涉及无零点的亚纯函数的正规定则

陈鹏斌,杨 祺

(新疆师范大学 数学科学学院,新疆 乌鲁木齐 830017)

1 主要结果

文献[2]证明了定理1.

定理1[2]设为区域内一亚纯函数族,k是一正整数,h(z)是区域内不恒为0的全纯函数.若对于任意f(z)∈,如果f(z)≠0且f(k)(z)≠h(z).则在区域内正规.

文献[3]考虑零点的个数,证明了定理2.

定理2[3]设为区域内一族非零亚纯函数,k为正整数,若对于任意f(z)∈,f(k)(z)-1至多有k个不同零点,则在区域中正规.

文献[4]将定理3中的例外函数由1推广到全纯函数h(z),得到定理3.

定理3[4]设为区域内一族非零亚纯函数,k是一正整数,h(z)(≢0)是区域的全纯函数,若对于任意f(z)∈F,f(k)(z)-h(z)至多有k个不同零点,则在区域内正规.

文献[5]将h(z)是区域内不恒为0的全纯函数替换为h(z)是区域内不恒为0的亚纯函数,证明定理4.

定理4[5]设为区域内一族非零亚纯函数且所有的极点是二重,k是正整数.h(z)(≢0,∞)是区域内亚纯函数且所有极点是简单极点.若对于∀f∈,f(k)(z)-h(z)至多有k个不同零点(不计重数).则在区域上正规.

随后许多学者对涉及零点相关的正规定则进行深入研究,并取得许多有意义的结果[6-7].本文研究这一问题,是否可以将定理4中f(k)(z)推广到关于f的微分多项式,得到定理5.

定理5设为区域内一族非零亚纯函数且所有的极点是二重,k是正整数.h(z)(≢0,∞)是区域内亚纯函数且所有极点是简单极点.若对于∀f∈,L(f)-h(z)至多有k个不同零点(不计重数).则在区域上正规.

例1设k是正整数.则对于任意的fn∈,在区域内有k个零点(不计重数),但是在区域内不正规,说明定理1中所有函数的极点是二重这一条件不能省略.

例2设k是正整数,则对于任意的fn∈,在区域内有k个零点(不计重数),但是在区域内不正规,说明定理1中h的极点是简单极点不能省略.

例3设k是正整数,则对于任意的fn∈,在区域内有k+1个零点(不计重数),但是在区域内不正规,说明定理1中条件(L(f))(z)-h(z)至多有k个零点是最好的.

2 相关引理

引理1[8]设为区域内一族非零亚纯函数族,α∈R且满足-1<α<∞,若在z0∈不正规,则存在:

(i)点列zn,zn→z0;

(ii)函数列fn∈;

(iii)正数列ρn→0+.

引理2[9]设f是有穷级超越亚纯函数,k是正整数.a(z)(≢0)是多项式.若f的零点重级均大于等于k+1,则f(k)(z)-a(z)有无穷多个零点.

引理3[3]设f是非常数有理函数,k是正整数.若对于任意f(z)≠0,则f(k)(z)-1至少有k+1个不同零点(不计重数).

引理4[10]设f是超越亚纯函数,R(z)(≢0)是有理函数,k是正整数.假设至多除去有限个之后,f的所有极点是二重且所有零点重级均大于等于k+1,则f(k)(z)-R(z)有无穷多个零点(不计重数).

引理6设={fn}是区域内的一族亚纯函数,k是正整数.{φn}是区域内的一列全纯函数且φn(z)→φ(z)(≠0).若对于∀fn∈,满足fn(z)≠0,且L(fn(z))-φn(z)至多有k个不同零点(不计重数),则在区域上正规.

证明假设在z0∈不正规,不失一般性,假设φ(z0)=1.由引理1可知,存在点列zn→z0,函数列fn(z)∈,正数列ρn→0+使得在复平面上按球距内闭一致收敛于非常数亚纯函数g(ξ),并且g(ξ)≠0.

因此,g(k)(ξ)-1至多有k个不同零点.

事实上,假设g(k)(ξ)-1有k+1个不同零点ξj(1≤j≤k+1),显然,g(k)(ξ)≢1.由于

L(fn(zn+ρnξ))-φn(zn+ρnξ)=

→g(k)(ξ)-1.

由Hurwitz引理可知,当n充分大以后,存在ξnj→ξj(j=1,2,…,k+1)使得L(fn(zn+ρnξnj))=φn(zn+ρnξnj).又由引理6条件可知,L(fn(z))-φn(z)至多有k个不同零点,并且zn+ρnξnj→z0,从而与假设矛盾.

因此由引理2可知,g(ξ)为有理函数,从而又与引理3矛盾.因此在z0处正规,故在区域上正规.

3 定理的证明

证明由正规局部性及引理6可知,只需证明在h(z)的所有极点处正规即可.不失一般性,不妨设=Δ,并且

其中b(0)=1,且在0<|z|<1内b(z)≠0,∞.以下只需证明在z=0处正规.

下面分2种情况讨论.

由于fn(z)≠0,所以Fn(z)≠0.下面证明{Fn(ξ)}在Δ内正规.

又因为

则

L(fn(zn(1+ξ))-h(zn(1+ξ))

即

zn(L(fn))(zn(1+ξ))-znh(zn(1+ξ))

所以存在{Fn(ξ)}的子列{Fnj(ξ)}和亚纯函数F(ξ),满足

若F(0)≠∞,则

从而g(k-1)(ξ)为常数,因此g是一个多项式,故与g(ξ)是一个非零亚纯函数矛盾.

若F(0)=∞,则

所以与g(ξ)是非常数亚纯函数矛盾.

因此

L(fn(zn+ρnξ))-h(zn+ρnξ)

ρnL(fn(zn+ρnξ))-h(zn+ρnξ)

即

L(fn(zn+ρnξ))-h(zn+ρnξ)

但是从引理4与引理5可以得知,不存在具有上述性质的非常数亚纯函数,从而证明F在区域内正规.