带襟翼导轨翼肋后缘尺寸-拓扑综合优化的摄动神经网络代理模型法

谢 川, 徐 超, 周丹发, 姚卫星,3

(1. 南京航空航天大学 航空航天结构力学及控制全国重点实验室, 南京 210016;2. 上海机电工程研究所, 上海 201109;3. 南京航空航天大学 飞行器先进设计技术国防重点学科实验室, 南京 210016)

0 引 言

飞机是应用最为广泛的飞行器,其结构设计一直是学者们研究的重点内容,翼肋作为机翼的重要结构件之一,它的设计优劣直接影响着飞机的性能,因此,翼肋结构的设计方法备受关注．

结构优化问题通常根据设计变量的性质被划分为尺寸优化(size optimization)、形状优化(shape optimization)、拓扑优化(topology optimization)三个层次．依据问题的复杂程度,通常认为拓扑优化比尺寸和形状优化更具难度,但一般来说,更高层次的优化较之低层次的优化效果更为明显[1]．目前的尺寸优化方法已经比较成熟,形状优化和拓扑优化方法也有了很大进展,并已被广范应用于各种结构的优化设计．谢浩然等[2]基于变密度法和独立连续映射法对机翼进行了静力和动力学拓扑优化设计．Kutyowski等[3]将变分法应用于拓扑优化,并对股骨结构进行了优化设计,得到了与实际骨组织相似的密度分布．Briot等[4]将拓扑优化应用于机器人的设计中,对某机器人的五杆机构进行了优化设计．Gao等[5]研究了屈曲约束下连续体结构的拓扑优化,并通过算例验证了拓扑优化在受屈曲约束的连续体结构设计中的有效性．张东东等[6]对阻尼材料布局进行了研究,提出了基于变体积约束的微结构拓扑优化方法．López等[7]提出了一种基于多级方法和自动灵敏度分析的等几何结构形状优化方法,并将其应用于二维和实体壳结构的形状优化问题．Ghommem等[8]研究了飞机襟翼的形状优化问题,为飞行系统的形状设计提供了指导．刘宏亮等[9]研究了等几何分析方法在结构优化中的应用,相比于传统基于有限元的结构优化方法,该方法一定程度上提高了结构优化的精度和效率．荣见华等[10]在导出应力灵敏度的基础上,建立了一种改进的,基于应力及其灵敏度的结构拓扑双方向渐进优化算法,该方法能较大程度减少解的振荡状态,获得了更佳的拓扑结构．Bennaceur等[11]采用约束自然单元法对具有多种开口形状的翼肋进行优化,并对结果进行分析,验证了该方法在航空工程问题中的适用性．

在尺寸-拓扑综合优化问题中,同时包含了尺寸和拓扑变量,拓扑优化依赖于初始尺寸,而尺寸优化的结果又受到结构拓扑构型的影响,它们之间的耦合效应使得传统优化技术无能为力或效率低下．因此,解决该类问题的关键在于开发一种更适合的优化策略．优化策略是指当一个复杂优化问题难以找到现成的优化方法时,设计人员需要根据问题的具体形式,将其转化为更简单的问题,并确保与原始问题近似等价或至少符合原始问题设计要求的方法．目前难以依靠通用有限元软件自身实现策略自动化,因此,优化的策略和流程需要设计人员自行搭建．当前,针对不同层级变量之间组合优化的问题,主要存在两种优化策略：其一是混合优化策略[12-14],即将所有不同类型的变量转化为同一类型的变量进行优化,虽然结果较好,但是由于其难以适用于更复杂的结构,因而限制了它的应用范围．另一种是分级优化策略[15-17],即利用有效的解耦方法,把原始问题分解为若干个更简单的子问题,因其流程简单、易于实现、求解思路清晰等优点,在组合优化中得到了广泛的应用．然而,由于分级优化流程多为串行式,级与级之间的反复迭代往往耗时较长,而且由于搜索空间有限,最后得到的结果往往可能是局部最优解．

