振中子、中子场全谱中子K因子汇总，见表1。

表1 K 因子计算公式汇总Table 1 Summary of K factor calculation formulas

3 铑探测器轻水堆灵敏度K 因子计算结果

3.1 f、F、KfF 因子的计算结果

3.1.1f1、F1、f2、F2的计算结果（见图2）

图2 铑探测器发射体轻水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 随发射体直径的变化而变化Fig.2 Self-shielding factor f and flux depression factor F of Rh detector emitter in light water reactor varies with emitter diameter

铑发射体热中子自屏因子f1、热中子注量率降低因子F1和超热共振中子注量率降低因子F2参见文献［10］，超热共振中子自屏因子f2参见文献［11］。

文献［10］中的中子注量率降低因子适用于多能中子系统，当然也适用于103Rh 共振峰区间的中子。由于发射体对103Rh 的大多数共振中子（尤其是共振峰半宽度内的中子）可以近似看成黑体，满足了文献［10］中x（∑are）值远大于1的条件，即文献［10］中的式（6）可简化成式（7）。这样大多数共振中子的中子注量率降低因子与发射体的宏观吸收截面无关，而只与发射体的半径和共振中子在探测器周围介质中的扩散长度及迁移平均自由程有关，因此我们用1.26 eV中子的中子注量率降低因子近似代替共振峰区间中子的中子注量率降低因子的平均值，引起的误差是不大的（见图2）。

3.1.2KfF的计算结果及解读

（1）计算结果见表2、图3。

表2 铑探测器轻水堆KfF 因子Table 2 KfF factor of Rh detector in light water reactor

图3 铑探测器轻水堆KfF 因子Fig.3 KfF factor of Rh detector in light water reactor

（2）计算结果解读。

①物理解读：表2、图3 表明，在发射体直径相同情况下，铑发射体对超热共振中子的自屏蔽效应更大；KfF随着的增大而减小。

3.2 Kβ逃脱的计算结果及解读

3.2.1Kβ逃脱的计算结果（见表3、图4）

表3 铑探测器轻水堆的Kβ逃脱因子Table 3 Kβesc. factor of Rh detector in light water reactor

图4 铑探测器轻水堆的Kβ逃脱因子Fig.4 Kβesc. factor of Rh detector in light water reactor

3.2.2Kβ逃脱的计算结果解读

①物理解读：文献［3］假定，超热共振中子只在发射体表面吸收，从而其诱发的β粒子只在发射体表面均匀产生，且各向同性发射。超热中子诱发的β粒子有50%不穿越发射体、直接逃离。因此，K超振β逃脱＞K热β逃脱；K超振β逃脱永远大于0.5。表3 中，在直径相同的情况下，越大，Kβ逃脱越大；这是因为，越大，超热共振中子的比例越大，不穿越发射体、直接逃离的β粒子的比分越大，导致Kβ逃脱越大。

3.3 K热β有效的计算结果

3.3.1 铑探测器轻水堆热中子K热β有效计算结果（见表4、图5）

表4 铑探测器轻水堆K热β有效Table 4 Kther.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

图5 铑探测器轻水堆K热β有效Fig.5 Kther.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

3.3.2 铑探测器轻水堆超热共振中子K超振β有效计算结果（见表5、图6）

表5 铑探测器轻水堆K超振β有效Table 5 Kepi.ther.reson.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor）

图6 铑探测器轻水堆K超振β有效Fig.6 Kepi.ther.reson.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

3.3.3 铑探测器轻水堆全谱中子Kβ有效

（1）铑探测器轻水堆全谱中子Kβ有效计算结果（见表6、图7 及图8）

表6 绝缘体厚度为0.3 mm 时，铑探测器Kβ有效随超热参数（）及发射体直径的变化而变化Table 6 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters（） and emitterdiameter When its insulator thickness =0.3 mm.

