类比法在初中数学解题中的应用技巧

赵静

【摘要】数学是抽象且逻辑关系严谨的一门学科，故而在初中数学课程中，学生经常需要解答抽象复杂的问题.为帮助学生解决问题，学好、用好数学，文章提出了结构化类比、降维类比、跨学科类比等技巧.教师应在初中数学教学中设计解决问题环节，同时指导学生应用类比法，培养学生创新解题能力，促进学生巩固学习内容，形成知识框架.

【关键词】初中数学；类比法；解决问题；应用技巧

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在描述数学课程核心素养在初中阶段的主要表现时指出：运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证.类比作为数学研究的一种经典方法，能够应用于初中数学解题中，对学生解决问题起到促进作用，能培养学生的创新意识、推理能力等.类比法在初中数学解题中的应用技巧亟待研究，教师应当在初中数学教学中，借助丰富的问题为学生搭建解题平台，同时指导学生应用类比法，使其掌握结构化类比、降维类比等技巧，活跃学生的数学解题思维.

一、类比法在初中数学解题中的应用价值

类比法是通过未知或不确定对象与已知或确定对象的归类和比较，猜测或确认未知或不确定对象的一种古老的认知思维与推测方法.在数学领域，类比法有其独特的应用价值.具体到初中数学解题方面，类比法既有助于学生梳理思路，建立解题思维，又有利于学生巩固学习内容，形成知识框架.

（一）梳理思路，建立解题思维

从小学过渡到初中阶段，学生需要面对愈发复杂的数学问题，这对学生解题思维提出了更高层次的要求.类比法作为一种古老的认知思维，对学生解题思维的建立至关重要.比如，基于类比法的归类的比较步骤，学生首先将初中数学问题划分为特定类别，其次以问题类别为依据分析解决问题的具体方法，最后根据类比得到的问题特点落实精准解题.从分析问题到解决问题，学生并非如无头苍蝇一般反复尝试，而是巧妙地在归类、比较中梳理思路，能够更加快速地建立解题思维，提升逻辑思维水平.

（二）巩固学习内容，形成知识框架

类比的本质是利用已知推理未知，这决定了类比法在初中数学解题中的应用本质———迁移已有经验探索未知答案.学生应用类比法解题，便是在不断迁移已有经验探索未知答案的过程中巩固学习内容，形成知识框架.比如在学习“直角三角形的证明”时，学生应用类比法解题，可以将“等腰三角形的证明”相关知识和经验加以应用.通过这样的解题过程，学生既能学会证明直角三角形，又能巩固“等腰三角形的证明”学习内容，明确等腰三角形与直角三角形的内在联系.

二、类比法在初中数学解题中的应用技巧

如何在初中数学解题中正确构建归类和比较关系，优化逻辑推理？下面，文章将参考北师大版初中数学教材知识结构，列举问题实例，研究类比法在初中数学具体问题中的应用技巧.

（一）结构化类比：把握问题本质，构建熟悉题型

许多学生面对初中数学题不能灵活解决问题，是因为只注重对单一问题的解题公式、定理等分析，忽略了问题之间的本质联系，没有依据题型规律建立解题模型.初中数学问题万变不离其宗，许多问题看似不同，但是深挖其本质，能够发现其题型结构高度相似.学生可按照此规律应用类比法解题，从把握问题本质入手，通过构建熟悉题型解决陌生问题，此为结构化类比.比如在“勾股定理的应用”知识领域，许多问题并非直接依托直角三角形呈现，而应用勾股定理解决问题，必须使问题满足“直角三角形”这一前提.教师可指导学生应用类比法挖掘问题的本质，将普通三角形题型转化为直角三角形题型，以便准确解题.

例题呈现 如图1所示的是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）的范围是（ ）.

A.12≤x≤13 B.12≤x≤15 C.5≤x≤12 D.5≤x≤13

初读问题，其考查对象缺乏清晰性，联系选项再读问题，类比吸管、饮料罐底面半径、饮料罐高与直角三角形短直角边、长直角边、斜边的联系，可确认本题为勾股定理基础题型的变形，故可利用直角三角形的勾股定理特性解题.

（二）降维类比：分析已知条件，简化问题内容

降维类比是指通过对问题复杂线索与已知简单信息的对比，将复杂问题化繁为简，从而由繁到简地解题.该解题技巧在初中数学解题中的应用，要求学生细心审题，联想分析已知条件.比如在学习“弧长及扇形的面积”这部分内容时，虽然教材已经讲解了弧长及扇形面积的计算公式，但是在某些求阴影部分面积的问题中，阴影部分并非扇形，学生极易陷入解题困境.教师可指导学生应用类比法分析阴影部分的已知条件，自主将阴影部分转化为简单的图形，化简问题，简化解题.

初看示意图，图中阴影部分为不规则图形，无法直接代入任何面積公式.结合已知信息展开类比，示意图整体为矩形，空白处为一大一小两个扇形，故而可将阴影部分转化为矩形与两个扇形的面积差.

