一类行列式的计算方法
2024-01-30黄成兴王志敏
黄成兴 王志敏
摘 要：线性代数作为高等学校理工类、经管类等各专业的一门公共基础必修课，是一门非常重要的大学数学课程，在培养高素质人才中越来越显示出其独特的、不可替代的重要作用。行列式是线性代数中非常重要的内容，它是线性代数中的最基本问题，广泛应用于许多实际问题的解决，行列式的计算为解决问题提供了工具。而抽象行列式的计算却较为困难，如何利用行列式的定理和性质巧妙地计算行列式显得尤为重要，文章将针对一类抽象行列式进行分析，结合行列式的定理和性质给出相应的计算方法，为广大师生学习此类行列式的计算提供方法指导，从而提高解题效率。
关键词：行列式；计算方法；线性代数
行列式的计算是线性代数中非常重要的内容，利用行列式的定义、性质和展开定理可以对行列式进行化简，从而求出它的值。含有伴隨矩阵和逆矩阵这一类行列式比较抽象，形如xA+yA-1，需要用行列式相关定理和性质进行转换后再求解行列式的值，文章提出两种解题策略，第一种将xA+yA-1转化为zA-1，在利用伴随矩阵性质求解；第二种将xA+yA-1转化为zA，在利用可逆矩阵的性质求解。
一、A与A-1互化的相关定理
（一）定理1
设矩阵A为n阶方阵，A是A的伴随矩阵，则有AA=AA=AE。
证明：只证明AA=AE，AA=AE类似。
AA=a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…annA11A21…An1
A12A22…An2
…………
A1nA2n…Ann
=∑nk=1a1kA1k∑nk=1a1kA2k…∑nk=1a1kAnk
∑nk=1a2kA1k∑nk=1a2kA2k…∑nk=1a2kAnk
…………
∑nk=1ankA1k∑nk=1ankA2k…∑nk=1ankAnk
=A0…0
0A…0
…………
00…A
=AE
（二）定理2
矩阵A可逆的充要条件是A≠0，且当A可逆时，有A-1=1AA，即A=AA-1［1］。
证明：充分性
∵A≠0 ∴AA=AA=AE
∴A（1AA）=（1AA）A=E
∴A可逆，∴A-1=1AA
∴A=AA-1
必要性
设矩阵A可逆，则存在矩阵B，使得AB=BA=E。
两端取行列式，即AB=E，∴AB=1 ∴A≠0
二、行列式的相关性质
（一）性质1
若A可逆，实数λ≠0，则λA可逆，且（λA）-1=1λA-1。
证明：∵AA-1=A-1A=E， ∴λA·1λA-1=1λA-1·λA=E
∴（λA）-1=1λA-1
（二）性质2
设矩阵A为n阶方阵，λ为实数，则λA=λnA［2］。
证明：
λA=λa11λa12…λa1n
λa21λa22…λa2n
…………
λan1λan2…λann=λa11a12…a1n
λa21λa22…λa2n
…………
λan1λan2…λann
=λ2a11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
λan1λan2…λann=…
=λna11a12…a1n
a21a22…a2n
…………
an1an2…ann=λnA
（三）性质3
若矩阵A可逆，则A-1=1A。
证明：∵矩阵A可逆，∴A≠0
∴AA-1=E，∴AA-1=AA-1=E=1
∴A-1=1A
（四）性质4
设矩阵A为n阶方阵，A是A的伴随矩阵，则A=An-1。
证明：∵AA=AA=AE，两端取行列式，
∴AA=AE，
∴AA=An
，∴A=An-1
（五）性质5
设矩阵A为n阶方阵，A为A的伴随矩阵，则（kA）=kn-1A。
证明：∵AA=AA=AE
∴（kA）·（kA）=kAE=knAE
∴（kA）=kAE=knAE·（kA）-1
=knAE·k-1·A-1=kn-1AE·A-1
=kn-1AA-1·E=kn-1A·E=kn-1A
三、例题解析
（一）例1
设A为3阶矩阵，且A=12，求（3A）-1-2A的值［3］。
方法一：运用定理2将A转化为A-1，即将xA+yA-1转化为zA-1，在利用行列式性质λA=λnA和A-1=1A进行求解。
解析：第一步：利用定理2将伴随矩阵A转化为逆矩阵A-1。
∵2A=2AA-1，A=12，∴2A=2AA-1=A-1
第二步：利用性质1：（λA）-1=1λA-1化简。
∴（3A）-1=13A-1，∴（3A）-1-2A=13A-1-A-1=-23A-1
第三步：利用性质2：λA=λnA化简。
∴（3A）-1-2A=-23A-1=（-23）3A-1
=-827A-1
第四步：利用性質3：A-1=1A化简即可。
∴（3A）-1-2A=-23A-1=（-23）3A-1
=-827A-1=-827·1A=-827×2
=-1627