图7 绝缘体厚度为0.3 mm 时，铑探测器Kβ有效随超热参数（）及发射体直径的变化而变化Fig.7 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters （） and emitter diameter When its insulator thickness =0.3 mm.

图8 发射体直径为1.0 mm 时，铑探测器Kβ有效随超热参数（）及绝缘体厚度的变化而变化Fig.8 Kβeffe. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameters（） and insulator thickness When its emitter diameter = 1.0 mm.

铑探测器轻水堆全谱中子Kβ有效不仅随着发射体直径、绝缘体厚度的变化而变化，还随着超热参数的变化而变化。下面给出两种典型案例的数据。

（2）铑探测器轻水堆全谱中子Kβ有效计算结果解读。

3.4 Kβ穿越计算结果

3.4.1 铑探测器轻水堆热中子K热β穿越计算结果（见图9）

图9 铑探测器轻水堆K热β穿越Fig.9 Kther.βcro. of Rh detector in light reactor

3.4.2 铑探测器轻水堆超热共振中子K超振β穿越计算结果（见图10）

图10 铑探测器轻水堆超热共振中子K超振β穿越Fig.10 Kepi.ther.reson.βcro. of Rh detector in light reactor

3.4.3 铑探测器轻水堆全谱中子Kβ穿越代表性案例计算结果（见图11）

图11 发射体直径为1.0 mm 时，铑探测器Kβ穿越随超热参数（）及绝缘体厚度的变化而变化Fig.11 Kβcro. of Rh detector in light reactor varies with the change of epi-thermal parameter （） and insulator thickness When its emitter diameter = 1.0 mm.

4 铑探测器重水堆K 因子计算结果

4.1 铑探测器重水堆f、F 因子计算结果（见图12）

图12 铑探测器发射体重水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 随发射体直径的变化而变化Fig.12 Self-shielding factor f and flux depression factor F of Rh detector emitter in heavy water reactor varies with emitter diameter

4.2 铑探测器重水堆f1F1、f2F2、KfF 因子计算结果（见图13）

图13 铑探测器重水堆KfF 因子Fig.13 KfF factor of Rh detector in heavy water reactor

4.3 铑探测器重水堆Kβ有效

4.3.1 铑探测器重水堆热中子K热β有效、超热共振中子K超振β有效

从本文式（9）、式（10）知，铑探测器热中子的K热β有效、和超热共振中子K超振β有效都与堆型无关，只和发射体直径及绝缘体厚度、材料密度有关。因此，铑探测器重水堆的热中子K热β有效、和超热共振中子K超振β有效与其轻水堆的热中子K热β有效、和超热共振中子K超振β有效相同，见本文表4、表5。

4.3.2 铑探测器重水堆Kβ有效

表7 铑探测器重水堆Kβ有效与其轻水堆Kβ有效比较Table 7 Comparison between Kβeffective of Rh detector in heavy water reactor and Kβeffective of Rh detector in light water reactor

因此，可以把轻水堆的Kβ有效（典型案例见表6、图7、图8）近似用于重水堆，引起的误差可以接受。

4.4 铑探测器重水堆Kβ逃脱

用4.3 节类似的方法，可以证明，几何尺寸相同的探测器，在相同中子场环境中，其重水堆Kβ逃脱与轻水堆Kβ逃脱基本相等。因此，可以把轻水堆的Kβ逃脱近似用于重水堆，引起的误差可以接受。

4.5 铑探测器重水堆Kβ穿越

从本文式（21）、式（23）和式（25）知，K热β穿越=K热β有效/K热β逃脱，K超振β穿越=K超振β有效/K超振β逃脱，Kβ穿越=Kβ有效/Kβ逃脱。因此，同样可以把轻水堆的Kβ穿越近似用于重水堆。

4.6 小结

热中子的K热β逃脱、K热β有效、K热β穿越和超热共振中子的K超振β有效、K超振β逃脱、K超振β穿越都和堆型无关，只和发射体直径、材料及绝缘体厚度、材料密度有关。但全谱中子的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越和堆型有关，但影响不大。轻水堆的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越和重水堆的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越之间可以近似引用。

