高中数学项目式学习初探

2024-02-04广州市协和学校朱禹兰

师道(教研) 2024年1期

文/广州市协和学校朱禹兰

项目式学习是一种以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构的学习方式。它与建构主义理论、实用主义理论以及情境学习理论等有密切联系。考虑到近几年的高考难度大，知识点的应用灵活，但由于课时、学生接受能力等各种缘故，一些课外知识没有办法课内处理，我们就采用问题导向法，用小组合作、项目式学习等方式激发学生的学习动力，促进他们的学习能力，结果学生的收获还不错。下面以“阿波罗尼斯圆”的学习为例，进行分析。

一、项目式学习的设计

我们在平时的教学过程中设立了学习小组，小组成员的学习水平总体相差不大，大部分学生都会又一定的钻研精神，乐于学习。而我们的项目式学习主要以作业中的难题为蓝本，发现难题的关键所在，再根据实际大家一起设计一系列的学习清单，小组成员根据清单的引导，查找资料，汇总学习，再发现问题、查找资料、汇总学习、总结反思。

二、具体实施的过程

（一）发现问题，提出问题

某天，学习小组的成员看到练习1：已知两顶点A（-2，0），B（1，0），如果动点P 满足|PA|=2|PB|，则点P轨迹所包围的图形面积为______.

同学们没有接触过这类问题，首选的是轨迹方程的解题思路：

设点P（x，y），由条件得P 的轨迹方程为（x-2）2+y2=4，根据圆方程得所围成的面积为4π.本题较为常规，同学们也没有特别的感觉，完全按照题目条件进行整理即可得到结论.之后碰到练习2：满足条件AB=2，的△ABC 的面积的最大值为_____.

同学们首选了解三角形的方法，通过余弦定理、同角三角函数的关系、三角形面积公式等一系列转化得，解题过程如下：

令t=a2，y=-9t3+32t2-16t，即便运算能力较好的同学算到之一步，也发现求导之后运算更趋于复杂，这种方法基本失效，至此，问题出现。

（二）引导探究，总结类型

我给学生建议将上下两题进行对比，条件是否相当，可以得到的结论是否相似，对本题的简化是否有帮助。有同学提出练习1 中的|PA|=2|PB|与练习2 中的条件相似，有相似的条件就可以模仿，练习1 求解的是P 的轨迹，练习2就对应地可以求解C 的轨迹，接着就是建系→求轨迹方程.放手给他们自己处理了之后，大致出现了三种情况：（Ⅰ）以AB 为x 轴，AB 的中点为坐标原点建系，得轨迹方程为（x-3）2+y2=8；（Ⅱ）以AB 为x 轴，A 为坐标原点建系，得轨迹方程为（x-4）2+y2=8；（Ⅲ）以AB 为x 轴，B为坐标原点建系，得轨迹方程为（x-2）2+y2=8；S△ABC==.到此，练习2 已完成，但我们还要继续引导学生探究过程中值得思考的东西.引导学生通过总结，不管是哪种情况，得到C 的轨迹都为圆，并且圆的半径始终为，这个结论是巧合还是必然？第一阶段的作业已经出现，对比练习1 和2 可以得到什么结论？各小组根据这个问题上网查找资料。

（三）总结概念，引申题设

经由学生的自主学习和探究，得出以下结论：动点到两个定点的距离之比为定值k（k＞0 且k≠1），则该动点的轨迹为圆；有一部分同学在网上搜到了“阿波罗尼斯圆”的定义。并且找到了以下几道习题：

（2）已知A（-2，0）、B（4，0），点P 为⊙C：（x+4）2+y2=16 上任意一点，问：是否存在这样的常数λ，使得若存在，求出常数λ 的值.

这2 道题目作为堂练，限时半小时，半小时后学生自主讲评.其中习题（1）30 位学生有16 人会做，学生的讲解清晰：等腰三角形的作用是腰相等，即AB=AC，中线的作用是取一条腰长的一半，不妨设为，两个条件合一起得AB=，且中线长确定即，恰好符合阿氏圆的两个前提要求.通过解释，剩余同学也表示理解并可以计算，整个讲解过程2 分钟.习题（2）也有近一半的同学有解题思路，全部为待定系数法，学生解法展示：

阿氏圆的定义和简单的应用已经有所尝试，同学们根据题目总结出以下特征：

①涉及动点到两定点的距离问题，可以考虑阿氏圆；

②条件为两段举例之比为定值k（k ＞0 且k≠1），可以考虑阿氏圆；

③阿氏圆的运算基本步骤为：设点、找关系、化简。

（四）深入探究，熟悉性质

课后学生自主学习分享有以下内容：

（一）关于阿氏圆的一个几何结论：如右图，已知C 是以PQ 为直径的圆D 上任意一点，则直线PQ 上两点A、B 满足（λ≠1）的充要条件为：⊙D 是以A、B 为定点，为定值λ（λ≠1）的阿波罗尼斯圆.以上结论学生通过知网查找资料获得，该学生详细讲解并板演证明过程.