例谈2023年高考数学试题中的数学文化及教学的实施建议

2024-01-22刘洋

教学考试(高考数学) 2023年6期

刘洋

(吉林省教育学院)

随着高中新一轮的课程改革,重视数学文化,在日常教学和高三备考中渗透数学文化,已成为必然趋势.

在2017年版2020年修订的《课程标准》第三章课程结构中说明了数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动.并多次强调将数学文化融入课程内容,由此可见,数学文化的渗透十分重要.作为高中数学教师,要在学生的基础知识和基本技能上下功夫,还要注重挖掘学生的探索精神和创造精神,使他们感知数学的文化内涵,并将其转化为自己的数学文化气质,具有简化分析和解决问题的意识和能力,唤醒学生对数学文化的觉醒.对于高三年级更应关注数学文化类试题的研究和基于此的数学课堂的数学文化渗透和拓展,以便于更好地培养学生的核心素养,助力高考.

一、数学史及相关试题对数学课堂文化结构的改造

在教学中,在平时跟学生的沟通中,我们可以以教材、校本课程和课外阅读作为载体,通过举办相应的数学文化讲座、座谈甚至是辩论赛等主题活动,让学生阅读更多关于数学史书籍,使其求知欲和数学素养得到充分的满足,提升和施展,用正确的方式来发现数学的本质.数学史是很好的教学工具,可以让学生通过故事认识所学知识的前世今生,从而避免一些因为认知障碍而产生的问题.

高三学习任务繁重,数学题的难度会整体上升,对于学生来说比较吃力,容易产生挫败情绪,学生的沮丧情绪会使他们有些怀疑自己在数学方面的学习理解能力,影响备考.此时教师可以通过渗透数学文化元素的方式来调节学生的情绪和增强学生的信心.

例如,在学习三角函数时,2019年人教A版必修第一册中的“三角与天文学”,就是一个非常好的切入点,学生自主阅读,教师从侧面加以辅助,可以使学生更好地认识三角函数,消除对于三角函数的恐惧心理.学习欲望呼之欲出.又如:

(1)求C的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点B(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P,证明:点P在定直线上.

【分析】本题考查对双曲线标准方程的理解与掌握,直线与双曲线的位置关系,体现高考评价体系四层中的必备知识和关键能力.第(2)问考查直线与双曲线的位置关系,可以从多个角度理解直线MN.本解法是把M,N看成直线MN与双曲线的两个交点.试题考查考生面对不确定性数学问题时,分析问题和解决问题的能力.试题背景中的两个主要几何元素——直线和双曲线中,双曲线是确定的,而直线MN是变化的,学生在分析问题时要注意.首先,对于变化的直线,要进一步分析引起MN变化的参变量是哪一个,或者是由哪个方式带来的变化.其次,学生要认识到无论是什么方式带来的直线MN的变化,都需要处理直线与双曲线引出的一元二次方程的根与系数的关系.

教师在讲解过程中可以引申到圆锥曲线的发展历史,缓解枯燥的课堂氛围.圆锥曲线经历了三个主要历史发展阶段:古典几何阶段的圆锥曲线理论:综合古典几何,研究几何性质;坐标几何阶段的二次曲线理论:综合利用代数方程与古典几何的理论,研究圆锥曲线的代数结构;射影几何阶段的圆锥曲线理论:通过变换几何中的射影变换(含仿射变换),研究射影不变量.不同的历史发展阶段对圆锥曲线的研究内容、研究方法和研究重点相互联系又有明显区别.本题在考查形式上综合了圆锥曲线的几何性质及射影不变量理论,在方法上综合了代数与几何的理论,具有深刻的数学意义及背景.

作为高考数学考查的重点,圆锥曲线具有悠久的发展历史,在天体物理领域有着举足轻重的地位.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几条曲线.阿波罗尼斯曾为椭圆命名为“亏曲线”,为双曲线命名为“超曲线”,为抛物线命名为“齐曲线”.值得一提的是,阿波罗尼斯得到了现在在高中数学中所有关于圆锥曲线的性质和结果,而他只是运用纯几何方法就做到了.16世纪时,德国天文学家开普勒在哥白尼的日心说的基础上继续研究,发现了行星是按照椭圆轨道,环绕太阳运行的这一现象;意大利物理学家伽利略也发现了物体斜抛运动的轨迹就是抛物线.这两个发现给人们提供了灵感.通过以上事实对圆锥曲线的现实意义进行研究和完善,数学家们发现,圆锥曲线不仅是存在于圆锥面上的一类静态曲线,它还在现实世界中,是物体运动的普遍形式.在1579年,蒙蒂基于天文学的研究带来的启发,修改椭圆的定义为:到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹.我们高中阶段椭圆的方程式也是根据这个定义推导出来的.