5 中子场中子温度对铑探测器灵敏度K 因子影响

5.1 中子场中子温度对铑探测器轻水堆灵敏度K 因子影响

本文计算中，设定中子温度为20℃，设定103Rh 的g（20℃） =1.023，s0=s（20℃） =7.255。因此，目前本文给出的K 因子数据都是基于设定中子温度为20℃的计算结果。也就是说，上述铑探测器K因子随着超热参数的变化而变化、随着发射体直径的变化而变化、随着绝缘体厚度的变化而变化，都是设定中子温度是不变的，即设定中子温度为20℃。

现在研究中子场中子温度对铑探测器灵敏度K 因子影响，研究中采用数据验证方法，而不是理论分析方法。

5.1.1 中子场中子温度变化对KfF的影响

假定把发射体直径为1 mm 的探测器安装在轻水堆堆芯，探测器位置的超热参数=0.06，用本文式（3）计算该探测器在不同中子温度下的KfF，结果见表8。

表8 发射体直径1 mm 的铑探测器，在超热参数=0.06 的中子场，其KfF 随中子温度的变化Table 8 The KfF of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and in a neutron field with epithermal parameter =0.06

表8 表明，在铑探测器发射体直径确定、堆型确定、中子能谱超热参数确定的情况下，中子温度从20℃变为420℃，铑探测器的KfF仅增加约1%。换句话说，把一只铑探测器放在典型游泳池式实验堆堆芯或典型核电厂反应堆堆芯中，只要探测器位置的超热参数相同，这只探测器的KfF是近似相同的，相对误差不超过1%。

5.1.2 中子场中子温度变化对Kβ有效的影响

假定把发射体直径为1 mm、绝缘体厚度为0.3 mm 的探测器安装在轻水堆堆芯，探测器位置的超热参数=0.06，用本文式（12）计算该探测器在不同中子温度下的Kβ有效，结果见表9。

表9 发射体直径为1 mm、绝缘体厚度为0.3 mm 的铑探测器，在超热参数=0.06 的轻水堆中子场，其Kβ有效随中子温度的变化Table 9 The Kβeff. of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and an insulator thickness of 0.3 mm，and in a neutron field with epi-thermal parameter =0.06

表9 表明，在铑探测器几何尺寸（发射体直径、绝缘体厚度）确定、堆型确定、中子能谱超热参数确定的情况下，中子温度从20℃变为420℃，铑探测器的Kβ有效仅降低约1%。换句话说，把一只铑探测器放在典型游泳池式实验堆堆芯或典型核电厂反应堆堆芯中，只要探测器位置的超热参数相同，这只探测器的Kβ有效是近似相同的，相对误差不超过1%。

5.1.3 中子场中子温度变化对Kβ逃脱的影响

Kβ逃脱可以看作绝缘体厚度为0 时的Kβ有效，因此，从5.1.2 节的结论可以推出：当中子温度从20℃变为420℃，铑探测器的Kβ逃脱仅会有约1%的变化。

5.1.4 中子场中子温度变化对Kβ穿越的影响

从本文式（25）、（26）知，Kβ穿越=Kβ有效/Kβ逃脱。因此，从5.1.3 节及5.1.4 节的结论可以推论出：当中子温度从20℃变为420℃，铑探测器的Kβ穿越仅会有约1%的变化。

5.2 中子场中子温度对铑探测器重水堆灵敏度K 因子影响

5.2.1 中子场中子温度变化对重水堆Kβ有效的影响

假定把发射体直径为1 mm、绝缘体厚度为0.3 mm 的探测器安装在重水堆堆芯，探测器位置的超热参数=0.06，用本文式（12）计算该探测器在不同中子温度下的Kβ有效，结果见表10。

