一种冲击噪声下的多目标跟踪算法

VU Van Toi，高洪元，孙溶辰，陈暄

哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001

目标跟踪是阵列信号处理领域的关键技术，在雷达和通信感知系统中有广泛的应用。早期的跟踪算法主要应用于武器控制和导弹靶场测量，通过测量目标信息，预测炮弹或导弹的未来位置，进而引导火炮瞄准并设定引信时间，或为导弹提供制导信息并计算着弹点[1]。传统的跟踪方法通过发射笔形单脉冲波束以接收单个目标的回波，对目标的方位、距离和多普勒等信息进行跟踪，但存在精度不高且只能跟踪一个目标的问题[2]。随着相控阵雷达和高分辨估计技术的发展，以PARAFAC 算法和卡尔曼滤波（Kalman filtering，KF）等技术为代表的精密跟踪方法得到了广泛关注[3−4]。同时，随着通信技术的发展和大规模阵列的普及，在通信场景下对多个终端目标同时进行跟踪的需求也越来越大，精密跟踪算法在移动通信和自动驾驶等领域得到了应用[5]，研究其在雷达和通信感知系统中具有普适性的多目标跟踪算法具有重要的研究意义和价值。然而，现有的精密多目标跟踪算法和方位估计算法大多将噪声建模为高斯白噪声，这理想化的假设虽然使同等功率下估计的理论下界达到最低，但并不能保证算法在冲击噪声下仍具有鲁棒性[6]。实际环境中，自然界中的雷电和海杂波引起的噪声和许多人工噪声都具有冲击性[7]，这给信号的检测、估计和跟踪带来了巨大的挑战。学者们使用多种厚拖尾的概率密度函数对冲击噪声进行建模，其中 α稳定分布具有很好的普适性，由此也相应地发展出许多去冲击方法，具有代表性的有分数低阶统计量方法、零记忆非线性处理方法和滤波器方法[8−11]。

实时性是评估目标跟踪算法的重要指标。为了对跟踪方程进行快速求解，使用群智能算法是一种可行的方法。猫群算法是一种针对多维寻优问题设计的群智能优化算法，受猫群内部的信息交流机制的启发，在复杂的多维多峰优化问题中表现出较好的性能，但是收敛速度较慢。如何平衡开发与探索，即保证收敛到全局最优的条件下，在有限的迭代次数内得到尽可能高的收敛精度是智能优化算法所面临的共性难题。而量子群智能是一类优化算法的统称[12]，量子群智能受量子物理中概念的启发，可以将量子原理与传统的连续或离散优化算法结合，用模拟的量子旋转门对算法中的个体进行演化，获得优于原始算法的性能。

为了解决冲击噪声环境的动态跟踪难题，本文提出了一种在冲击噪声下的鲁棒多目标跟踪方法，在动态更新搜索区间的同时，设计了量子猫群算法对极大似然跟踪方程进行求解，保证了算法的实时性、鲁棒性和高精度。

1 冲击噪声下多目标跟踪数学模型

1.1 目标信号模型

跟踪问题可以等效为对角度等信息的参数估计。假设经N个目标反射后的回波信号入射到M个阵元的阵列上，在t时刻，经第n个跟踪目标反射后的回波信号表示为sn(t)，其角度为 θn，则第m个阵元接收到的数据为

式中：amn为阵列对回波信号的响应，n(t)为噪声。则阵列接收数据也可以表示成矢量形式具体为

式中：θ=[θ1,θ2,···,θN]；A(θ)为阵列流型矩阵，其每一列对应一个目标的导向矢量。阵列接收到的数据将被采样，采样后的离散数据表示为x(k) ，k=1,2,···,K。则对于静止目标，其协方差矩阵的估计公式为