带襟翼导轨的翼肋后缘设计需确定缘条、腹板的尺寸和腹板的挖孔形状,缘条和腹板的尺寸不同,则腹板的拓扑形状不同．腹板的拓扑形状不同,则缘条和腹板的最优尺寸也不同．为寻找尺寸与拓扑形状的最佳组合,本文提出了一种完全不同于混合策略和分级策略的摄动神经网络代理模型优化方法,并应用于某无人机带襟翼导轨翼肋后缘,以验证所提方法的有效性．

1 带襟翼导轨的翼肋后缘尺寸-拓扑综合优化的数学描述

1．1 优化对象

图1为某无人机带襟翼导轨翼肋后缘结构．结构全部由硬铝合金构成,材料弹性模量为70 GPa,左侧固定于翼梁,中缘条和下缘条之间为导轨,襟翼可通过滑轮在其中前后滑动,并停靠A,B,C三点,停靠时滑轮对翼肋施加载荷P1=18 750 N,P2=23 750 N,详细信息见图2．

(a) 翼肋结构示意图 (b) 带襟翼导轨的翼肋后缘结构(a) Diagram of the wing rib structure(b) The trailing edge structure of the wing rib with a flap track图1 带襟翼导轨的翼肋后缘结构初始模型

设计变量包括上缘条厚度t1、中缘条厚度t2、下缘条厚t3、下腹板厚度t4以及上腹板厚度t5,拓扑域为上腹板(图2(b)中蓝色区域)．其中上腹板在翼肋尖端区域为固定厚度5 mm(图2(b)中黄色区域)．各缘条为固定宽度50 mm,在结构应力和形变约束下,以结构重量最轻为设计目标．其中,针对腹板的二维连续体拓扑优化的目的是寻找最佳开孔位置及数量．

(a) 尺寸设计变量定义 (b) 拓扑设计区域定义 (a) Design sizes (b) Topology design areas图2 翼肋后缘结构基本尺寸与变量定义

1．2 优化问题的数学模型

本文使用基于幂函数的各向同性材料惩罚(solid isotropic material with penalization, SIMP)模型进行拓扑优化,拓扑变量在理想状况下取{0,1}离散集,松弛离散集为连续集[0,1],可以建立起相对密度公式：

ρj=ρ0xj,xj∈[0,1],

(1)

其中ρ0是原始材料密度;ρj是相对密度,也称伪密度;xj是松弛后的拓扑设计变量,也称为单元的相对密度．

利用幂函数的凹函数性质,将处于中间密度的单元弹性模量设置为较小的弹性模量,使得其对结构整体刚度矩阵的影响变小,从而对整体设计域的力学性能影响忽略不计,于是可以建立材料弹性模量与单元相对密度的插值模型：

(2)

其中Ej为经过插值模型计算后的单元弹性模量,E0为材料的原始弹性模量,p为惩罚因子,一般取值2～5,值越大,惩罚力度越大,但计算也更加不稳定．

将结构尺寸设计变量向量记为t,拓扑设计变量向量记为x,则带襟翼导轨的翼肋后缘尺寸-拓扑综合优化整体数学模型可写为

(3)

2 PNN代理模型法

2．1 PNN法

人工神经网络(artificial neural network, ANN)是一种模仿生物神经网络结构和功能的数学模型,随着数据集的增加和训练时间的增长,它的准确性会越来越高[18]．ANN由节点层组成,包含一个输入层、若干个隐藏层和一个输出层,每个节点就是一个人工神经元,它们各自连接着好几个节点,具有相关的权重和阈值．如果单个节点的输出高于指定的阈值,那么该节点将被激活,并将数据发送到网络的下一层,反之则不会,其基本组成如图3(a)所示,其中,隐藏层类似于一个黑盒,设计人员并不需要明白里面发生了什么．在代理模型中,也有一种径向基神经网络(radial basis function neural network, RBFNN)法,其组成与ANN相同,但层与层之间不存在反馈,输入层不存在任何权值或阈值,隐藏层通过基函数计算输入点与中心点之间的欧氏距离,通过一个非线性函数对输入进行变换,产生输入层到隐含层的映射关系,即可得到隐含层的输出,输出层对隐含层单元的输出进行线性加权求和,权值为神经网络的可调参数．受此启发,本文提出了一种类似的结构,可用于尺寸-拓扑综合优化问题的PNN法．