高三数学教师在有关圆锥曲线的教学中可以抓住其发展历史脉络,渗透学科本质,透过数学试题发现数学问题,进一步促进学生数学素养的提升.

二、通过展现数学的美,渗透数学文化和素养

有些时候,数学的美可以让学生获得解决数学问题的思路和方向.我们在面对实际问题需要理清其内在联系时,可以运用数学的直观审美,将数学问题的条件,特征与数学问题的结论联系起来.教师可以根据学生认知发展水平,设计各种方式的活动、问题,逐步提升学生的数学审美水平和兴趣,使学生在需要运用数学知识解决问题的时候,可以迅速正确地选择思考方向,确定解决问题的具体方法.如:

【例2】(2023年高考数学新课标Ⅰ卷第12题)下列物体中,能被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有

( )

A.直径为0.99 m的球体

B.所有棱长均为1.4 m的四面体

C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体

D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体

【答案】ABD

本题是一道生活类型的立体几何题,考查学生的几何美感与几何直觉.首先,各正确选项中的物体均满足一定的对称性.例如选项D中的六边形截面是考虑到了“正方体绕其体对角线旋转120°后不变”这一对称性,并且这个截面的最大性(面积最大,内部所含圆盘也最大)与该对称性紧密相关,几何直觉好的学生比较容易想到这个最优截面.选项B中正四面体的放置也关系到“四面体绕正方体的体对角线旋转120°后不变”这一对称性.有对称性视角的学生比较容易想到几何体的放置方法,试题考查学生灵活运用学科知识解决实际问题的能力,有利于选拔数学素养较好的考生,选拔创新型人才.

数学的美体现在教材、试题的每一个角落,不仅体现在知识的例子上,也体现在每节课后的阅读和思考上.教师要注意提炼和整合教材中蕴含的数学美,引导学生逐步学会观察、欣赏数学美,提升数学美的素养和做题直觉,在生活中都能用数学的眼光观察世界,在做题时能够有基于美感的直觉,指导他们顺利解题.激发学生的学习兴趣和学习动力,让想象的翅膀在精彩的数学课堂丰满起来,让学生思维的智慧火花燃成灼热的太阳,充满力量,无畏困难.

三、通过数学思维方法的训练体现数学文化

目前数学教育主要可以分为两个方面,一是对于数学知识的传授,二是对于数学的思想方法、能力、核心素养的提高.

在高中时期,转化划归,数形结合,函数与方程,分类讨论,特殊与一般等是最常用、最主要的数学思想方法.作为一线数学教师,在讲解试题时,重点是提取其中所涉及的思想.培养学生在遇到问题难以直接解决时,通过适当的转化,将原有的问题转化为更熟悉、更容易的问题,从而解决原有问题的能力.从会解决一个问题到可以解决一类问题,达到举一反三,一举多得的效果.这就是改造思想,培养素养.举例来说:

1.数形结合的思想

( )

A.p=2

C.以MN为直径的圆与l相切

D.△OMN为等腰三角形

【答案】AC

教师在教学中,让学生具备识别和运用数形结合思想的数学思维,从而实现解题思想的升华和方法论的提升,触类旁通.

2.转化化归的思想

【例4】(2023年高考数学新课标Ⅱ卷第6题)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为

( )

A.e2B.e C.e-1D.e-2

【答案】C

本题是常规题型,在教材上也有类似题型.考查函数单调性与导数的关系,考查不等式的综合运用.同时考查学生灵活运用导数相关知识,分析函数性质的能力,考查学生变未知为已知的化归与转化的能力.函数在(1,2)上单调递增转化为导数在该区间非负恒成立问题,通过分离参数转化为不等式恒成立问题.通过构造新函数求其在(1,2)的值域进而得到a的最小值.

转化与化归思想在解题中经常运用,主要有直接转化、等价转化、正与反的相互转化、一般与特殊的转化等不同的转化思路和方式.

因此,教师在讲解此类问题时,要帮学生建立灵活的解题思维意识,多角度,全方位分析试题,运用不同的转化方式简化问题,解决问题,真正做到举一反三.