而对于运动目标，由于导向矢量a(θ)将随时间变化，故需要按时间顺序进行下一脉冲时刻协方差矩阵的更新，协方差矩阵的更新公式为

即需先逐个计算单个脉冲数据的协方差R(k)=x(k)xH(k)后，带入式(1)得到更新后的协方差(k)， 0 ＜µ＜1称为遗忘系数，当遗忘系数 µ取值较大时，当前时刻的数据所占比重较大，而过去时刻数据的占比相应减小，使算法的跟踪能力较强，但是稳定性较差；而 µ取值较小时，算法的稳态性能更好，但难以对快速运动的目标进行准确跟踪。

由于阵列流型矩阵A(θ)中的每一列将随时间变化，因此信号子空间支撑的范围也将随时间发生变化。

式中：Q(k)=[Qs(k)Qn(k)]为协方差矩阵R(k)的特征矢量，由信号子空间和噪声子空间的正交基组成；Ds(k)是由信号特征值组成的对角阵；σ2(k)为噪声的特征值。为了同时跟踪多个目标，将子空间跟踪法与来波方向（direction of arriva，DOA）估计器结合是一种常用的方法，即在每个时刻，将更新后的子空间输入到DOA 估计器中得到角度随时间变化的结果，实现多目标跟踪。但这种方法存在无法解相干的问题。除此之外，传统的方法对噪声进行了理想化的假设，使其难以在工程实际中表现出预期的性能。本文将在1.2 和1.3 小节中针对这些问题设计新的多目标跟踪方法。

1.2 冲击噪声的建模

多数的研究将噪声建模为高斯白噪声，即假设噪声子空间中的特征值σ2(k)为常数，此时噪声子空间是球形的。但实际应用中，阵列接收到噪声常具有冲击性，这将会对跟踪算法的精度产生很大影响，甚至使其失效。本文中将冲击噪声建模为服从 α稳定分布的随机变量。

对称 α稳定分布被广泛应用于对雷达杂波进行建模，其特征函数具有如下形式：

式中： α为特征指数，满足0 ＜α ≤2，特征指数反映了噪声在时域的冲击性， α越大冲击性越强，概率密度拖尾也越厚； γ为分散系数，γ=1时为标准α稳定分布噪声； µ为位置参数，满足−∞＜µ≤∞，代表了随机变量的中值或均值。

已有的研究表明，通过使用高斯核函数，可以有效地滤除冲击噪声[13]。本文设计了一种零记忆非线性预处理方法，通过从空域维度对每个采样时刻的数据进行加权，将冲击噪声转化为方差为有限值的噪声，并使输出数据近似地服从高斯分布，具体步骤如下：首先在第k个采样时刻，取M个阵元的采样值的绝对值中最大值和最小值分别为

由此定义基于高斯核函数的加权函数为

式中 ω为高斯核的超参数。高斯核加权也可以理解为由阵列输出指数加权的无穷范数归一化处理[14]，由于加权函数的值只与当前时刻的阵列输出相关，即具有零记忆特性，相比于时域滤波等传统抗冲击方法更适合对动态目标进行处理；而高斯核函数的非线性特性也使这种方法相对于低阶矩等方法在强冲击环境下鲁棒性更强。经加权后的第m个阵元的输出为

将第m个阵元加权后的全部数据写成向量形式为

按照式(2)完成更新后，最近时刻的快拍数据将获得最大的权重，而之前时刻数据的权重随时间衰减，达到目标点迹平滑的目的。

1.3 极大似然多目标跟踪方程

当信号为相干信源时，无法通过特征分解得到准确的信号或噪声子空间，子空间类的跟踪算法将无法跟踪多个目标。针对这一问题，本文将根据极大似然原理，推导多目标跟踪的似然函数。

首先，为了使模型与观测数据的距离最小化，定义误差函数为

将A(θ)视为常量，针对信号波形进行求解得到(k)=(A(θ)HA(θ))−1A(θ)Hy(k)并带回式(3)，得

利用正交投影得性质，可以将最小化f(θ,k)转化为最大化的优化问题，由此定义似然函数L(θ,k)为

式中PA(θ)=A(θ)(A(θ)HA(θ))−1A(θ)H为阵列流型矩阵的投影矩阵，使似然函数最大即可得到对来波方向的最大似然估计结果，将这一过程表示为估计方程如下

