浸润数学文化,促进深度学习——《确定位置》教学有感

○ 南通师范学校第二附属小学 吴 青

在数学学习中，我们经常会遇到人为规定的情形。为了帮助学生更好地认识这种人为规定的必要，更好地理解、掌握数学知识，我们需要和学生一起探究规定背后的数学渊源，从历史、人文、科学等多角度分析规定的合理性，沟通数学与其他学科之间的联系，从而让数学学习浸润科学文化的底蕴。

一、问题缘起

小学六年级学习的《确定位置》，是让学生用带有角度的方向和距离，描述平面上各点的准确位置，比如灯塔在轮船的北偏东30°方向6 千米处，这种表示物体位置的方法其实类似于极坐标法。

本课教学有一个重点，就是要用“北偏东30°”这样的方式来描述物体的准确方向。在生活中我们经常说“东北”这个方位词，但是“东北”只是一个大概的方向，只要在东和北之间都可以叫做东北。要想准确地指定东和北之间的某一个具体方向，就必须加上一个角度，比如说成“北偏东30°”。

但是，为什么要说成“北偏东”而不是“东偏北”，对学生来说有些难以理解。如果我们只是简单地告诉学生，这是人们约定俗成的说法，一定要说成“北偏东”，那么经过多次练习巩固之后，他们会逐渐掌握正确的表述方式，但是并没有真正理解其本质，这对于学生素养的培养显然是不利的。

其实采用“北偏东”这种说法，虽说是人为规定的，但却有着极丰富的文化、科学等方面的历史渊源。

二、追根求源

为什么东北要说成“北偏东”而不是“东偏北”？这其中涉及古人在认识、探索宇宙过程中逐步积累起来的科学知识与生活经验。

1.中西方语言文化。

在汉语中，“东北”这个词语的构成和“红花”“大树”等词语相同，后面的“北”是中心词，而前面的“东”是形容词，来修饰中心词“北”，表示“偏向东的北”。

而在英语中，东北可以说成north easterly。我们知道，north 表示北，east 表示东，那么加上后缀-erly 之后，easterly 就表示“东的，向东的”。很显然，north easterly 表示 “偏向东的北”。

看来，不管是汉语还是英语，表示东北方向的词组，都是以“北”为中心词，表示“偏向东的北”或“从北偏向东”，因此可以简单说成“北偏东”。

类似地，西北方向也是以北为标准，要说成“北偏西”，而东南和西南方向则是以南为标准，要说成“南偏东”“南偏西”。

2.北极星。

古人在确定方位时，都不约而同地选择以北和南为标准，而不是以东和西为标准，这是为什么？

东、南、西、北这四个方向都是古人在认识大自然的过程中形成的，然而它们之间却是有差别的。几千年前，古人就开始夜观天象，经过长期的观察研究，他们发现日月星辰都在不停地运动，而只有一颗星在天空中的位置看起来几乎不动，古人将之称为“北极星”。

后来人们知道，因为地球在不停地自转，就造成了日月星辰看起来在不停地绕着地球转动；而地球自转轴所指的方向正好对着北极星附近，因此北极星在天空的位置看起来就几乎不变。人们把北极星所指的方向定为北，那么相反的方向就是南，有了“北”和“南”，就可以确定“东”和“西”这两个方向了。古人在大海中航行，在沙漠、森林、田野上跋涉时，总是通过北极星来辨别方向。

可能有人会认为，我们可以把早晨太阳升起的方向定为“东”，晚上太阳落下的方向定为“西”。有了“东”和“西”，再确定“南”和“北”，不是也可以吗？

公寓网采用四层组网架构：即互联网与管理云层、核心层、汇聚层以及接入层。接入层ONT提供FE电口接入公寓用户，并提供统一的无线SSID，ONT上联到网络中心机房OLT，中间无源全光缆。汇聚层收容各校区OLT收容业务，通过PTN系统连校园网宽带BRAS。核心层由BRAS负责高速数据转发和计费认证等功能，并与校园网互联。互联网与管理云层中包含运营商端认证系统和公寓网云管理端。

