“一题多变”突破解三角形的解题障碍

陈鹏林

(福建省永春第一中学,福建 泉州 362601)

“解三角形”是高中数学人教A版(新课标)必修第二册第六章第四节的知识,具有较强的应用性,也是平面向量和三角函数在求解三角形问题中的综合应用,其本身不仅仅与日常生产生活问题有着紧密的联系,同时,也是高考一个重要且必考的考点.在近几年的高考中,经常考查到解三角形的范围问题,但难度适中,属中档题型,学生是可以在这道题上争取拿高分的.因此,在选择训练题上应注重如下这三点:第一,在基础题型上,要强化基础,抓纲务本,落实通法;第二,在难点题型上,要立足教材,突出方法,分级达标;第三,在易错题型上,要变式呈现,举一反三,强化提升.

1 考题再现,发现障碍

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b．

命题意图本题考查了三角形的内角和定理、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系(平方关系)、余弦定理以及三角形的面积公式等基础知识,意在考查学生的运算求解能力及方程思想,属于中档题[1].

所以sinB=4(1-cosB).

因为sin2B+cos2B=1,

所以16(1-cosB)2+cos2B=1.

所以(17cosB-15)(cosB-1)=0.

利用余弦定理得

=(a+c)2-2ac-15=4.

所以b=2.

解决该题时,虽然学生已经掌握了相关的一些知识,但是对于如何准确使用正、余弦定理来求解三角形还存在障碍,许多学生对于求解三角形中的边角关系和周长面积以及最值(范围)问题产生畏惧心理.下面,通过该题的多道变式题,可以高效地帮助学生突破这一障碍.

2 变式延伸,揭示规律

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求△ABC的周长．

分析该题是将第(2)小题改为求周长问题．本题只要在第(2)小题求出b=2后,再利用周长公式l=a+b+c即可求出周长为8．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,求△ABC的面积.

分析该题是把第(2)小题的条件和结论对换．

(2)利用余弦定理,得

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值．

分析该题是在第(2)小题中删除了一个已知条件:“a+c=6”,使所研究的三角形不确定,从而可求面积的最值问题．

故△ABC的面积的最大值为4.

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周长l的取值范围．

分析该题与变式4一样,也是在第(2)小题中删除了一个已知条件:“a+c=6”,使所研究的三角形不确定,从而可求周长的取值范围．

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周长l的取值范围．

分析该题是在变式5的基础上,增加了一个条件:锐角三角形.这样,角A的范围发生了改变,从而三角形的周长范围也跟着改变了.

几个变式题的设计都是稍微改变了条件,并难度逐步递进,激发了对知识的渴望,因此我们可以更好地总结解决此类问题的方法,并了解如何正确选择正弦和余弦定理来解决三角形中的周长、面积和最大值问题.达到突出重点和解决难点的目的.

对于变式4和变式5,可以采用均值不等式,但变式5只能够确定“a+c”右侧的范围,对于另外一侧的范围,多数学生忽略了“两边之和大于第三边”这一隐藏条件,从而漏解.通过变式6进一步深入探讨和研究,发现用正弦定理就可以解决这一问题.我们还可创设一个新的问题: “求“a-c”的范围”让学生思考.由此可见,解决三角形中的(范围)问题的通法是正弦定理.当然,应该还会有一些学生由于没有观察到角的范围,导致解错.

3 结束语

解三角形是高中数学中一个非常重要的知识点和考点,需要在掌握基础题型的前提下,逐步拓展到难点题型和易错题型.通过针对性的训练和提升自己的解题能力,就可以在高考中取得优异的成绩.因此,在总复习中,建议学生应该对解三角形问题进行题型选择并总结归纳,具体解题过程中需要根据题目类型和已知条件灵活应用和调整解题步骤与方法,同时也可以参考高考数学热门考点清单等资料,来更好地掌握相关题型的学习方法和解题技巧.总之,要在高考总复习中提高解决问题的能力,需要注重解题思路的分析和解题技巧的掌握.本文从一道解三角形综合问题入手,通过一题多变的形式,达到扩展发散思维,通过问题的辨析与探究,真正体会选择正弦定理、余弦定理在求解三角形的最值(范围)中的运用.同时,避免深陷“会而不对、对而不全以及全而不准”的尴尬境地,真正实现由一题多变突破解三角形的解题障碍的最终目标.