表10 发射体直径为1 mm、绝缘体厚度为0.3 mm 的铑探测器，在超热参数=0.06 的重水堆中子场，其Kβ有效随中子温度的变化Table 10 The Kβeff. of Rh detectors varies with neutron temperature when Rh detectors with an emitter diameter of 1 mm and an insulator thickness of 0.3 mm，and in a neutron field with epi-thermal parameter=0.06

表9 表明，在铑探测器几何尺寸（发射体直径、绝缘体厚度）确定、堆型确定、中子能谱超热参数确定的情况下，中子温度从20℃变为420℃，铑探测器的重水堆Kβ有效仅降低约1%。换句话说，把一只铑探测器放在典型游泳池式重水实验堆堆芯或典型重水堆核电厂堆芯中，只要探测器位置的超热参数相同，这只探测器的Kβ有效是近似相同的，相对误差不超过1%。

5.2.2 中子场中子温度变化对重水堆KfF、Kβ逃脱、Kβ穿越的影响

用5.1 节类似的方法，可以计算或推论出：在铑探测器几何尺寸（发射体直径、绝缘体厚度）确定、堆型确定、中子能谱超热参数确定的情况下，中子温度从20℃变为420℃，其重水堆KfF、Kβ逃脱、Kβ穿越仅有很小变化（约1%的变化）。

5.3 物理解读及数学分析

5.3.1 物理解读

表8、表9、表10 的结果表明，铑探测器灵敏度K 因子似乎与中子温度无关，不随着中子温度的变化而变化。当然，中子温度对灵敏度K 因子是有影响的，但在5.1 节、5.2 节的分析中，这一作用被隐藏了。5.1 节、5.2 节的分析结果，是在假定铑探测器几何尺寸（发射体直径、绝缘体厚度）确定、堆型确定、中子能谱超热参数确定的前提下取得的。中子能谱超热参数确定，为一常数，这就意味着，当T增加时，r必须减少，这样才能使保持不变。T对灵敏度K 因子是有影响的，但增加对灵敏度K因子的正影响，与r减少对灵敏度K 因子的负影响近似抵消，这样，当T增加时，在保持不变的前提下，灵敏度K 因子近似不变，但这只是一种表象。

5.3.2 数学分析

从本文式（3）、式（12）、式（20）、式（26）知，铑探测器灵敏度K 因子KfF、Kβ有效、Kβ逃脱、Kβ穿越的计算公式的架构相同，如下：

该式有以下特点：

（1）A1、A2中都含g因子，当中子温度T变化时，g变化，但A1/A2不会变，为一常数；

（2）A1远大于B1，A2远大于B2；

（3）B1/B2为常数，不随变化而变化。

若假设B1、B2为0，那么，为一个常数，K不会随着T、g的变化而变化。

B1、B2虽然不为0，但与A1、A2相比，小很多。因此，A1/A2在计算K因子时起主导作用；B1、B2有一定影响，但影响相对较小。这就是表8、表9、表10 中，当T、g变化时，而相关灵敏度K 因子只有约1%变化的定性解释。

5.4 小结：重要价值与作用

5.1 节已经说明，本文计算中，设定中子温度为20 ℃，设定103Rh 的g（20 ℃） =1.023，s0=s（20℃） =7.255。因此，目前本文给出的K 因子数据都是基于设定中子温度为20℃的计算结果。本文灵敏度K 因子的计算结果原则上也只能应用于中子温度为20℃的中子场。5.1 节、5.2节分析结果表明，本文灵敏度K 因子的计算结果不但可应用于中子温度为20℃的中子场，还可以近似应用于其他温度下（20℃～420℃）的中子场。这样，本文给出的灵敏度K 因子计算结果，就可以应用于所有游泳池式热中子堆，还可推广近似应用于热堆核电厂。近似应用的相对误差约1%。这就是本节分析的重要价值和作用。

