一道2022年四川预赛题的解法赏析与背景揭示

张志刚

(山东省宁阳县复圣中学,山东 泰安 271400)

本题设计简洁清新,构思别具匠心,考查二元方程约束条件下的二元函数取值范围问题,突出考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.此类问题因解法灵动多变,饱含数学思想,备受命题专家的青睐,成为历年高考考查的重点,近年也逐渐成为数学竞赛、高校强基计划等命题的热点.与普通高考试题相比,本题涉及知识点较多,思维跨度更大,呈现出更强的综合性与选拔性.

1 试题解答

首先通过去绝对值符号简化(*)式,以便于考查方程对应的曲线特征.

显然x,y不可能同时为负数,

因此,(*)式表示的曲线如图1所示.

图1 的图象

思路1转化为二次方程有解问题.

思路2运用不等式放缩求解最值.

柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时取等号)也是解决最值问题常用的理论根据.其形式特点为:平方和的乘积大于等于乘积之和的平方.在具体使用过程中,要通过仔细观察,利用已知条件构造出柯西不等式的形式.

评注利用柯西不等式求最值要注意验证等号成立的条件.

思路3通过减元转化为单变量函数.

在高中阶段,由于解决一元函数最值问题方案较为完善,我们常常通过减元将二元函数转化为一元函数,进而求出其最值.

点评为减少未知数的个数用参数方程设点,将距离转化为关于θ的三角函数的最值,最后利用正弦函数的有界性求出最值.

思路4 转化为椭圆的切线问题.

点评利用椭圆的切点弦方程和平行线间的斜率关系求出切点坐标,进而结合图形求出最值.但规避了解法4中运算较复杂、容易出错的复合函数求导运算,可视为解法4的进一步优化.

2 命制背景

解出x,y,则点(x,y)即是函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点[1].若这样的点只有一个,可确定此点即为所求的点.其几何意义是:设给定目标函数为f(x,y),约束条件φ(x,y)=0.如图2示,曲线L为约束条件φ(x,y)=0,目标函数为f(x,y)=C的等值线族.在f(x,y),φ(x,y)的偏导数都连续的条件下,目标函数f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的可能极值点M(x0,y0)必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点.

图2 曲线L(x,y)示意图

拉格朗日乘数法的优点有二:一是把目标函数和约束条件统一到一个拉格朗日函数中,二是将条件极值问题转化为无条件极值问题,即通过引入拉格朗日乘数,将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有n+k个变量的无约束优化问题. 另外,L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中φ(x,y)=0,求z=f(x,y)的极值点就是求L(x,y)的极值点,二者的极值是等价的,且与λ无关.

应用拉格朗日乘数法本题解答如下:

由以上讨论可知,我们只需研究当“x≥0,y≥0”时的情形.

3 结束语

以拉格朗日乘数法为背景的二元方程条件下的二元最值问题意蕴丰富,解答时要认真剖析题设条件和结论的结构特征,从多个视角寻求解题突破口.此外,我们需要仔细体会函数与方程、转化与化归、数形结合、以直代曲、消元(减元)、分类讨论等数学思想方法在解题中的应用. 在解题教学过程中,教师要引导学生认真剖析题设条件和结论的结构特征,具体问题具体分析,通过观察、比较、联想、实验、概括、推理、证明等多种思维活动,选择合理经济的解题路径,避免死记硬背、生搬硬套“结论”的盲目机械训练.