PNN的输入层为来自试验设计的样本点,对DOE样本点进行微小扰动后,将所有样本点数据传入下一层网络进行拓扑优化,得到DOE样本点及摄动样本点拓扑后的结构响应(重量、最大位移及应力),经过一次过滤操作,以尺寸变量为输入,以拓扑优化后的结构响应作为输出,构造代理模型．很明显,PNN与混合策略和分级策略均不相同,它所建立的代理模型跳过了尺寸优化,并将拓扑优化当作黑盒,直接建立起了尺寸变量与拓扑优化后的响应之间的关系,这相当于解除了尺寸变量与拓扑变量之间的耦合,之后直接通过代理模型进行尺寸优化时的分析结果就是拓扑优化后的响应信息．PNN的组成如图3(b)所示,图中输入层中黄色点表示DOE样本点,隐藏层中是拓扑优化过程,红点表示拓扑突变点,输出层是代理模型数据和拓扑数据库(topology database)．输入层与隐藏层之间是摄动操作,在PNN中拓扑优化过程形成了黑盒．隐藏层与拓扑层之间传输的是响应和拓扑信息,其中响应信息经过过滤传递给代理模型,而所有拓扑信息均传递到拓扑数据库中保存,其作用是代理模型优化后的拓扑选型．值得说明的是,PNN并非代理模型的具体构造方法,而是获取代理模型输入输出以及指导代理模型选择的方法．接下来,将分别讲解PNN流程中的重点．

(a) ANN组成(b) PNN示意图(a) ANN structure diagram (b) Schematic diagram of PNN图3 ANN与PNN构成对比

2.1.1 摄动操作

对DOE后的样本点进行摄动的原因是拓扑优化具有很强的敏感性,尺寸变量的微小扰动可能会引起拓扑结构的突变,其输出量,即响应,会放大这种突变效应．PNN的摄动方式主要有两种：一种是相对摄动,另一种是绝对摄动．相对摄动是推荐的方式,对DOE样本点中的设计变量值分别扰动一个固定的百分比;然而,对数值特别小的设计变量进行相对摄动,其摄动值过小,不利于寻找拓扑突变点．于是综合起来的扰动量公式为

Δ=min(v·xi,ε),

(4)

式中,v为相对扰动量,ε为绝对扰动量,本文取v=0.05,ε=0.1．

对于优化变量过多的问题,摄动全部变量会急剧增大问题的维度,需要先尽可能均布地挑选较少的一部分DOE点,计算拓扑优化后重量对尺寸变量的灵敏度,选择平均灵敏度最高的几个变量进行摄动．

2.1.2 过滤操作

过滤的目的是降低数值噪声以及捕捉拓扑突变点．一组样本点(一个DOE样本点以及它的摄动样本点)经过尺寸及拓扑优化后,会出现两种情况： ① 大部分都收敛于一个拓扑构型,但可能会有微小差距,如果用全部数据构建代理模型,所带来的数值噪声可能反而会降低代理模型的精度; ② 可能会出现拓扑突变点．拓扑突变点对尺寸-拓扑综合优化问题代理模型的影响是非常大的,捕捉到拓扑突变点会极大地提高代理模型的精度．过滤公式如下：

(5)

2.1.3 代理模型选择指标

过滤操作还有一个额外作用——建立代理模型选择指标,其公式如下：

(6)

式中,n为所有样本点个数,m为每组样本点个数,其他符号与式(5)相同．选择的指标ζ就是计算每组样本点拓扑优化后的响应与组平均响应的均方根误差之和,是对离群值的度量．