由于地球绕太阳公转的同时，还在倾斜着自转，这就造成每天早晨日出的位置都在不停地变化。通过长时间的观察可以发现，冬天日出的方向在“正东偏南”，夏天日出的方向在“正东偏北”。而且处于不同地理纬度上的地区，日出位置也不相同。因此，用这种方法得到的“东”和“西”，存在着很大的不确定性，所以不适合用来比较准确地确定位置。因此我们通常是以“南”“北”方向为标准。

3.指南针。

我们出门在外，除了可以根据北极星来确定方向之外，还可以通过指南针来指示“南”“北”方向。指南针为什么能够指出“南”“北”方向？因为地球内部有一个巨大的磁场，可以根据磁铁同极相斥、异极相吸的特点，用指南针上的磁铁指出“南”“北”方向。

其实指南针指的方向只是地磁场的南极和北极，而非真正的地理南极和北极，但是地磁场的两极位于地理两极附近，差距不大，所以我们仍然可以通过指南针来指示“南”“北”方向。

从上面的分析中我们可以看出，中西方语言都是以“南”和“北”为标准，而地球自转和地球磁场也都决定了“南”“北”方向的重要性，所以我们在确定方向时，一般是以“南”和“北”为标准，要说成“北偏东”，而不说成“东偏北”。

在课堂上，我们和学生简要地从这三个方面进行分析，明确了“北偏东”这种说法的根源。和直接告诉学生的教学方式相比，这样的教学过程把枯燥的说教变为生动的探究，能够激发学生强烈的学习热情，使他们产生浓厚的学习兴趣，又培养了严谨、认真的探究精神，拓宽了学生的知识面，同时也有助于对知识的理解和掌握。

三、纵向比较

对小学生来说，《确定位置》的学习贯穿了整个小学阶段，一共安排了四次学习任务。教师需要通读教材，对教材的编排有一个整体的认识，这样才能有的放矢地开展好每一次教学活动。

一年级，刚刚跨入小学大门，学生就认识了前、后、左、右，这是最基础的确定位置的方法，只能确定以观测者为中心的前后、左右这两条直线上的方向，这也相当于以观测者为原点的直角坐标系的两条坐标轴上的方向。这时的方向，与观测者的朝向有关，因此具有不确定性，一旦观测者的朝向发生了变化，那么前、后、左、右这四个方向也随之变化。

二年级，学生通过早晨面向太阳时的前、后、左、右，认识了东、南、西、北四个方向，并在此基础上又进一步认识了东北、东南、西北、西南这四个方向，此时四面八方中的这八个方向不再受观测者朝向的影响，而是完全依赖于地球的自转与太阳的东升西落，此时描述的方向更加准确。

六年级最后一次学习确定位置，则是用带有角度的方向和距离来确定位置，这相当于极坐标系中用有序数对（ρ，θ）来确定平面上点的位置。因为这时的角度是以南、北方向为基准的，所以不再受观测者朝向与位置的影响。

可以看出，小学阶段四次学习确定位置的方法，螺旋式上升，逐步提高要求，使得确定位置的方法越来越精确。我们需要针对每一次确定位置的特点开展有效教学，帮助学生更好地理解并巩固应用。而在六年级毕业总复习时，我们可以和学生一起回顾几次确定位置的方法，分析它们之间的区别和各自的侧重点，帮助学生融会贯通，建立完整的知识网络。

四、教学实践

在小学阶段的四次确定位置的教学中，除了用方向和距离确定位置以外，用数对确定位置同样也值得我们关注。

1.教学现状分析。

教学数对时，我们通常会创设一定的操作探究情境，帮助学生理解数对的概念以及数对的表示方法。比如，在教室点阵图中给出小军的具体位置（第4 列第3 行），让学生描述并记录下来，于是出现了（4，3）、（3，4）等不同的记法；也有的教师先告诉学生（4，3）这个记法，让学生在教室点阵图中找到相对应的位置，于是出现了第4 列第3 行、第4 行第3 列等不同的答案。