6 用铑探测器灵敏度K 因子计算其单位长发射体灵敏度

6.1 铑探测器单位长发射体灵敏度计算公式

结合式（2）及Kβ有效定义，铑探测器单位长发射体灵敏度可以用下式表示：

结合式（1）及K热β有效、K超振β有效定义，铑探测器单位长发射体灵敏度还可以用下式表示：

由于K热β有效=K热β逃脱K热β穿越、K超振β有效=K超振β逃脱K超振β穿越，那么

上述公式，既适用于轻水堆，也适用于重水堆。如果知道某一探测器的灵敏度K 因子，就可以用上述公式［式（28）～式（31）］计算该探测器的单位长发射体灵敏度。注意，6.1 节中的与本文式（1）、式（2）中的N1的物理内涵相同。

本文8.2 节给出了利用上述公式计算铑探测器单位长发射体灵敏度的例子。

6.2 用铑探测器灵敏度K 因子和探测器灵敏度的理论计算值或其刻度值推算其不同中子场环境的下的灵敏度

从本文式（9）、式（10）知，铑探测器的K热β有效、K超振β有效只和探测器的几何尺寸有关，和堆型（慢化剂）无关。从文献［10］式（2）、式（3）及式（4）知，f1和慢化剂无关。从文献［11］式（50.43）知，f2和慢化剂无关。从文献［10］式（5）、式（6）及式（7）知，F1、F2不但和发射体直径及发射体材料的宏观中子截面有关，也和慢化剂有关。因此，上述短式中，只有F1、F2和堆型有关，其他因子或参数和堆型无关。g因子虽然和堆型无关，但随着中子温度的变化而变化，详见文献［9］表1。

6.2.1 用铑探测器轻水堆灵敏度理论计算值推算其轻水堆不同中子温度下的灵敏度

文献［3］给出了中子温度为20℃的铑探测器轻水堆单位长发射体灵敏度，包括单位长发射体热中子灵敏度a 值和单位长发射体超热共振b 值。可以用上述a、b 值，通过下式计算中子温度为T时的铑探测器轻水堆单位长发射体灵敏度。

注：铑探测器的超热共振b值和中子温度无关。

6.2.2 用铑探测器轻水堆灵敏度理论计算值推算其重水堆不同中子温度下的灵敏度

文献［3］给出了中子温度为20℃的铑探测器轻水堆灵敏度，包括单位长发射体热中子灵敏度a 值和单位长发射体超热共振b 值。可以用上述a、b 值，通过下式计算中子温度为T时的铑探测器重水堆单位长发射体灵敏度。

可以通过图2（或其对应的表格数据）获取轻水堆的F1、F2，可以通过图12（或其对应的表格数据）获取重水堆的F1、F2。

6.2.3 铑探测器重水堆灵敏度与其轻水堆灵敏度比较近似关系式

式（28）中，只有KfF和堆型有关。探测器轻水堆的Kβ有效和其重水堆的Kβ有效近似。其他因子或参数和堆型无关。也就是说，如果知道铑探测器在轻水堆某一中子场环境下的灵敏度，那么可以直接推算该探测器在重水堆同样中子场环境下（相同、中子温度近似）的灵敏度；反之，亦然。计算公式为：

6.2.4 用铑探测器轻水堆灵敏度刻度值推算它的其他情况下的灵敏度

（1）用铑探测器轻水堆灵敏度刻度值推算其重水堆灵敏度

文献［12］给出了一只铑探测器轻水堆灵敏度刻度结果（又见文献［3］1.2.2 节）。该铑探测器发射体直径为1 mm、其长度为20 mm，探测器绝缘体厚度0.27 mm、绝缘体材料Al2O3。灵敏度刻度实验在原子能研究院游泳池轻水实验堆进行。实验堆的中子温度：326 K（53℃）［14］，本文设定中子温度为60℃，取g（60℃） =1.032［9］。

可以采用上述刻度实验获得的该探测器的热中子灵敏度a 值和超热共振b 值（见文献［3］1.2.2 节），通过下式推算出该探测器的重水堆灵敏度。但用这种方法推算出的探测器灵敏度仍应该归类于理论计算灵敏度，而不应归类于灵敏度刻度值。

