基于二元维纳过程列车定位惯性单元的寿命预测

管益民，汤舒雅

（中国铁路西安局集团有限公司，陕西 西安 710016）

0 引言

全球定位系统（GPS）能够实现列车快速准确地定位，但卫星信号容易受山体、高建筑等障碍物的遮挡，具有易受干扰、不稳定的特点，而基于惯性测量单元的惯性定位方式不受外界因素干扰，具有稳定性和高自主性[1]。GPS 定位和惯性定位相结合的列车定位方式，可以精准定位列车的动态位置，是列车定位技术中最关键的发展方向之一[2]。惯性测量单元作为GPS 定位和惯性定位组合定位系统的重要组成部分，准确预测服役寿命，对保证其工作性能、准确定位列车位置信息及保障列车安全运行具有重要意义。

惯性测量单元由惯性传感器和电子部件组成（惯性传感器包括陀螺仪和加速度计），惯性导航系统直接固定在运行载体上，通过测量载体的三维加速度和角速度实现导航定位，承受着列车运行时强烈的振动与冲击。随着列车服役时间不断增加，惯性测量单元各方面性能都会逐渐发生退化，当各性能退化量达到某一固定的阈值时，惯性测量单元若不能精准定位列车位置，意味着惯性测量单元故障，即使用寿命的终结。由于惯性单元随车运行，要承受来自车体各个方向强烈的振动与冲击，导致其运行工况恶劣，服役环境复杂，使得惯性测量单元的性能退化机理不明确，构建惯性测量单元的失效机理模型极其困难，而基于随机过程的寿命预测方法无需精通其性能退化机理，可利用惯性测量单元运行状态的监测数据构建退化模型，通过推导其寿命的概率密度函数进而实现寿命预测，在量化寿命预测结果的不确定性上具有天然优势[3]。维纳过程适用于刻画非单调退化问题，因此被广泛应用于长寿命、高可靠性设备的退化建模[4]，Wu等[5]基于维纳过程对复杂机电系统进行了寿命预测；刘广等[6]基于维纳过程构建动车组列车接触器的寿命预测模型，实现了其寿命预测；刘晓宇等[7]以轮径作为性能退化指标提出了一种地铁车辆轮对可靠性分析方法，但上述研究都是基于单性能指标的剩余寿命预测及可靠性分析模型。然而惯性测量单元的服役工况复杂，运行环境多变，仅用单性能指标无法全面准确地反映其整体的性能退化规律，因此研究考虑多性能指标相关的剩余寿命预测方法具有重要意义。金晓航等[8]基于Copula函数提出了一种2个性能指标相关退化的轴承剩余寿命预测方法；杨涛等[9]基于二元维纳过程提出了一种考虑2 个性能指标退化的水工闸门剩余寿命预测方法。

基于此，为了更加全面准确地描述列车定位惯性单元的退化过程，进而更准确地预测其寿命，基于二元维纳模型提出了2个性能指标相关退化的惯性单元寿命预测方法。利用维纳过程来描述惯性测量单元的性能退化过程，对2 个性能指标的退化过程进行建模分析，利用赤池信息量准则（Akaike Information Criterion,AIC）准则选择拟合效果最佳的Copula 函数刻画2 个性能退化指标之间的相关关系，采用马尔科夫链蒙特卡洛（MCMC）方法估计模型中的未知参数，进而实现惯性测量单元的剩余寿命预测。

1 基于二元维纳过程的退化建模

1.1 二元维纳模型的构建

假设惯性测量单元2个性能指标的退化过程都符合正态分布，且退化过程中监测时间一致。则列车定位惯性测量单元第k个性能指标在时刻ti的退化量X（k）（ti）可表示为

式（1）中：表示第k个性能指标的漂移系数；表示第k个性能指标的扩散系数；B（t）表示标准维纳过程。

1.2 基于Copula函数的相关性分析

惯性测量单元2个性能指标的退化过程并不是相互独立的，将其直接描述为线性关系又不符合工程实际。而Copula函数能够将边缘分布耦合到多元分布函数，用来刻画多个性能指标之间的相关性。根据Sklar定理[10]，当各性能退化指标的边缘分布函数已知时，则各性能退化指标联合分布函数为：