如果教师告诉学生，我们在用数对表示位置时，通常是“先列后行”，即先说第几列再说第几行。经过大量的练习，大部分学生都能正确书写，但还有少数学生会错误地写成“先行后列”。到了六年级毕业总复习阶段，这样的错误仍然存在。这说明有的学生始终没有分辨清楚，表示数对到底是“先列后行”还是“先行后列”；而那些会正确表示数对的学生，并不理解为什么“先列后行”而不是“先行后列”，只是机械地进行记忆和练习，这非常不利于以后的学习。

在我们的生活中，有许多场合都涉及确定位置，比如电影院或者大礼堂的座位是“第几排第几座”（即第几行第几个），飞机上的座位也是如此，电脑上的word 表格和excel 表格中同样也都是“先行后列”，这些对学生理解、掌握数对中“先列后行”的表示顺序会产生负迁移，会对数对的正确表示方法进行干扰，容易混淆。因此，应让学生理解数对所蕴含的数学文化知识，从而真正认识到数对“先列后行”的合理性。

2.数对起源追溯。

数对其实就是二维坐标的原型，是平面上点的位置的抽象。小学阶段学习用数对确定位置，就是让学生对平面直角坐标系和二维坐标有一个初步的认识，为进一步学习平面直角坐标系作铺垫。

关于数对的产生，我们可以向学生介绍笛卡尔发明数对的故事。据说笛卡尔躺在床上，发现墙角处有一张很大的蜘蛛网，一只蜘蛛在网上爬来爬去。笛卡尔灵机一动，可以把蜘蛛网最中心的位置作为原点，标为（0，0），通过原点的水平方向的蛛丝作为横轴，竖直方向的蛛丝作为纵轴，横轴和纵轴上面的点分别用数字1、2、3……来表示。蜘蛛网上的每一个交叉点都可以用纵、横两条线来确定，并用两个数字表示出来，这样就用两个数字组成的有序数对确定了平面上每一个点的位置。笛卡尔发明的这个平面直角坐标系，把平面上形象的点和抽象的数联系起来，从而开创了一门新的数学分支——解析几何。

在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，是先找横轴上的数（横坐标），再找纵轴上的数（纵坐标），这时数对的表示方法恰好是“先横后竖”，这和学生的生活经验正好是吻合的。而横坐标对应着“第几列”，纵坐标对应着“第几行”，所以平面直角坐标系中“先看横坐标，再看纵坐标”的顺序，正好对应着数对中的“先列后行”的顺序。

当学生了解了数对的产生过程，知道了数对与平面直角坐标系之间的渊源，他们也就能够更好地理解数对“先列后行”的顺序。

3.联系生活实际。

其实，数对“先列后行”的顺序，对学生来说同样有着丰富的生活体验，每天和同学一起在教室里学习，对教室位置的描述有着深刻的体会。我们在教室里都会说某个学生是“第几组第几个”，不就是“第几列第几行”的意思吗？结合教室里的现实环境进行分析，学生能深刻领会数对“先列后行”的意义，而教材中通过教室的座位图来教学数对，也正是想利用学生的生活经验进行正迁移，达到有效的知识同化。因此，在实际教学中，我们可以从教室的座位开始引入新课。

而那些从藏宝图、药柜图、森林图等进行导入的教学方式，则是将数对与学生的生活经验生生割裂，人为地加大了数对的学习难度，相当于事倍功半，这是不可取的。

教学时，我们还应该向学生介绍确定位置在生活中的实际应用，如地球经纬度、雷达图、棋盘等，也可以初步渗透三维空间中确定位置的方法，帮助学生拓展知识面，真正掌握确定位置的方法。

在几千年的数学发展的历史长河中，数学与科学、艺术、文化等相互渗透，形成了独特的数学文化。数学教学中，我们可以不断让学生浸润数学文化，拓展知识面，促进深度学习。