该探测器的灵敏度刻度实验是在游泳池式轻水反应堆进行的，通过上式，可以推算出该探测器在重水堆核电厂堆芯的灵敏度。

（2）用铑探测器轻水堆灵敏度刻度值推算其不同中子温度下的轻水堆灵敏度

还可以通过下式推算出该探测器在不同中子温度下的轻水堆灵敏度。

通过上式，可以推算出该探测器在轻水堆核电厂堆芯的灵敏度。

6.2.5 用铑探测器重水堆灵敏度刻度值推算它的其他情况下的灵敏度

（1）用铑探测器重水堆灵敏度刻度值推算其轻水堆灵敏度

文献［13］给出了一只铑探测器重水堆灵敏度刻度结果（又见文献［3］1.2.2 节）。该探测器的发射体直径为0.5 mm、长度为30 mm，探测器绝缘体厚度0.25 mm、绝缘体材料Al2O3。灵敏度刻度实验在英国Harwell 冥王重水堆PLUTO进行。PLUTO［15，16］是罐式重水研究堆，与游泳池式反应堆类似，其慢化剂温度70℃（343.6 K）。对于典型热中子堆，T/Tm＜1.07［9］（Tm：慢化剂温度），可以推测出，冥王堆的中子温度T＜367 K（94℃）这里假定中子温度为80℃，取g（80℃） =1.037［9］

可以采用上述刻度实验获得的该探测器的热中子灵敏度a 值和超热共振b 值（见文献［3］1.2.2 节），通过下式推算出该探测器的轻水堆灵敏度。但用这种方法推算出的探测器灵敏度仍应该归类于理论计算灵敏度，而不应归类于灵敏度刻度值。

该探测器的灵敏度刻度实验是在游泳池式重水反应堆进行的，通过上式，可以推算出该探测器在轻水堆核电厂堆芯的灵敏度。

（2）用铑探测器重水堆灵敏度刻度值推算其不同中子温度下的重水堆灵敏度

还可以通过下式推算出该探测器在不同中子温度下的重水堆灵敏度。

通过上式，可以推算出该探测器在重水堆核电厂堆芯的灵敏度。

6.2.6 上述公式的应用验证

本论文第二篇将用6.2 节介绍的公式、方法进行灵敏度计算，并与用其他方法的相关计算结果进行比较，以验证本节提出的方法、公式、技术路线的科学性、可信性。

7 钒探测器的K 因子计算模型、结果及分析

7.1 计算模型

钒的中子俘获截面符合1/v 率，钒探测器的K 因子计算模型与铑探测器的热中子K 因子计算模型相同，如下：

7.2 计算结果

7.2.1 钒探测器轻水堆K 因子计算结果

（1）钒探测器轻水堆f、F、fF因子计算结果（见图14）

图14 钒探测器轻水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 及fF 因子Fig.14 Self-shielding factor f and flux depression factor F of V detector emitter in light water reactor varies with emitter diameter

钒探测器发射体热中子自屏因子f、热中子注量率降低因子F参见文献［10］。

（2）钒探测器轻水堆K热β逃脱、K热β有效因子计算结果（见图15）

图15 钒探测器轻水堆K热β有效Fig.15 Kther.βeffe. factor of Rh detector in light water reactor

钒探测器的绝缘体厚度为0 时，其K热β逃脱等于其K热β有效。

（3）钒探测器轻水堆K热β穿越因子计算结果（见图16）

图16 钒探测器轻水堆K热β穿越Fig.16 Kther.βcro. of V detector in light reactor

7.2.2 钒探测器重水堆K 因子计算结果

（1）钒探测器重水堆f、F、fF因子计算结果（见图17）

图17 钒探测器重水堆自屏因子f、中子注量率降低因子F 及fF 因子Fig.17 Self-shielding factor f and flux depression factor F and fF factor of V detector emitter in heavy water reactor varies with diameter

