学习二次函数应关注的三个方面

黄秀旺

二次函数是继一次函数、反比例函数之后的又一个函数，是描述现实世界数量关系的重要的数学模型。我们学习二次函数应关注三个方面：

一、体现基本的数学思想

1.类比思想

首先，类比之前函数的研究思路（图1）：在解决生活实际问题的过程中引入了二次函数概念，再探索二次函数的性质，落脚于用二次函数知识解决实际问题。

其次，我们在学习具体内容时，依然能感受到类比思想。比如，类比一次函数图像和反比例函数图像，探索二次函数图像的画法；类比一次函数与一次方程的关系，探索二次函数与二次方程的关系；类比研究一次函数时，分k＞0和k＜0两种情况（反比例函数亦是如此），对于二次函数y=ax2，也分a＞0和a＜0两种情况；等等。

再次，在研究不同二次函数时也体现了类比思想。比如，已讨论了二次函数y=ax2（a＞0）的图像与性质，那么，我们就可以类比此情况讨论二次函数y=ax2（a＜0）的图像与性质；再如，先讨论了函数y=（x+3）2的图像与函数y=x2的图像之间的关系，就可以通过类比讨论函数y=-（x+3）2的图像与函数y=-x2的图像之间的关系；等等。

2.归纳思想

从例子S=πr2、y=-x2+8x、y=240x2+180x+45中，我们归纳并抽象概括为二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，且a≠0）；观察函数y=x2、y=-x2、y=[12]x2、y=2x2、y=[-12]x2、y=-2x2的图像与性质，归纳出函数y=ax2（a＞0）和y=ax2（a＜0）的图像与性质；在研究函数y=（x+1）2+2、y=-（x+1）2+2的性质后，归纳出函数y=a（x+h）2+k的性质；等等。

3.数形结合思想

数形结合思想贯穿二次函数学习的始终。对于最简单的二次函数y=x2、y=-x2的研究，我们就是从画函数的图像开始的，然后通过图像了解它们的性质。在研究二次函数的最大值或最小值时，也是借助函数图像的最高点或最低点得到的；探索二次函数与二次方程的关系时，也是利用函数图像与x轴交点的个数来发现二次函数与二次方程的解（个数）之间的关系。

二、重视知识之间的联系

本章主要研究二次函数的概念、二次函数的图像和性质、二次函数与一元二次方程、用二次函数解决问题等内容。“用待定系数法确定二次函数表达式”与方程是密切相关的，而二次函数的图像与横轴的交点问题，可以转化为“二次函数的值为0，对应的一元二次方程的根的情况”。因此，函数与方程是密不可分的，我们到高中学习函数也是如此。当我们认识到这一点时，便可以主动地将函数与方程联系起来，这样既强化知识之间的联系，也优化研究函数的方法。

三、加强应用，体现模型思想

之前我们在学习一次函数时，体会到有些实际问题中变量之间的关系可以用一次函数模型来刻画，就可以利用一次函数的图像和性质来研究，从而解决了实际问题。同样，如果有些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，就可以利用二次函数的图像和性质来研究，这一过程体现了模型思想。比如，教材中出现的“稻田收益最大”“鱼塘总产量最大”“小兔活动范围最大”等有关问题，可以归结为求二次函数的最值问题；又如，“拱桥的水面宽”“抛物线形护栏的不锈钢管的长度”等有关问题，也可以建立直角坐标系，利用二次函数解决。总之，我们在学习数学知识时，应加强与实际生活的联系，学以致用，体会模型思想的应用。

（作者单位：江苏省南京市江宁区教学研究室）