复杂问题与简单信息同时出现时，简单信息可为复杂问题提供解题思路，学生可在解题过程中，类比简单信息与复杂问题，将复杂问题简单化，简化解题过程.以本题为例，复杂问题为阴影部分面积，简单信息为矩形面积与扇形面积.经过降维类比，充分分析已知条件，找准化繁为简的切入点，问题简单化，代入公式轻松解决问题.

（三）跨学科类比：应用非数学元素，发散解题思维

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，义务教育数学课程特别设计跨学科主题活动，意在培养学生跨学科的应用意识与实践能力.跨学科是指将数学学科与其他非数学学科相联系，发散学生思维，使其将数学知识广泛运用在学习、生活中，同时迁移其他学科知识理解数学问题，跨学科类比由此成为类比法在初中数学解题中的应用技巧之一.教师在指导学生应用类比法解决初中数学问题时，应当避免局限在数学元素的归类、对比中，应使学生大胆应用非数学元素与数学元素的类比，实现创新解题.比如在“一次函数的应用”知识领域，许多问题为路程问题，学生可联系物理学科“平均速度的测量”等学习经验，类比分析路程问题，发散求解.

例题呈现 从地面垂直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）是运动时间t（s）的一次函数.经测量，该物体的初始速度（t=0时物体的速度）为25m/s，2s后物体的速度为5m/s.（1）写出v，t的函数表达式.（2）经过多长时间后，物体将到达最高点？（此时物体的速度为0）.

（2）解：已知物体到达最高点时速度为0，则0=-10t+25，解得t=2.5.

答：经过2.5s后，物体将到达最高点.

类比数学元素与非数学元素，本题与物理中“平均速度的测量”相关.假设物体做平抛运动，其速度与时间仍存在函数关系，即v=kt+b.从地面垂直向上抛射的物体符合平抛运动特征，物体在下落的过程中不断减速，可直接设v-t关系式为v=kt+b.紧接着，运用“两点式”求解函数关系式，将（0，25）（2，5）分别代入v=kt+b，可得到k与b的具体数值，解得v=-10t+25.最后根据题意，将v=0代入v=-10t+25，得到物体到达最高点的时间.

本问题体现了初中数学跨学科应用与实践理念，满足跨学科类比解题技巧在初中数学解题中的应用条件.细心审题会发现问题隐含的非数学元素，大胆联想，在物理知识与数学解题中建立通道，在物理层面还原“平抛运动”v-t图像，是类比解题的重要保障.学生可使图像跃然纸上，也可根据头脑中的图像记忆提炼函数关系式.此后，代入数学元素于函数关系式，学生可融合类比法与一次函数核心知识，高效解题.

（四）“数”“形”类比：运用数形结合思想，化抽象为直观

数形结合是初中数学解题的“法宝”.古今中外，无数数学家提出数形结合思想.数学问题的解决过程中，数是重要依据，形是关键工具.初中数学函数、方程、不等式、立体几何等问题中，学生均可运用数形结合思想解决问题，此为“数”“形”类比.学生可根据问题已知条件化“数”为“形”或以“数”化“形”，从而化抽象问题为直观信息，提高解题效率.比如在学习“应用一元一次方程———追赶小明”知识时，学生若无法凭借问题文字信息理清解题思路，便可应用“数”“形”类比技巧，将问题文字转化為图形语言，以具象化的方程关系帮助解题.

例题呈现 小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4m，小强每秒跑6m.（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？（2）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10m处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？

答：小彬站在小强前面10m处，两人同时同向起跑，5秒后小强能追上小彬.

类比问题第（1）小问与图3，小彬和小强同时相向起跑，两人相遇，即共同跑完100米，可根据“路程和=速度和×时间和”等量关系，列出方程“（4+6）x=100”解题.类比问题第（2）小问与图4，小彬和小强一前一后同时同向起跑，小强追上小彬时，小彬跑步的距离与两人跑步起点距离之和，等于小强跑步的距离，等量关系隐含在示意图中，可列出方程“4y+10=6y”并解题.

本题为典型的相遇追及问题，共分为两个小问，学生若仅凭文字信息分析问题，极易落入解题陷阱，混淆一元一次方程的应用思维.学生若应用类比法，将文字信息类比为图形语言，即图3与图4，有助于将小彬和小强的相遇、追及关系具象化，把握等量关系，列出方程并解题.学生可结合题意应用类比法，通过图形表现归类和比较结果，从而快速判断等量关系，保证列方程、解方程的准确性.

结 语

基于类比法在初中数学解题中的应用价值，类比法在初中数学解题中的应用技巧已经成为教师关注的焦点.类比法在初中数学解题中的具体应用，可以是把握问题本质，构建熟悉题型，也可以是分析已知条件，简化问题内容，还可以是应用非数学元素，发散解题思维，更可以是运用数形结合思想，化抽象为直观.教师应当在初中数学课程中，积极指导学生应用类比法解决问题，使学生建立良好的解题思维，达成高效学习、学以致用.

【参考文献】

[1]唐美依.“类比法”让初中数学解题教学提质增效[J].数学之友，2022，36（23）：16-17.

[2]贺湘雲，赖冬梅.类比法在初中数学教学中的应用[J].学周刊，2022（35）：61-63.

[3]段发一.类比思维在初中数学解题教学中的应用[J].数理天地（初中版），2022（16）：33-35.