（2）钒探测器重水堆K热β有效、K热β穿越、K热β逃脱因子计算结果

钒探测器重水堆K热β有效、K热β穿越、K热β逃脱因子计算结果与其轻水堆的K热β有效、K热β穿越、K热β逃脱因子计算结果相同。

7.3 用钒探测器灵敏度K 因子计算其单位长发射体灵敏度

7.3.1 钒探测器单位长发射体灵敏度计算公式

钒的中子俘获截面符合1/v 率，钒探测器灵敏度计算公式与铑探测器灵敏度计算公式的热中子部分的公式相同，具体如下：

由于K热β有效=K热β穿越K热β逃脱，那么，

式中，f：钒探测器发射体热中子自屏因子；F：钒探测器发射体热中子中子注量率降低因子；其他同上。

上述公式，既适用于轻水堆，也适用于重水堆。如果知道某一探测器的灵敏度K 因子，就可以用上述公式［式（39）、式（40）］计算该探测器的单位长发射体灵敏度。注意，这里与本文式（1）、式（2）中的N1的物理内涵相同。

钒的中子俘获截面符合1/v 率，其g因子等于1，且不随着中子温度的变化而变化，因此，用上述公式计算出的钒探测器灵敏度，既适用于游泳池式实验堆，也适用于核电厂等动力堆。

7.3.2 钒探测器重水堆灵敏度与轻水堆灵敏度的关系

如果知道钒探测器在轻水堆的灵敏度（理论计算值或灵敏度刻度值），那么可以直接推算该探测器在重水堆的灵敏度。计算公式为：

反之，亦然。

8 铑、钒探测器灵敏度K 因子计算结果检验

为了验证本文灵敏度K 因子理论模型的科学性、可行性，检验本文给出的灵敏度K 因子的计算结果的可信性，现通过以下三种途径，从不同角度、不同侧面对本文给出的铑、钒探测器灵敏度K 因子计算结果进行检验。

8.1 本文灵敏度K 因子计算结果与其他文献发表的灵敏度k 因子计算结果相互比较

现在把本文给出的灵敏度K 因子计算结果与目前能够收集到的其他论文给出的相关灵敏度K 因子计算结果进行比较。

由于有的文献没有给出具体数据，只给出灵敏度K 因子的变化曲线图。因此，有些文献的K 因子是依据K 因子的变化曲线图测算出来的。具体做法为：依据发射体直径、热中子吸收截面，计算出x（re∑）［10］，然后从图中测算出对应的灵敏度K 因子的值。

由于各文献采用的长度单位的制式不同，有的用公制，有的用英制。因此，与本节各比较表中第一列的标称直径有差异的，本文在表中分别标注出。

下列各比较表中，“本文”这一列对应的数据，一般直接采用本文给出的数据；对于特殊的探测器的直径、绝缘体厚度，用本文已知数据推算。

下列各表中，“比较”一列或一行对应的数据为K 因子的相对比值，比较时以本文给出的数据为1.0。

经研究认为：1）文献［7］中的k与本文的f1（铑探测器）或f（钒探测器）的物理内涵相同；文献［2］中fs因子与本文的钒探测器的f因子的物理内涵相同；文献［2］中fd因子与本文的钒探测器的F因子的物理内涵相同。2）文献［1］的ɛ 因子及文献［7］中kβ的与本文的K热β逃脱的物理内涵相同。3）文献［7］中的kg与本文的K热β穿越的物理内涵相同。4）文献［7］中的（KgKβ）及文献［2］中β因子与本文的K热β有效因子的物理内涵相同。

到目前为止，能够收集到的其他论文发表的相关灵敏度K 因子都是热中子灵敏度K 因子，因此，下述比较，仅限于热中子灵敏度K 因子之间的比较（表13 除外）。

8.1.1 铑探测器热中子自屏因子f1比较（见表11）

表11 铑探测器热中子自屏因子f1Table 11 Thermal neutron self-shielding factor f1 of Rh detector

