Hilbert空间中的K-R-融合框架*

2024-01-31洪国庆杨富超张建霞

河南工学院学报 2023年6期

洪国庆,杨富超,张建霞

(1. 河南工学院理学部,河南新乡 453003;2. 河南工学院智能工程学院,河南新乡453003)

0 引言

傅里叶变换作为现代分析的主要工具已有100多年的历史。但是它只提供频率信息,且在它的相位中隐藏关于信号发射时刻和持续时间的信息。Gabor[1]在1946年解决了这个问题并引入了一种基本信号分解新方法。因为该方法提供了对附加噪声、量化和传输损耗的恢复能力且具有捕捉信号重要特征的能力,因此很快成为该领域的范例。1952年,Duffin和Schaeffer[2]研究非调和傅里叶级数的一些深层问题时发现需要一个正式的结构来处理L2[0, 1]中高度冗余的指数函数族。为此,Duffin和Schaeffer引入了Hilbert空间框架的概念。人们发现Gabor的方法是其一个特例,且属于时频分析领域[3]。令I表示一个可数指标集,序列{fi}i∈I表示Hilbert空间H的一族向量。若存在常数0<α≤β<+∞,使得

则称序列{fi}i∈I为H的一个框架。框架作为Hilbert空间基的一种推广,使得空间中任意元素可以被框架元素的线性组合表示,并且这种表示方法可以不唯一,正因如此,使其在实际应用中有许多优于基的地方。

20世纪80年代末,Daubechies、Grossman 和Meyer[4]重新提出了框架的基本概念并展示了框架对数据处理的重要性,同时这项开创性的工作也揭示了对信号处理的意义。此后,人们对框架理论及其应用进行了深入的研究,并取得了一系列重要研究成果。随着泛函分析、算子理论、算子代数和Banach空间理论等许多工具用于框架的研究,框架的内容日渐丰富。到目前为止,框架已经成为基础数学、应用数学、计算机科学和工程学中的一个标准概念。我国学者分别研究了Banach空间中的(p,Y)-框架理论、算子代数B(H)上的算子框架、Banach空间中的Xd-框架与Riesz基、Hilbert模框架理论、Banach空间中的连续框架、有限维或带类群结构的算子值框架、小波框架的构造、Hilbert空间中的K-框架、框架的优化设计等重要问题,使框架理论得到了进一步的发展。

Hilbert空间中的K-R-融合框架是R-融合框架[6,7,8]与K-框架[9,10,11]的有机结合,本文将对K-R-融合框架的刻画和性质、冗余性进行研究。

1 预备知识

在本文中,符号I,J表示可数或有限指标集。令H和M表示可分复Hilbert空间,B(H,M)表示从H到M的所有有界线性算子构成的集合。如果H=M,则B(H,M)=B(H)。符号IH表示H上的恒等算子。对于一个有界线性算子T,ranT表示T的值域空间,kerT表示T的零空间,T*表示T的伴随算子。如果W和V分别是H和M的闭子空间,则分别令πW∈(H)和τV∈(M)表示在子空间W和V上的正交投影。

定义1设Ti∈(H,M)表示Hilbert空间H到M的一族有界线性算子,{Wi}i∈I表示H的一族闭子空间,{Vi}i∈I表示M的一族闭子空间,{vi}i∈I为一族权重。若存在常数0<α≤β<∞使得

成立,则称序列{(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是Hilbert空间H的界为α和β的R-融合框架。

R-融合框架使用的相关表示空间是

其中内积定义为

定义2设K∈B(H),设Ti∈B(H,M)表示Hilbert空间H到M的一族有界线性算子,{Wi}i∈I表示H的一族闭子空间,{Vi}i∈I表示M的一族闭子空间,{vi}i∈I为一族权重。若存在常数0<α≤β<∞使得

成立,则称序列{(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是Hilbert空间H的界为α和β的K-R-融合框架。

设R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是界为β的Bessel R-融合序列,定义分析算子

TR:H|→Rl2,TRf={viτViTiπWif}i∈I∀f∈H

此时有