解决二次函数含参问题的通性通法

段侠

含参二次函數是二次函数知识中的难点，也是中考的高频考点，更是大家的易错点。我们将从以下三个方面来探究含参二次函数的通性通法。

一、含参二次函数与x轴的交点问题

例1 已知：二次函数y=x2-2mx-1（m为常数）。

求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。

【解析】当y=0时，x2-2mx-1=0，b2-4ac=（-2m）2-4×1×（-1）=4m2+4。

∵无论m取何值，m2≥0，

∴4m2+4＞0。

∴方程x2-2mx-1=0总有两个不相等的实数根。

∴不论m为何值，该一元二次函数的图像与x轴总有两个公共点。

变式 已知：二次函数y=a（x-1）·（x-1-a）（a为常数，且a≠0）。

求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点。

【解析】方法1：令y=0，即a（x-1）（x-1-a）=0。

∵a≠0，∴x-1=0或x-1-a=0，即x1=1，x2=1+a。

∵1≠1+a，

∴一元二次方程a（x-1）（x-1-a）=0有两个不相等的实数根。

∴该函数的图像与x轴有两个公共点。

方法2：将该二次函数化为一般式，然后利用例1的方法进行证明。证明略。

【方法点拨】对于含参二次函数与x轴的交点问题，常见的解决方法有两种：①若二次函数的表达式是一般形式，即y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），先令函数值y=0，转化为一元二次方程，再利用b2-4ac与0的关系进行证明；②若二次函数的表达式是交点式，即y=a（x-x1）·（x-x2）（a为常数，且a≠0），可直接令y=0，求出与x轴的交点进行证明。两种方法都可使用，大家可以根据题中所给函数表达式灵活选用。

二、含参二次函数中的图像过定点问题

例2 已知函数y=x2+（m-3）x+1-2m（m为常数），则该函数图像必经过定点。

【解析】y=x2+（m-3）x+1-2m

=（x-2）m+x2-3x+1。

∵该函数的图像必经过一个定点，∴x-2=0，解得x=2。

当x=2时，y=-1。

∴该函数图像必经过定点（2，-1）。

【方法点拨】含参二次函数中的图像过定点问题的解题步骤为：①将函数表达式化为一般形式；②将含参项合并同类项；③令参数的系数为零，求出横坐标的值；④将横坐标代入函数表达式求出纵坐标的值，进而解决问题。

三、含参二次函数中的比较大小问题

例3 已知二次函数y=（x-k）2+2（x-k）（k为常数），在该函数的图像上任取两点A（2k，y1）、B（2k+1，y2），试比较y1与y2的大小。

【解析】∵点A（2k，y1）、B（2k+1，y2）在y=（x-k）2+2（x-k）的函数图像上，

∴y1=k2+2k，y2=（k+1）2+2（k+1）=k2+4k+3。

∴y2-y1=k2+4k+3-（k2+2k）=2k+3。

当k＜[-32]时，y2-y1＜0，y2＜y1；

当k=[-32]时，y2-y1=0，y2=y1；

当k＞[-32]时，y2-y1＞0，y2＞y1。

变式 已知函数y1=ax2+3ax+1与y2=ax+5，a为常数，且a≠0。当a＜[12]，0＜x＜2时，比较y1与y2的大小，并说明理由。

【解析】令y=y1-y2=ax2+2ax-4，

该二次函数图像的对称轴为直线x=-1。

∴当0＜x＜2时，y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小。

∵a＜[12]，

∴当x=2时，y=4a+4a-4=8a-4＜0。

又∵当x=0时，y=-4＜0，

∴当0＜x＜2时，y＜0，即y1＜y2。

【方法点拨】比较大小问题在函数中属于常见题型，有两种常用解法：①数形结合，直接利用函数图像的性质解题，此方法对数学语言的表达能力要求比较高，稍不注意就会出错；②利用作差法比较大小，只要对作差的结果与零进行比较，即可得出最后的结论，这种方法对数学语言的表达能力要求相对较低且正确率较高。

（作者单位：江苏省南京市宏运学校）