用“数”开好头，为“式”铺平路

浦叙德

初中代数板块有“数、式、方程、不等式、函数”五个主题。因为数学知识之间有内在的逻辑，所以，我们最先学习的是数。小学数学中关于数的学习主要以正数和0为研究对象，到了初中引进“负数”的概念。正数、0、负数组成有理数，完成初中代数的第一次飞越；再到“字母表示数”，从特殊的数走向一般的式，便产生了代数式，完成了初中代数的第二次飞越。本章的主要内容是实数，可以清晰看出初中关于数的学习沿着“负数→有理数→无理数→实数”这一路径发展。

一、核心知识及其关联

本章共有4小节内容，分别介绍了平方根（算术平方根）、立方根、实数、近似数等知识，内容虽然简单，但知识背后的内涵还是非常丰富的。在七年级的有理数学习中，我们通过对边长为1的两个正方形的分割，形成对拼接成一个新正方形边长的探究，得到了其边长[2]是无限不循环小数，即无理数的结论。事实上，对2进行开方运算求平方根，求得的结果是±[2]，而[2]是2的算术平方根。回顾前面有理數的运算，有加、减、乘、除、乘方五种，其中加、减是互逆运算，乘、除是互逆运算，那么乘方必定也会存在一个互逆运算，这就是本章的开方运算。这样，加、减互逆，乘、除互逆，乘方、开方互逆，六种运算就完备了。于是，我们就可以得到图1的数系扩充和图2的运算完备两张关联结构图。

二、研究数的基本路径

任何一个数学对象的研究都有其基本路径，数的研究也不例外。在学习有理数时，我们首先明白了什么是有理数，认识了有理数的性质，对有理数进行了分类，再在此基础上研究有理数的运算。在学习本章时，也是如此。我们先学习实数的概念，明白了实数的性质，有正负之分，在此基础上，将实数按不同的标准进行分类。如实数可以按照正负性分成正实数、0、负实数，也可以分成有理数、无理数。有理数又可以分成正有理数、0、负有理数，无理数可以分成正无理数、负无理数。在分类的基础上，我们可以对实数进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，并且发现运算的结果还是一个实数。因为实数中有无理数，所以有时我们不需要精确的结果，于是在本章的最后我们还学习了近似数。

三、数式通性凸显本质

初中代数五大主题，数是第一个顶峰，可以说开了一个好头。但初中代数研究的重点在于式，方程、不等式、函数都可以看成是式的应用。数与式之间又构成了特殊与一般的关系，数为式的学习奠定了基础，指明了方向。

例如，由数的分类到式的分类。有理数可以分成整数和分数，有理式就分成整式（单项式、多项式）和分式（下学期学习）；实数分成有理数与无理数，代数式可以分为有理式与无理式（下学期学习）等。又如，由数的运算到式的运算。整式的加减，就是合并同类项，法则是“把系数相加减，字母和字母的指数不变”，本质是把整式的加减运算转化成数的加减运算；单项式乘以单项式的法则是“把系数相乘，相同字母的指数相加，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积中的一个因式”，本质是把单项式乘单项式运算转化成系数的乘法和指数的加法运算，等等。可见，数与式的本质是相同的，这就是常说的数式通性，数学上通常把研究未知的式的问题转化为研究已知的数的问题来解决。

通过以上分析，我们可以体会到，数学知识之间是有先后逻辑关系的，知识之间又是相互关联的，前面知识的学习为后面未知知识的学习奠定基础。因此，同学们在学习时千万不要因为前面知识简单而马虎，也不要只学习知识的表象，要多从联系、整体的视角来认识知识以及知识背后的数学本质。只有这样，我们才能学到数学的精华，并且找到学好数学的最佳路径。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区教师发展中心）