提取关键信息 破解建模难点——2023年新课标Ⅱ卷第19题的价值

李振涛 王淑玲

(北京市顺义牛栏山第一中学)

数学建模具有双重的身份,既是六大核心素养之一,又是一条教学主线,从中可以发现数学建模在中学数学中的地位与作用,“作为大规模高利害考试,高考客观上对高中教学起到重要的引导作用”,所以在高考试题中数学建模作为必考内容出现在试卷中就是必然事件.数学建模的基本流程是:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.从实际问题到建立模型是解决此类问题的关键,需要把实际问题中的关键信息提取出来,之后把这些关键信息符号化,才能建立相应的数学模型,最后是计算求解,用结果解释问题.如何提取关键信息并符号化就是重中之重,下面通过典型试题进行解释.

一、关键信息提取

1.题目

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:

患病者

利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);

(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.

2.关键信息与符号化

序号关键信息数学符号表示1某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图频率分布直方图

3.关键信息解读

(1)前提假设

关键信息6是建立数学模型的前提假设,后面所有的数量关系以及由数量关系得到的模型都是在此前提假设下得到的,是检验模型有效性的基础.在这个题目中,有两个假设,一是“数据在组内均匀分布”;二是“事件发生的频率作为相应事件发生的概率”,一是建立频率分布直方图的前提条件,二是利用频率估计概率的常用方法,这两个前提假设是解决频率分布直方图的常用假设,也是教学中要强调的知识点.

(2)检测标准与漏诊率和误诊率的关系

在医学中,制定一个检测标准需要考虑的因素很多,漏诊率和误诊率是最重要的两个指标,这个指标的确定应该使漏诊率和误诊率尽量的小,这就是一个优化问题,也就是找到一个临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性,漏诊率和误诊率尽量的小.误诊率与漏诊率与指标c有关.从频率分布直方图观察可以发现,患病者发生漏诊现象是该指标在[95,105]范围内,未患病者发生误诊现象是该指标落在[95,105]范围内,也就说明漏诊现象和误诊现象都发生在同一区间,需要对此区间进行进一步优化,使得漏诊率和误诊率尽量地少.

(3)模型建立与求解

在此题中给出了两问,第一问是对漏诊率和误诊率的进一步体会,是从自然语言到符号语言的转化,是简单的利用题目假设和相关数据进行简单的建模过程,是对题目相关概念的理解的一个测试,测试在一个新的问题情境中对所学知识的迁移与应用能力,是第二问的一个铺垫.第二问是第一问的继续延伸,通过第一问,可以发现漏诊率和误诊率之间的关系,之后建立新的函数关系f(c)=p(c)+q(c),函数关系由p(c),q(c)两部分组成,对应到关键信息3,4,结合频率分布直方图可以发现f(c)是定义在不同的频率下的函数关系,所以应该是分段函数的形式,寻找函数的最小值是数学建模中常见的问题,只不过此时有具体的含义.

二、建模与求解

通过对以上关键信息的提取与解读,可以建立以下的数学模型并求解:

解：(1)依题可知,左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%,

所以95

q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5%.

(2)当c∈[95,100]时,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;

当c∈(100,105]时,

f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02,

所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02.

三、试题价值

1.突出核心素养的考查

统计学知识是课程标准中要求掌握的重要知识,是中学数学的必备知识,是考查中学数学的核心素养和关键能力的重要组成部分.利用频率分布直方图,我们可以认识和估计总体的分布规律,估计总体的数字特征等.从各种统计图中能读出哪些信息和如何从统计图中读出信息是统计学学习和教学的重点之一.统计学的灵魂是数据,数据的呈现方式有多种,如何从数据中挖掘信息并获得知识是统计学的核心.频率分布直方图是最常见的一种显示数据的统计技术之一,它含有丰富的统计信息.试题设计的问题都要求考生能从频率分布直方图中读出所需的信息建立数学模型,从中考查考生的数据处理能力、运算求解能力、数学建模能力及创新能力,进而考查核心素养,达到“引导学生会用数学眼光观察世界,会用数学思维思考世界,会用数学语言表达世界”的目标.

2.突出育人价值

生活实践情境已成为高考试题的常用载体,它要求考生把所学的数学知识与设问相联系,此试题情境现实,试题考查的问题自然,有很强的现实意义.试题以考生陌生的医学检测为载体,将数学试题与医学检测相结合,启发考生在生活中发现数学问题,并用所学知识来解决问题.问题的解决能很好地体现概率统计知识与方法的应用价值.设计的问题能有效地考查考生对统计学知识的掌握程度.试题设计了两问,这两个问题紧密相关,是一个理解问题、探究问题和解决问题的过程.首先要研究漏诊率与误诊率的关系,通过频率分布直方图理解两者间的关系,是对图表的阅读与考察,试题的第(1)问是为第(2)问作准备的.数学源于生活,服务生活.试题基于具体问题,易于理解,充分体现了创新性.试题考查的知识点具体但不繁难,实现了通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才的目的,充分体现高考的改革精神,落实立德树人的根本任务.

3.对数学建模基本流程的全面考察

通过题目的叙述与求解可以将数学建模的基本流程总结如下:

数据的收集与整理→发现和提出问题→符号化→基本假设→建立模型→模型求解→解释实际问题

在这个基本流程中数据的收集与整理已经完成,如何读懂数据,利用数据解决问题就是关键,对于关键信息的提取是解决问题的重要一环,是对数据分析核心素养的考察,符号化和基本假设是建模的前期准备,是解决模型的合理性的前提,也是模型检验的条件,模型的建立是需要根据具体条件进行的,从实际条件出发,建立合适的数学模型近似的描述客观世界是建模的基本要求,所以在此题中要建立分段函数模型,这是高中数学中的一个难点,也是建模中常用的方法,是创新的具体体现之一,从这个题目的整个过程来看,可以很好地考查数学建模的基本流程,符合“一核四层四翼”的要求.