常用的代理模型主要有多项式响应面(polynomial response surface, PRS)模型、Kriging模型以及径向基函数(radial basis function, RBF)模型等[19-20]．穆雪峰等[21]在文献中总结了常用代理模型的预测精度和优缺点,见表1．根据这项研究以及多次分析试验,结合计算效率和精度,本文推荐ζ较小时选择Kriging模型;ζ较大时选择RBF模型;而当样本组过多,ζ特别小时,可以考虑选择PRS模型．

表1 代理模型预测精度及特点[21]

2．2 优化流程及实施方案

PNN代理模型法在尺寸-拓扑综合优化问题中的优化流程如图4所示．

图4 优化流程

本文利用ISIGHT多学科优化平台搭建优化流程,基本步骤如下：

Step 1 首先利用DOE模块生成样本点,根据平均敏度分析筛选重要变量进行摄动;

Step 2 利用PATRAN参数化建模方法生成DOE样本点与摄动样本点的有限元分析模型,提交NASTRAN进行拓扑优化,得到各样本点的拓扑优化后结构响应;

Step 3 用JYTHON语言搭建过滤脚本并建立代理模型选择指标,根据该指标建立过滤后样本点尺寸设计变量与拓扑优化结构响应之间的代理模型;

Step 4 代理模型精度检验,若通过,则进行下一步,否则返回Step 1增加DOE样本点;

Step 5 然后利用ISIGHT中内置的改进可行方向(MMDF)算法对代理模型进行优化;

Step 6 最后利用代理模型优化结果在拓扑信息数据库中进行拓扑选型,若尺寸变量和重量与数据库中拓扑信息差距过大,则重新进行一次拓扑优化得到拓扑构型．

其中,代理模型的精度检验使用决定系数(coefficient of determination, 记作R2)和均方根误差(root mean square error, 记作RRMSE)作为检验标准．其中R2用来度量代理模型的整体拟合度,越接近1表示整体预测精度越高,其表达式为

(7)

RRMSE用来度量预测值与实际值的偏差,越接近0表示偏差越小,而RRMSE对异常值很敏感,所以很适合用来度量对拓扑突变点的预测能力,其表达式为

(8)

3 带襟翼导轨的翼肋后缘优化

3．1 设计变量及约束

翼肋结构初始构型如图2所示,该结构共有五个尺寸设计变量,各变量名称及取值范围如表2所示．

表2 变量说明及取值范围

拓扑设计区域为翼肋上腹板,结构约束有应力约束σ≤300 MPa,结构最大位移约束δ≤15 mm,设计目标为结构质量w最小．

3．2 传统优化设计方法及结果

按照工程上的翼肋结构设计方法,首先对初始结构进行尺寸优化,根据尺寸优化后的结果,当襟翼滑轮停靠A,B和C点时,结构应力分布如图5所示．综合三个工况翼肋应力分布(图6(a),图例同图5),将三个工况中应力均小于100 MPa的区域挖掉,形成翼肋腹板孔(图6(b)),然后对腹板孔进行形状优化,得到最终翼肋后缘形状(图6(c)),最后再对该最终形状进行一次尺寸优化得到最终结果．优化过程中的尺寸变量和响应值见表3．

图5 尺寸优化后模型应力分布 图6 翼肋形状设计过程

表3 传统优化中变量与响应各阶段结果

3．3 基于PNN代理模型的优化过程及结果

图7 拓扑重量关于尺寸变量的归一化灵敏度箱型图

选择变量t2,t4,t5作为摄动变量,然后将这20个样本点作为代理模型校验数据存储．用OLHS另外抽样50个点,分别摄动其t2,t4,t5这三个变量,最终得到DOE样本点50个,摄动样本点150个．然后在ISIGHT中构建PNN流程,即进行拓扑优化以及筛选,然后以筛选后样本点构建代理模型．由于最终代理模型选择指标较小,本文选择Kriging代理模型．选择3个初始点在代理模型上进行尺寸优化,其最优结果见表4．此时,通过拓扑数据库逆向选形可以获得翼肋腹板拓扑构型如图8所示．

