漫谈无理数的“那些事”

朱嘉颖

数学源于对真实问题的思考，离不开善于观察的慧眼。数从自然数走向小数，从正数走向负数，从有理数走向实数的漫长过程中，我们与无理数相遇了。

无理数的“真面目”

我们知道，无理数是无限不循环小数。我们还能在数轴上找到表示无理数的点。比如[2]，我们可以在数轴上方画一个Rt△ABC，点A在原点处，点B在数轴1的位置，AB=BC=1。在Rt△ABC中，AC2=2，AC=[2]。以原点为圆心，AC长为半径作圆弧，与数轴正半轴的交点即为所求的[2]（如图1）。

观察数轴，我们可以发现1<[2]<2，那么[2]到底是多少呢？我们可以通过不断尝试大于1且小于2的数，逐渐接近[2]的精确值。在数学中，不断缩小取值范围可以通过“二分法”实现。我们先取1与2的中间值1.5，因为1.52=2.25>2，所以1<[2]<1.5。接着试1与1.5的中间值1.25，因为1.252=1.5625<2，所以1.25<[2]<1.5。为了运算的简便，我们不妨尝试计算1.3，因为1.32=1.69<2，所以1.3<[2]<1.5。接下来我们尝试1.4，因为1.42=1.96<2，所以1.4<[2]<1.5。以此类推，[2]的取值范围不断精确，最后，我们可以推得[2]≈1.414。如果有兴趣的话，你可以继续用“二分法”来尝试确定[3]、[5]的大小。

无理数“PK记”

既然无法精确表示无理数的值，我们该如何比较无理数的大小？如[3]和[7]。

方法一，因為[3]<[4]，[7]>[4]，所以[3]<[7]。

方法二，因为（[3]）2=3和（[7]）2=7，3<7，所以[3]<[7]。

方法三，把[3]和[7]在数轴上表示出来，观察它们的左右位置。

取中间值法、平方法、数轴法，我们可以从“数与形”两个角度，比较两个无理数的大小。

无理数的“分割术”

我们如何拆分无理数的整数部分与小数部分？如求[3]的整数部分与小数部分。

方法一，用“数”：（[3]）2=3，而12=1，22=4，1<3<4，所以1<[3]<2。即[3]的整数部分是1，小数部分只要用整个数减去整数部分，即[3]-1。

方法二，用“形”：在数轴上把表示[3]的点画出来。我们知道[3]无法表示为一个两条直角边都是正整数的直角三角形的斜边，所以我们只能逆向思维，表示为一个一条直角边为1、斜边为2的直角三角形的另一条直角边。如图2，AB=1，用圆规在数轴上截取AC=2，则BC=[3]。观察可知，[3]的整数部分是1，则小数部分是[3]-1。

显然用“数”的方法，我们可以更快地将无理数进行“分割”。

那么，你能试着拆分一下[39]+4的整数部分与小数部分吗？

无理数的“应用界”

当然，无理数还有很多的妙用。在数学中，我们可以在方格纸中画一个三条边长都是无理数的三角形；在生活中，普遍应用于艺术设计、建筑设计等领域的黄金分割比[5-12]，也是个无理数……

我相信，只要我们拥有一双善于发现的眼睛，一定可以发现更多与无理数相关的“故事”。

小作者用数学的眼光发现问题、提出问题，从有好奇心走向数学思考，进而分析问题、解决问题。我们的数学学习始于好奇，精于思考，成于坚持。让我们像科学家一样思考，不断提高自己的数学思维能力。

（指导教师：张滕越）