相对运动中一类质点运动方程的同伦摄动解1)

姜文安 刘若冰 顾叶彤 李浚超

(江苏大学土木工程与力学学院，江苏镇江 212013)

理论力学课程是理工科专业重要的专业基础课程之一，其中，动力学部分的质点动力学是理论力学中的重要部分，而相对运动中质点的动力学方程是一个难点。因此，许多学者研究了相对运动中的质点运动[1-5]。刘荣万[6]研究了相对运动的第二类拉格朗日方程，给出系统运动方程的一种新形式，并应用于两种相对运动系统。梁军[7]应用雅可比椭圆函数方法，给出了一个相对运动质点运动方程的隐式解。臧涛成等[8]推导了两个质点的相对运动方程，并给出其在斜面滑块中的应用。夏吾吉[9]推导非惯性系中的质点系相对于惯性系的动量定理，并给出四种特殊情形的推论。陈立群[10]通过解耦自由质点相对于地球的运动方程的方法，推导了系统运动方程的精确显式解。王超等[11]基于VB 语言开发了质点相对运动的演示软件，并基于软件绘制质点相对运动的轨迹。然而，相对运动中质点运动方程已有的隐式解不能清晰明了地反应系统的动力学特性，且隐式解运动响应曲线的程序实现比较复杂。因此，开展简明扼要的显式解析求解是十分必要的。

本文以相对运动中一类质点运动方程为例，基于同伦摄动分析方法[12-16]，先构造系统的同伦方程，再结合Lindstedt–Poincare 方法和初始条件，推导了系统自由振动的固有频率，求解了系统的位移近似响应。

1 相对运动中质点的运动方程

考虑质量为m的小环套在抛物形光滑金属丝上，同时金属丝以匀角速度ω0绕竖直轴转动，如图1 所示，则小环的运动微分方程为[1-2,6]

图1 小环在金属丝上的运动示意图

式中，a为抛物线形曲线的常数，g为重力加速度。且“金属丝+小环”的案例很早就引入《理论力学》教材，于红军等[17]对该案例做了详细的介绍。

方程（1）为二阶非线性常微分方程，《理论力学》及《高等代数》教材中的解析方法无法求解，相关的解析求解方法少有报道。因此，寻找合适有效的方法，求解系统（1）的动力学行为是很有必要的。

2 同伦摄动分析

为了应用同伦摄动方法，构造如下的同伦方程

假设系统的位移响应和频率有如下级数解

图2～图5 给出系统（1）在不同系统参数下的动力学响应，其中蓝色实线为方程（11）的同伦摄动解（图中用HPM 表示），红色的加号表示原系统（1）的四阶龙格库塔解（图中用ode45表示）。由图可见，系统在不同参数下的同伦摄动解和数值解都比较吻合，证明了本文方法是有效的。

图2 系统（1）在参数 A=1, a=4 下的动力学响应

图3 系统（1）在参数 A=1, a=1 下的动力学响应

图4 系统（1）在参数 A=0.5, a=4 下的动力学响应

图5 系统（1）在参数 A=1.5, a=4 下的动力学响应

3 结论

相对运动中质点的强非线性动力学方程，一般很难得到显式的精确解，发展显式近似解是一种可能的方案。本文基于同伦摄动分析方法，推导了相对运动中一类质点运动非线性微分方程的显式解析解。结合Lindstedt–Poincare 方法和系统的初始条件，推导了系统自由振动固有频率的显式表达式。同时，求解了系统的显式解析近似响应。另外，通过数值仿真验证了解析分析的正确性，为相对运动的质点运动强非线性方程求解提供了一种新思路。