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解决二次函数含参问题的通性通法

2024-01-30段侠

初中生世界·九年级 2023年12期
关键词:一元二次方程表达式交点

段侠

含参二次函數是二次函数知识中的难点,也是中考的高频考点,更是大家的易错点。我们将从以下三个方面来探究含参二次函数的通性通法。

一、含参二次函数与x轴的交点问题

例1 已知:二次函数y=x2-2mx-1(m为常数)。

求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点。

【解析】当y=0时,x2-2mx-1=0,b2-4ac=(-2m)2-4×1×(-1)=4m2+4。

∵无论m取何值,m2≥0,

∴4m2+4>0。

∴方程x2-2mx-1=0总有两个不相等的实数根。

∴不论m为何值,该一元二次函数的图像与x轴总有两个公共点。

变式 已知:二次函数y=a(x-1)·(x-1-a)(a为常数,且a≠0)。

求证:该函数的图像与x轴总有两个公共点。

【解析】方法1:令y=0,即a(x-1)(x-1-a)=0。

∵a≠0,∴x-1=0或x-1-a=0,即x1=1,x2=1+a。

∵1≠1+a,

∴一元二次方程a(x-1)(x-1-a)=0有两个不相等的实数根。

∴该函数的图像与x轴有两个公共点。

方法2:将该二次函数化为一般式,然后利用例1的方法进行证明。证明略。

【方法点拨】对于含参二次函数与x轴的交点问题,常见的解决方法有两种:①若二次函数的表达式是一般形式,即y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且a≠0),先令函数值y=0,转化为一元二次方程,再利用b2-4ac与0的关系进行证明;②若二次函数的表达式是交点式,即y=a(x-x1)·(x-x2)(a为常数,且a≠0),可直接令y=0,求出与x轴的交点进行证明。两种方法都可使用,大家可以根据题中所给函数表达式灵活选用。

二、含参二次函数中的图像过定点问题

例2 已知函数y=x2+(m-3)x+1-2m(m为常数),则该函数图像必经过定点。

【解析】y=x2+(m-3)x+1-2m

=(x-2)m+x2-3x+1。

∵该函数的图像必经过一个定点,∴x-2=0,解得x=2。

当x=2时,y=-1。

∴该函数图像必经过定点(2,-1)。

【方法点拨】含参二次函数中的图像过定点问题的解题步骤为:①将函数表达式化为一般形式;②将含参项合并同类项;③令参数的系数为零,求出横坐标的值;④将横坐标代入函数表达式求出纵坐标的值,进而解决问题。

三、含参二次函数中的比较大小问题

例3 已知二次函数y=(x-k)2+2(x-k)(k为常数),在该函数的图像上任取两点A(2k,y1)、B(2k+1,y2),试比较y1与y2的大小。

【解析】∵点A(2k,y1)、B(2k+1,y2)在y=(x-k)2+2(x-k)的函数图像上,

∴y1=k2+2k,y2=(k+1)2+2(k+1)=k2+4k+3。

∴y2-y1=k2+4k+3-(k2+2k)=2k+3。

当k<[-32]时,y2-y1<0,y2<y1;

当k=[-32]时,y2-y1=0,y2=y1;

当k>[-32]时,y2-y1>0,y2>y1。

变式 已知函数y1=ax2+3ax+1与y2=ax+5,a为常数,且a≠0。当a<[12],0<x<2时,比较y1与y2的大小,并说明理由。

【解析】令y=y1-y2=ax2+2ax-4,

该二次函数图像的对称轴为直线x=-1。

∴当0<x<2时,y随x的增大而增大,或y随x的增大而减小。

∵a<[12],

∴当x=2时,y=4a+4a-4=8a-4<0。

又∵当x=0时,y=-4<0,

∴当0<x<2时,y<0,即y1<y2。

【方法点拨】比较大小问题在函数中属于常见题型,有两种常用解法:①数形结合,直接利用函数图像的性质解题,此方法对数学语言的表达能力要求比较高,稍不注意就会出错;②利用作差法比较大小,只要对作差的结果与零进行比较,即可得出最后的结论,这种方法对数学语言的表达能力要求相对较低且正确率较高。

(作者单位:江苏省南京市宏运学校)

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