最后,为了验证选择指标对代理模型的指导意义、摄动对拓扑突变点的捕捉能力以及过滤对数值噪声的减小能力．本文再次用PNN的过滤样本点数据建立了PRS模型和RBF模型,然后用OLHS重新抽样了200个点,不经过PNN流程,直接建立了一个Kriging模型,表5给出了精度对比结果．

表4 基于PNN的优化结果

图8 基于PNN的尺寸-拓扑综合优化结果

表5 代理模型精度对比

3．4 结果与讨论

常规翼肋设计方法通过挖掉腹板在最优尺寸下应力较低的区域,得到腹板的拓扑形状,没有考虑到不同尺寸变量对应不同的腹板最优拓扑构型和翼肋最优结构重量,无法获得翼肋尺寸与腹板拓扑形状的最佳组合．本文所提的PNN法通过直接构造尺寸变量与结构拓扑重量之间的代理模型,并辅以各种手段提高代理模型的精度．

对比表3与表4的优化结果可知,在满足约束的情况下,本文所提方法比传统优化设计的最优结构重量轻了8.42%．这是因为结构尺寸优化一般来说都是非线性非凸优化问题,而给定的初始尺寸往往收敛局部最优解．而在传统优化设计中,之后的挖孔和形状优化都是建立在这个局部最优解之上的优化结果,极大地缩小了整体优化的搜索空间．本文所提的基于PNN的优化方法,由于尺寸优化的分析结果均为拓扑优化的响应信息,计算效率极高,可以从多个初始点出发,尽可能搜索全局最优解,又因为摄动可以更敏锐地捕捉拓扑突变点,从而找到了翼肋尺寸与腹板拓扑构型的最佳组合．

而从表5的代理模型精度对比结果可以很明显地看到,经过PNN流程,根据代理模型选择指标建立的Kriging模型(第2列)相比于未根据代理选择指标所建立的PRS模型(第3列)与RBF模型(第4列),整体精度和离群点(拓扑突变点)预测精度都要更高,这证明了代理模型选择指标的指导效果的有效性．此外,对比没有经过PNN流程的Kriging模型(第5列),其R2大幅度下降,表明其整体拟合程度较差,这是因为Kriging模型很容易受到数值噪声的影响,其次,RRMSE增大了接近一倍,表明对离群点预测能力较差,这是因为没有捕捉到拓扑突变点．这两点证明了过滤对数值噪声的减小能力与摄动对拓扑突变点的捕捉能力．

4 结 束 语

尺寸-拓扑综合优化问题同时包含了尺寸和拓扑变量,拓扑优化依赖于初始尺寸,而尺寸优化的结果又受到结构拓扑构型的影响,它们之间的耦合效应使得传统优化技术往往陷于局部最优解．因此,针对该类型问题需要开发合适的优化策略．

本文提出了一种用于尺寸-拓扑综合优化问题的PNN代理模型法．该方法将拓扑优化作为黑盒,直接建立起尺寸变量与拓扑优化后结构响应的代理模型,相当于将尺寸变量与拓扑变量进行了解耦．通过加入变量摄动增强了代理模型对拓扑突变点的捕捉能力,又通过过滤手段降低了数值噪声对代理模型的影响,极大地提高了优化效率和代理模型的预测精度．此外,过滤手段还可以建立代理模型选择指标,从而可以通过该指标选择更为合适的代理模型．而拓扑信息数据库提供的代理模型优化后的逆向拓扑形式选择接口增加了后处理的便捷性．最后,利用该方法对无人机带襟翼导轨翼肋后缘进行了优化,并与传统优化方法进行了比较．结果表明,本文方法的优化后结构重量在后者优化后重量基础上再降低了8.42%,证明了本文方法的寻优空间得到了有效扩展．而代理模型精度的对比验证了PNN法选择指标对代理模型的指导意义、摄动对拓扑突变点的捕捉能力与过滤对数值噪声的减小能力．本文方法虽然只应用在了翼肋结构的尺寸-拓扑综合优化问题中,但对其他结构的同类型问题也具有一定的指导意义．