2 基于量子猫群算法的多目标跟踪

由于多目标跟踪方程没有闭式解，传统的网格搜索耗时巨大且有量化误差，本文设计了一种新的量子群智能算法，称为量子猫群算法（quantum cat swarm optimization, QCSO）对其进行快速求解。

2.1 量子猫群算法

量子猫群算法借鉴了猫群算法的原理，对狩猎过程中猫种群内的交流联系机制进行研究，在猫捕食猎物的过程中，每个量子猫综合考虑与当前种群中的多个的量子猫的距离，模仿猫之间信息交流包围猎物，并将量子猫的搜索空间转换为量子态的量子猫个体，具体的数学模型和寻优机制如下。

在P维的搜索空间中，量子猫的个数为L，最大迭代次数为G，当前迭代数为g，g∈[1,G]，第g次迭代中第l个量子猫记为量子猫的优劣由适应度值的大小决定，标记为。规定适应度最大和最小的量子猫为最优量子猫和最差量子猫，适应度分别为和。

在量子猫算法中，使用模拟量子旋转门实现量子猫捕食猎物的寻优搜索过程，在第g次迭代中，首先计算参数

由此计算全部量子猫中的适应度大于 ξg的个数为

每个量子猫根据自身与适应度排名前Qg的量子猫的距离确定运动方向与距离。由此得到第l个量子猫的第p维向第q个量子猫的第p维运动量子旋转角计算公式为

式中(q)为[0,1]的均匀随机数。另外规定，若(q)=0，则令

式中sign为符号判决函数。

使用模拟量子旋转门计算第l个量子猫的第p维向第q个量子猫的第p维运动的位移分量(q)，位移分量的计算公式为

则运动后的第l个 量子猫的第p维取值为

得到新一代的量子猫种群后，判断是否达到最大迭代次数，当迭代完成后将最优量子猫的位置映射到解空间输出。量子猫群算法适当地平衡了算法的全局和局部搜索能力，实现高效的寻优搜索且不易陷入局部最优。

2.2 量子猫群算法在多目标跟踪中的应用

使用量子猫群算法对多目标跟踪方程进行求解时，设定搜索空间为角度空间，即P=N，建立量子态的量子猫个体与其在搜索范围中的映射态的线性映射关系具体为

根据多目标跟踪方程定义量子猫个体的适应度函数为

在收到第一个回波信号并得到估计结果后，根据这一结果缩小搜索范围，以节省计算量，搜索范围的下界与上界的更新公式分别为

量子猫群算法的最大迭代次数由当前搜索范围的最大值向下取整得到

基于量子猫群算法的多目标跟踪算法步骤总结如下：

1）阵列接收回波信号后进行采样，并进行加权处理；

2）按照式(1)对协方差矩阵进行更新；

3）根据前一时刻的信息，按照式(4)和式(5)确定搜索边界；

4）根据式(6)确定算法的迭代次数，用量子猫群算法对多目标跟踪方程进行求解，在达到最大迭代次数后，输出当前时刻点的估计值；

5）获取下一个脉冲回波数据后返回步骤1）否则输出跟踪结果。

3 仿真实验

本节通过设计仿真实验对所提出的冲击噪声下基于量子猫群的多目标跟踪方法进行性能对比。

实验1 首先对比了QCSO 在不同维度的测试函数上与几种传统算法的收敛性能。对比算法包括改进的并行猫群算法[15]（enhanced cat swarm optimization, CSO）、原始的猫群算法[16]（cat swarm optimization, CSO）、遗传算法（genetic algorithm,GA）和粒子群算法（particle swarm optimizer, PSO），对比算法参数设置见相应参考文献。选取的标准测试函数的表达式为