Sklar 定理：若F（x1,x2,…xn）为边缘分布函数F（x1），F（x2），…F（x3）的联合分布函数，Cα（F（x1），F（x2），…F（xn））为Copula 函数，α为Copula 函数的未知参数，则存在一个Copula函数满足：

因此采用Copula函数刻画惯性测量单元2个性能指标之间的相关性，则有：

常见的3 种Copula 函数见表1，其中α为Copula函数的未知参数，μ、ν为Copula函数的自变量。

表1 常见的3种Copula函数

AIC准则是一种能够评价所选模型拟合效果优劣的方法，因此，采用AIC准则选择拟合效果最佳的Copula函数，AIC的值EAIC越小，则拟合效果越好，表达式如下：

式（4）中：A为模型对应的极大似然函数；m为模型参数的个数。

2 参数估计

2.1 基于贝叶斯理论的参数估计

假设对惯性单元的退化过程共测量N次，用X（k）（ti）表示第k个性能退化量在ti时刻的测量值（k=1，2，i=1，2，…，N）。则惯性测量单元在tj时刻的退化增量可表示为ΔX（k）（tj）=X（k）（tj）-X（k）（tj-1），由维纳过程的性质，退化增量ΔX（k）（tj）服从正态分布，即ΔX（k）（tj）～N（μ（k）Δtj，σ2（k）Δtj，且Δtj=Δtj-Δtj-1。退化过程的似然函数可表示为：

假定模型联合先验分布为π（θ）=π（μ，σ），根据贝叶斯估计理论，模型中未知参数的联合后验分布可表示为：

2.2 马尔可夫链蒙特卡洛方法

马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法具有数据模拟、迭代以提升参数求解的效率，且在高维总体取样求解问题中应用已趋于成熟，受到广泛应用。MCMC 方法根据抽样方式不同分为不同的种类，Gibbs 抽样是MCMC 方法中最简单、应用最广泛的一种。MCMC-Gibbs抽样的具体步骤如下[11]：

第三步：将其重复q次，就能够得到如下样本：

采用OpenBUGS软件对模型中的未知参数进行估计，对其进行10 000次迭代获取模型后验分布及参数估计结果，进而对惯性测量单元寿命分布和可靠度函数进行求解。

3 寿命预测模型

当惯性测量单元性能退化指标的退化量第一次超过规定的失效阈值时，则认为惯性测量单元失效。令X（t）=｛X（1）（t），X（2）（t）｝表示在t时刻惯性测量单元的2个性能退化量，失效阈值分别记为D={D（1）,D（1）} ，由于采用2个性能退化指标对惯性测量单元进行寿命预测，当任意一个性能退化量达到其失效阈值时惯性测量单元失效，即{X（k）（t）>D（k）,（k=1,2）}时认为惯性单元失效。因此，惯性测量单元的寿命T可以定义为：

由于惯性测量单元的性能逐渐退化时，2 个性能指标的退化过程都服从维纳过程，因此，惯性测量单元的寿命T服从逆高斯分布。当估计出模型参数η（k）,σ（k）后，得到其寿命的边缘概率密度函数和可靠度函数为：

然后利用所选择的拟合效果最佳的Copula 函数表达2 个性能退化指标之间的相关关系，可以得到惯性测量单元寿命的联合概率密度函数及可靠度函数为[12]：

式中，F（1）（t）,F（2）（t）是2 个性能退化指标的累积分布函数；c(F（1）（t）,F（2）（t）)是C(F（1）（t）,F（2）（t）)的概率密度函数。

