基于BESO 算法的涡轮盘拓扑优化1)

孟子皓 * 丁 超 * 任毅如 * 米 栋 钱正明 张立章

*(湖南大学机械与运载工程学院，长沙 410082)

†(中国航发湖南动力机械研究所，湖南株洲 412002)

涡轮盘作为航空发动机的核心部件之一，长期在高温高压的恶劣条件下运转，还需要承受高转速产生的离心载荷，其结构和性能对于航空发动机的可靠性和性能有决定性影响，对涡轮盘进行结构优化和轻量化设计能有效地提高航空发动机的推质比和燃油效率。

拓扑优化是在给定负载、约束和性能指标的条件下，在设计区域内寻找材料最优分布的结构优化方法，被广泛应用于航空航天等领域[1-3]。Xie等[4]首次提出的渐进结构优化方法（evolutionary structural optimization，ESO 方法），已广泛运用于各个工程领域中[5-7]。Querin 等[8]基于ESO 算法，提出了双向渐进结构优化策略（bidirectional evolutionary structural optimization， BESO），这种改进的算法解决了ESO 算法中被删除的单元无法恢复的缺陷，实现了优化过程中对设计域内低效单元的删减的同时又增加了高效单元。在此基础上，为了解决结构惯性载荷作用下结构拓扑优化设计问题，Yang 等[9]利用BESO 算法研究了重力载荷作用下平面矩形板的结构拓扑优化，并得到了“拱桥”结构的优化结果。为了提高结果的收敛效率， Huang 等[10]在BESO 算法的基础上，引入材料属性有理近似模型(rational approximation of material properties，RAMP)，解决了结构自重载荷作用下结构拓扑优化设计问题。

国内外对涡轮盘的结构优化设计进行了一定的研究，Bhavikatti 等[11]基于旋转圆盘的研究，使用五次多项式定义了圆盘横截面的形状，并通过有限元方法对圆盘进行了应力分析，采用非线性规划的方法，即改进的顺序线性规划移动划分优化技术，研究了圆盘的形状优化设计。Rindi 等[12]提出了使用水平集方法（level set method，LSM）来解决由于引入伪材料密度而引起的问题，并将其优化方法应用到涡轮盘构件。Shen 等[13]利用ESO 方法优化结构拓扑，提出了双辐板涡轮盘形状，并通过旋转三维光弹性试验进行了验证。闫浩等[14]提出了一种载荷敏度抑制算法，解决了设计相关载荷的灵敏度计算问题和变密度拓扑优化中存在的目标函数非单调问题，并从优化算法的角度揭示了单辐板与双辐板涡轮盘结构之间的联系及演化规律。

涡轮盘结构的传统设计方法大部分缺乏理论基础，主要依靠大量的设计经验和反复的实验基础得到，研发周期长、成本高。拓扑优化设计有设计变量多样性、优化构型可靠性、研制成本低以及设计效率高等优势，引入拓扑优化技术进行涡轮盘结构设计，可以有效避免传统设计方法的缺陷。国内外目前对涡轮盘拓扑优化设计研究不充分，相较而言，当前针对涡轮盘的研究所呈现的迭代步数多，优化效率较低，优化过程和优化结果无法满足飞行器结构设计要求的高速发展。本文主要围绕航空发动机涡轮盘结构的拓扑优化设计，针对涡轮盘的工作状态和受载情况，将 BESO算法应用于受离心载荷作用下涡轮盘的结构优化，提高了设计效率。采用ANSYS 参数化设计语言（ANSYS parametric design language，APDL）进行二次开发，无需在有限元分析软件和计算软件之间反复输入和输出数据，在有限元软件上实现了涡轮盘的BESO 拓扑优化设计，开发的拓扑优化APDL 代码具有拓展到其他大型设计相关载荷的工程问题的前景。

1 BESO 算法

1.1 结构拓扑优化模型

以结构应变能最小化为优化目标的BESO 法的优化问题数学模型可以表达为

1.2 材料插值方案

常用的材料插补方案有固体各向同性惩罚模型(solid isotropic material with penalization，SIMP)和RAMP模型等，分别如式（2）和式（3）所示。Huang 等[15]将SIMP 模型应用于求解离散拓扑优化问题的BESO 方法。后来，有研究者研究了RAMP 模型在求解惯性载荷拓扑优化问题中的应用，并说明RAMP 的优势[16-18]更适用于求解惯性载荷拓扑优化问题。本文采用的是RAMP 模型。

式中，E(xi) 为第i个单元的杨氏模量，E0为初始设置的杨氏模量，p和q为惩罚因子。

1.3 灵敏度计算

当载荷为离心载荷、重力载荷等设计相关载荷时，单元增加或删除而引起的结构柔顺性的变化可以表示为

定义单元灵敏度αi为

式中，ui为单元i的节点位移矢量，Ki0为初始单元i的刚度矩阵，ω为转速，ri为单元i到旋转轴的距离，vi为单元i的体积，ρ0为单元初始密度，f¯ 为离心载荷的方向矩阵。为了保证结构收敛，应该选择较大的惩罚因子，但如果惩罚因子无限大，当x(i)=xmin时，灵敏度为0，这就等同于“硬杀伤”BESO 方法。

在渐进结构优化设计中，优化结果往往会出现类似于图1(a)所示的棋盘格现象，优化结果图中孔洞材料单元与实体材料单元交错分布的“棋盘格现象”。为消除棋盘格现象导致的产品制造困难的缺陷，采用基于独立网格滤波技术的敏度过滤方法[15]对结构优化过程中单元敏度进行过滤处理。计算原始单元灵敏度αi平均分配得到节点灵敏度αj；通过比较第i个单元中心点位置到节点的距离rij和过滤半径rmin之间的大小得到加权函数ω(rij) 的值。之后将节点灵敏度αj与权函数ω(rij) 代入式（6），得到新的单元敏度值αi′，该过滤技术会使得空白单元有机会转化为实体单元。