8.1.2 钒探测器自屏因子f比较（见表12）

表12 钒探测器自屏因子fTable 12 Thermal neutron self-shielding factor f of V detector

8.1.3 铑探测器超热共振中子自屏因子f2比较（见表13）

表13 铑探测器超热共振中子自屏因子f2Table 13 epi-thermal resonance neutrons self-shielding factor f2 of Rh detector

8.1.4 钒探测器热中子中子注量率降低因子F比较（见表14）

表14 钒探测器热中子中子注量率降低因子FTable 14 Thermal neutron flux depression factor F for vanadium detectors

8.1.5 探测器K热β逃脱因子比较（见表15）

表15 探测器K热β逃脱因子Table 15 Kthermalβescape. of detector

8.1.6 钒探测器和铑探测器K热β穿越因子比较（见表16）

表16 钒探测器和铑探测器K热β穿越因子Table 16 Kthermalβpass through of V and Rh detector

8.1.7 铑探测器和钒探测器K热β有效因子（见表17）

表17 钒探测器和铑探测器K热β有效因子Table 17 Kthermalβeffective of V and Rh detector

8.2 铑探测器K 因子计算结果自我相互检验

为了检验计算结果的准确性、可信性，以及相互之间的吻合性、自洽性，这里对铑探测器K因子计算结果进行进一步自我相互检验。

数据检验的方式、方法简述如下：（1）选择典型案例，即确定探测器的发射体直径、绝缘体厚度，以及其所处的堆型、中子场环境（）；（2）选择6.1 节四种不同的计算铑探测器灵敏度的公式中的一种；（3）针对案例及选定的公式，从本文K 因子计算结果中查找每一公式需要的K因子；（4）针对案例，从文献［3］中查找每一案例的a、b 值；（5）分别用不同公式计算每一案例的单位长发射体灵敏度。结果见表18。计算结果相互吻合，十分理想。

表18 计算结果的准确性、可信性，以及相互之间吻合性检验Table 18 Verification of accuracy，credibility and consistency of calculation results

8.3 铑探测器K 因子理论计算结果与基于实验数据推算出的K 因子相互比较（详见本论文第二篇）

9 结论

（1）本文对β衰变型自给能探测器灵敏度K因子进行了较全面、深入、系统的研究，建立了铑探测器热中子K 因子、超热共振中子K 因子、中子场全谱中子K 因子的完整理论体系。

（2）本文从不同角度、不同侧面对本文给出的铑、钒探测器灵敏度K 因子计算结果进行检验（第8 节）。结果表明，本文灵敏度K 因子理论模型和计算公式是科学、可行的，计算结果是可信的。

（3）铑探测器的热中子K热β逃脱、K热β有效、K热β穿越及超热共振中子的K超振β有效、K超振β逃脱、K超振β穿越和堆型及中子温度无关，只和发射体直径及绝缘体厚度、材料有关。但全谱中子的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越和堆型有关，但影响不大。轻水堆的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越和重水堆的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越之间可以近似相互代用。全谱中子的Kβ逃脱、Kβ有效、Kβ穿越和中子温度有关，经分析认为，本文灵敏度K 因子的计算结果不仅可应用于中子温度为20℃的中子场，还可以近似应用于其他温度下（20℃～420℃）的中子场，最大相对误差不超过1%（第5 节）。

（4）钒探测器的重水堆K热β有效、K热β穿越、K热β逃脱与其轻水堆的K热β有效、K热β穿越、K热β逃脱相同，且与中子温度无关。

（5）计算结果符合预期：以铑探测器为例，①K超振β逃脱永远大于0.5；②在直径相同的情况下，越大，Kβ逃脱越大；③K超振β有效大于K热β有效，直径越大，差别越明显；④Kβ有效随着的增加而变大；⑤在发射体直径、绝缘体厚度相同的情况下，K超振β穿越比K热β穿越略大些；⑥Kβ穿越随着的增加而变大等。这些都符合预期。