4 实例分析

选取加速度计的速率随机游走系数和陀螺仪的角度随机游走系数作为惯性测量单元的2个性能退化指标，失效阈值分别定为0.16（m·s-1）·h-1/2、0.75（°）·h-1/2，退化数据采用文献中惯性测量单元性能指标监测数据[13]，每7 d 作为1 个采样周期，总共监测85周，得到85组性能退化数据，退化数据如图1所示。其中k=1 表示加速度计的速率随机游走系数退化模型参数，k=2 表示陀螺仪的角度随机游走系数退化模型参数。

图1 两个性能指标的退化数据

利用MCMC方法估计模型参数，在OpenBugs软件中进行MCMC-Gibbs 抽样迭代，取后10 000 次迭代数据用于参数估计，图2 为惯性测量单元的2 个性能指标相关退化模型的参数的迭代过程，根据图2 的迭代轨迹图可认为参数处于收敛状态，得到模型中未知参数μ（1），μ（2），σ（1），σ（2）的估计值，将参数的估计值及惯性测量单元2个性能指标退化数据的边缘分布函数F（x1），F（x2）代入式（3）则得到Copula函数中的未知参数α的估计值，模型参数μ（1），μ（2），σ（1），σ（2）及α的估计值见表3，其中MC 误差由OpenBugs 软件生成，表示蒙特卡洛模拟的误差，用来度量由模拟引起的参数均值的方差。将上述惯性测量单元2个性能指标的退化数据代入式（4）得到3 种Copula 函数的AIC 值（表2），因此选择AIC 最小的Frank Copula函数来刻画惯性测量单元两性能指标间的相关关系。

图2 参数的迭代过程图

表2 3种Copula函数的AIC值

表3 模型参数估计值

4.1 惯性测量单元的可靠性分析

将表3 模型参数代入式（9）（11）的可靠度函数中，可获得惯性测量单元的可靠度曲线如图3所示。

图3 惯性测量单元的可靠度曲线

由图3可以看出，2条单性能指标退化模型的可靠度曲线十分靠近，且单性能指标退化模型的可靠度曲线较二元相关退化模型的可靠度曲线整体偏右，也就是说在运行时间相同时，二元相关退化模型对应的惯性测量单元的可靠度明显小于单性能指标退化模型对应的可靠度，因此，考虑2个性能指标相关关系的列车定位惯性测量单元可靠度评估较单性能指标模型预测结果更保守，若仅考虑单性能退化指标，可能会高估惯性测量单元的可靠性，从而导致危险发生，因此，考虑2个性能指标相关的可靠性评估显得尤为重要。

4.2 惯性测量单元的寿命预测

将表3中估计得到的模型参数代入式（10）的概率密度函数中，可获得惯性测量单元的寿命分布如图4所示。

图4 惯性测量单元寿命的概率密度曲线

以惯性测量单元寿命概率密度最大的点所对应的时间，即概率密度的最高点所对应的时间作为惯性测量单元的寿命预测值，由图4可以看出，二元相关退化模型预测的惯性单元的寿命在68周左右，这与文献[14]预测结果一致，也验证了该方法的准确性。

5 结论

（1）提出了一种2个性能指标相关退化的列车惯性测量单元的寿命预测方法，利用AIC 准则选择最佳的Copula 函数构建基于两性能指标相关退化的惯性测量单元寿命预测模型，采用MCMC 方法对模型中的未知参数进行估计，可以实现列车定位惯性测量单元的寿命预测，此外，该方法对多性能指标相关退化系统的寿命预测也具有很大的参考价值。

（2）列车定位惯性测量单元的2 个性能退化指标之间不是单纯的线性关系，Frank Copula 函数可以很好地描述2 个性能退化指标之间的相关性，使得惯性测量单元的寿命预测结果更符合实际。

（3）惯性测量单元可靠性分析结果表明，考虑两性能指标相关退化的列车定位惯性测量单元可靠度评估结果较单性能指标退化模型预测结果更加保守，2 个性能指标相关退化模型的寿命预测结果大约为68周，与已有文献惯性测量单元的寿命预测结果一致，说明该方法可以预测列车惯性测量单元的寿命，验证了该方法的正确性。