图1 基于敏度过滤的棋盘格抑制结构Fig.1 Checkerboard suppression structure based on sensitivity filtering

使用上述敏度过滤方法后优化结果如图1(b)所示，对比图1(a)，该拓扑优化结构中的棋盘格现象基本已经消除。

1.4 离心载荷下算例计算

算例为如图2 所示的涡轮盘初始结构模型，其几何模型的长（L）和宽（H）分别为100 mm和50 mm，厚度为1 mm，弹性模量E=200 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7.8 g/cm3。现将悬臂梁整体绕旋转轴Y作匀速转动，转速ω0=1000 rad/s，r0=20 mm。其中黑色部分为非设计优化区域，目标体积分数为40%。现以结构整体刚度最大为优化目标，结构的总体积作为体积约束进行离心载荷作用下的拓扑优化设计。

图2 涡轮盘初始结构模型Fig.2 Initial structure model of turbine disk

图3 给出了拓扑结果的演化图，通过离心载荷下涡轮盘拓扑优化设计的文献资料可以看出，涡轮盘拓扑结构的演化进程是逐步向孔洞状的双辐板结构进化。经过34 次迭代即可获得收敛结构。结构总柔度下降，满足总体刚度提升的优化目标。

图3 拓扑结果演化图Fig.3 Evolution diagram of topological results

文献结果如图4 所示。对比该算例的结果，二者结果相似度较高，说明该算法是可行的，相较而言，该算法仅需34 步迭代即可获得收敛的优化结果，优化效率明显提高。

图4 涡轮盘离心载荷下的拓扑优化结果[14]Fig.4 Topology optimization results of turbine disk under centrifugal load[14]

2 涡轮盘拓扑优化设计

2.1 涡轮盘几何模型和有限元模型的构建

某型发动机涡轮盘的3D 几何模型如图5 所示，若直接进行网格划分会出现网格质量差的问题，从而影响计算效率和求解精度。现对涡轮盘几何模型进行简化：（1）除去非设计优化域的叶片结构，在涡轮盘边缘施加等效节点力近似替代叶片对涡轮盘的作用，假设叶片载荷均匀分布于涡轮盘外缘表面[19]，可通过式（8）进行计算；（2）涡轮盘为旋转对称结构，故选取截面进行优化可以提升优化效率。简化涡轮盘模型用APDL创建如图5 所示。

图5 简化的涡轮盘Fig.5 Simplified turbine disk

式中，σrb为均匀分布于涡轮盘外缘表面的叶片载荷，F为叶片和榫头凸块自身的离心载荷，该载荷为固定载荷，在拓扑过程中保持不变，R为榫槽底半径，H为涡轮盘轮缘的轴向宽度。

选取简化后涡轮盘的截面进行优化设计区域的划分如图6 所示，其中黑色部分为非设计区域，网格单元类型选用平面4 节点的PLANE42 的单元，按照平面结构四边形网格自动划分。

图6 优化设计区域的划分Fig.6 Division of optimal design domain

仅考虑盘身和叶片的离心载荷，对涡轮盘的内径接触面施加固定约束，对整体结构施加绕X轴的转速ω0。该模型在简化过程中删除了叶片结构，通过计算得到叶片的离心力以等效节点载荷的形式作用在轮盘外径上，如图7 所示。

图7 涡轮盘的离心载荷、叶片等效载荷和边界约束条件Fig.7 Centrifugal load, blade equivalent load and boundary constraint condition of turbine disk

2.2 涡轮盘在离心载荷下的拓扑优化结果分析

在完成优化前处理操作步骤后，接下来针对优化主循环的迭代结果进行分析，如图8 所示。迭代过程如图9 所示。

图8 涡轮盘在离心载荷下拓扑优化的演化结果Fig.8 Evolution results of topology optimization of turbine disk under centrifugal load

图9 拓扑结果演化图Fig.9 Evolution diagram of topological results

通过优化结果的应力分布图和应变能分布图可以看出，优化后的结构内部单元von Mises 应力和应变能分布更均匀，结构总柔度减小，刚度有所提高。其次，通过对比优化前后结构最大应力值与最大单元应变能云图可以发现，优化后的涡轮盘结构的最大应变能密度较优化前要低48%，且应变能分布更均匀。最大von Mises 等效应力比优化前降低了25%。最后，从优化目标来看，涡轮盘结构在减重26%的条件下，结构总应变能降低了48%，满足提高结构整体刚度的目的。

3 结论

通过ANSYS APDL 有限元软件建立了离心载荷下BESO 拓扑优化算法模型，对涡轮盘进行拓扑优化，得到以下结论。使用BESO 算法对设计相关载荷的优化问题求解，优化过程中迭代步数较少，同时避免了在计算软件和有限元软件之间切换，提升了拓扑优化效率。将涡轮盘模型进行简化，避免了因叶片结构复杂导致参数化建模困难和效率低下的问题，提升了优化设计效率，同时通过施加叶片等效载荷的方法，考虑叶片在离心载荷下对涡轮盘的影响。在相同的外载荷条件下，优化后的涡轮盘比传统涡轮盘的质量降低了26%，最大von Mises 等效应力比优化前降低了25%，总应变能降低了48%，满足提高结构整体刚度的目的，满足了某型号发动机的轻量化设计对涡轮盘的要求。进一步验证了双辐板涡轮盘更适合于高推质比的发动机。