方法二：运用定理2将A-1转化为A，即将xA+yA-1转化为zA，在利用行列式性质λA=λnA和A=An-1进行求解。
解析：
第一步：利用定理2将逆矩阵A-1转化为伴随矩阵A。
∴（3A）-1=13A-1=13·1AA=23A
∴（3A）-1-2A=23A-2A=-43A
第二步：利用性质2：λA=λnA化简。
∴（3A）-1-2A=-43A=（-43）3A
=-6427A
第三步：利用性质4：A=An-1化简求解即可。
∴（3A）-1-2A=-43A=（-43）3A
=-6427A=-6427A2
=-6427×（12）2=-1627
（二）例2
设A为3阶矩阵，且A=3，求2A+（13A）-1的值。
方法一：运用定理2将A转化为A-1，即将xA+yA-1转化为zA-1，在利用行列式性质λA=λnA和A-1=1A进行求解。
解析：第一步：利用定理2将伴随矩阵A转化为逆矩阵A-1。
∵2A=2AA-1，A=3，∴2A=2AA-1=6A-1
第二步：利用性质1：（λA）-1=1λA-1化简。
∴（13A）-1=3A-1，∴2A+（13A）-1=6A-1+3A-1=9A-1
第三步：利用性质2：λA=λnA化简。
∴2A+（13A）-1=9A-1=（9）3A-1=729A-1
第四步：利用性质3：A-1=1A化简即可。
∴2A+（13A）-1=9A-1=（9）3A-1
=729A-1
=7291A=729×13=243
方法二：运用定理2将A-1转化为A，即将xA+yA-1转化为zA，在利用行列式性质λA=λnA和A=An-1进行求解。
解析：
第一步：利用定理2将逆矩阵A-1转化为伴随矩阵A。
∴（13A）-1=3A-1=31AA=A
∴2A+（13A）-1=2A+A=3A
第二步：利用性质2：λA=λnA化简。
∴2A+（13A）-1=3A=（3）3A=27A
第三步：利用性质4：A=An-1化简求解即可。
∴2A+（13A）-1=3A=（3）3A
=27A
=27A2=27×32=243
四、变式训练
若矩阵A为4阶方阵，A=2，求（12A）-1-52A。
方法一：运用定理2将A转化为A-1，即将xA+yA-1转化为zA-1，在利用行列式性质λA=λnA和A-1=1A进行求解。
解析：
第一步：利用定理2将伴随矩阵A转化为逆矩阵A-1。
∵52A=52AA-1，A=2，
∴52A=52AA-1=5A-1
第二步：利用性质1：（λA）-1=1λA-1化简。
∴（12A）-1=2A-1
∴（12A）-1-52A=2A-1-5A-1=-3A-1
第三步：利用性质2：λA=λnA化简。
∴（12A）-1-52A=-3A-1=（-3）4A-1=81A-1
第四步：利用性质3：A-1=1A化简即可。
∴（12A）-1-52A=-3A-1=（-3）4A-1
=81A-1=81×1A=812
方法二：运用定理2将A-1转化为A，即将xA+yA-1转化为zA，在利用行列式性质λA=λnA和A=An-1进行求解。
解析：
第一步：利用定理2将逆矩阵A-1转化为伴随矩阵A。
∴（12A）-1=2A-1=21AA=A
∴（12A）-1-52A=A-52A=-32A
第二步：利用性质2：λA=λnA化简。
∴（12A）-1-52A=-32A=（-32）4A
=8116A
第三步：利用性质4：A=An-1化简求解即可。
∴（12A）-1-52A=-32A=（-32）4A
=8116A=8116A3=812
行列式的计算是线性代数中遇到的最基本问题，含有伴随矩阵和逆矩阵这一类抽象行列式的计算较为复杂，文章结合行列式的定理和性质，给出了这一类行列式的两种计算方法，为学生解决此类问题献力献策。
参考文献：
［1］同济大学数学系.线性代数［M］.北京：人民邮电出版社，2016.
［2］濮燕敏，殷俊锋.线性代数习题全解与学习指导［M］.北京：人民邮电出版社，2018.
［3］马锐，罗兆富.线性代数［M］.北京：机械工业出版社，2021.
基金项目：2023年度云南省教育厅科学研究基金教师类项目“‘线性代数’课程思政策略实践研究”（2023J1261）；滇西科技师范学院2022年度校级科研项目“新时代边境地区国门高校师范生教学技能培养策略研究——以滇西科技师范学院为例”（DXXY202208）；滇西科技师范学院2022年度校级科研项目“滇西科技师范学院少数民族大学生思想教育方法及策略研究”（DXXY202207）
作者簡介：黄成兴（1988— ），男，彝族，云南云县人，硕士研究生，滇西科技师范学院数理学院讲师，主要从事数学教育、课程与教学论研究。
*通讯作者：王志敏（1983— ），女，彝族，云南云县人，硕士研究生，滇西科技师范学院生物技术与工程学院讲师，主要从事化学教育、食品加工研究。