式中D为 搜索空间的维度。D取2、10 和100 的条件下得到的收敛精度随迭代数变化曲线分别如图1 所示。

图1 收敛精度随迭代数变化曲线

从仿真结果可以看出，所设计的量子猫群算法在不同维度的优化问题中都表现出更快的收敛速度，达到最大迭代数后的收敛精度也更高。

在测试函数上的表现证明了所设计的算法具有较强的寻优搜索能力。接下来将在不同的噪声背景下，对比所设计方法与现有方法对多目标跟踪的性能。

实验2假设空间中同时存在2 个相干目标，回波信号从不同方向入射到均匀线阵上，仿真实验中采用2 个同频同相的等功率正弦波，频率均为1 GHz，角度随时间变化规律为：θ1(k)=20+k/50，θ2(k)=80−3k/100，k=1,2,···,500，阵列采样频率为1 kHz，持续时间为0.5 s，阵元数为8。规定每个脉冲下，对于每个目标，跟踪角度结果与实际角度的差值低于1°为跟踪成功。对比方法包括基于分数低阶协方差（fractional low-order covariance,FLOC）的跟踪方法[17−18]、基于无穷范数归一化的跟踪方法[19]和基于共变矩（robust covariation,ROC）的跟踪方法[20]。当冲击噪声的特征指数固定为1.2 和1.6 时，得到的跟踪成功概率随信噪比变化曲线分别如图2 所示。固定信噪比为15 dB，仿真跟踪成功概率随特征指数变化曲线如图3 所示，特征指数为1.6 时的跟踪结果的示意如图4所示。

图2 跟踪成功概率变化曲线

图3 跟踪成功概率随特征指数变化曲线

图4 2 个目标情况下的跟踪示意

从仿真结果可以看出，本文所提出的冲击噪声下的多目标跟踪方法在不同信噪比和不同特征指数的都较传统方法有性能优势。尤其是在特征指数较小（强冲击）和信噪比较低的环境下，本文所提方法的性能优势更明显，具有很好的鲁棒性。

实验3假设空间中存在4 个部分相关的目标，信号形式同上但信号幅值服从高斯分布，即这4 个目标两两之间的相关系数介于0 与1 之间。角度随时间变化规律分别为

其他参数设置不变。角度随时间变化的规律用实线标注，跟踪结果用不同的图形标注如图5。

图5 4 个目标情况下的跟踪示意

由图5 可以看出，信号在角度空间虽然发生了交叠，但所设计的方法可以分辨多个目标并进行有效跟踪。需要注意的是，目标相对于阵列的角度变化规律体现为运动轨迹，与信号之间的相关性在物理意义上无关。

从以上仿真结果可以看出，本文所提方法可以对独立、部分相关和全相干的多目标进行高效准确跟踪，适合应用于侦察和火控雷达系统中。

4 结论

本文针对冲击噪声环境下的多目标跟踪问题，设计了新的抗冲击方法，推导了极大似然多目标动态跟踪方程，并设计了一种新的量子智能优化算法对其进行高效求解，具体的结论如下：

1）构造了一种新的基于零记忆非线性处理的抗冲击预处理方法，在冲击噪声背景具有鲁棒性且在不同信噪比条件下都表现出优于现有抗冲击方法的性能，尤其在强冲击环境下性能优势更明显。

2）推导了的极大似然多目标跟踪方程，解决了现有的基于子空间更新的动态跟踪方法无法对相干信源进行跟踪的问题，突破了应用局限。

3）设计了一种新的量子猫群算法，为对多目标跟踪方程进行快速、准确的求解。所设计的算法通过应用量子机制，在收敛速度和收敛精度上较传统的优化算法具有优势，可以实现无量化误差的求解。

仿真实验证明，本文提出的基于量子猫群算法的动态跟踪方法在不仅在冲击噪声下具有很好的鲁棒性，在高斯噪声背景下也同样适用。且具有实时性好的优点，在先进的精密跟踪雷达和通信感知系统中有广泛应用前景。本文所设计的量子猫群算法是一种高效的寻优搜索算法，也可以被应用于解决其他工程问题。下一阶段将继续研究抗冲击性能更优的处理方法，进一步提高精密跟踪系统的性能，促进智能信号处理技术的发展。