对2023年新课标Ⅱ卷第15题的思考

陈 超

(贵州省六盘水市第四中学)

2023年新课标Ⅱ卷第15题以直线和圆相交为背景,综合考查交点坐标、弦长、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识,文章给出了多种解法,并连同对变式的解析,比较各种解法的特点,总结出解决此类题目的分析思路和通解通法.在解题教学中,试图以此来提高学生理解问题、转化问题和解决问题的能力,发展数学运算的核心素养.

1.真题呈现

【试题分析】此题以直线与圆相交为背景,综合考查交点坐标、弦长、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识,通过给定三角形的面积求直线方程中参数的值,属于逆向思维的题目,综合性较强、难度适中,而且结论开放,只需写出一个符合题意的值即可,比较灵活.重点考查学生求解三角形面积的知识、思想、方法,考查学生灵活地运用所学知识巧妙转化问题的关键能力和数学运算的核心素养.

2.试题解析

【解析】遇到这种以直线和圆锥曲线相交为背景的题目,第一步是依据题意画出草图.画图需要注意抓住圆和直线的几何特征去画.圆的几何特征,包括圆心的坐标和半径,此题圆心C(1,0),半径r=2;直线的几何特征,包括斜率(或倾斜角)、截距、过定点等,直线l过定点A(-1,0),并且定点正好在圆上,设直线l与圆C的另一个交点为B.就可以依据这些特点画出草图,如图1:

图1

这种解法充分利用了直线方程中的参数与直线上点的坐标的关系,巧妙地将AC边看成底,高就是点B纵坐标的绝对值,很容易通过面积求出|y0|,进而求出参数m.

还可以以哪条边为底呢?显然还可以以AB边为底.例1的背景是圆,除了用弦长公式外,还可以用几何法(勾股定理)求出弦长|AB|,高就是点C到直线l的距离,设为d,显然d与参数m有关,也与三角形的面积有关.具体过程如下:

这种解法是将直线中的参数和三角形的面积用点到直线的距离和直线与圆相交的弦长联系在一起,通过中间量——点到直线的距离d建立等式,并且求弦长时充分利用了圆的特点,巧用几何法求解.虽然高中解析几何强调将几何问题代数化,但是解题时也不能忽视图形的几何特点和问题的几何解法.

这种方法巧妙地将∠C用直线的倾斜角α表示,进而利用α与m之间的关系求出m,并且求解过程中运用了“齐次化”的方法将二倍角的正弦转化成一倍角的正切.上述过程到底哪有问题呢?其实是把∠C与直线l的倾斜角α之间的关系搞错了,准确地说是漏了一种情况,因为解法3局限于图1,而图1中α显然是锐角,这样就漏掉了α是钝角的情形.如果是基于如下图2的情形呢?

图2

这提醒我们做题要全面考虑,特别是问题关键之处更要分析清楚,把所有的情况都考虑到.虽然例1只要求写出一个值即可,但是把问题弄通弄透、追求真理,是不能打折扣的!

【解法4】(秦九韶公式)

解法4充分利用了三角形的三边求三角形的面积,问题转化为只需将|AB|表示出来即可求解.

3.试题改编

改编题目,往往可以尝试改变条件、改变结论、条件结论互换等.改变条件,如:将例1中的直线方程中的参数m换个位置;将直线中的参数拿掉,而将参数设置在圆的方程中(圆心和半径设参均可);将圆换成其他圆锥曲线等.改变结论,如:将三角形的面积改为其他可能的值;求三角形面积的最值等.条件结论互换,如例1是已知结论,求条件中直线方程中的参数m,完全可以改成条件中直线的方程、圆的方程已知,结论求三角形的面积等.

【变式1】已知直线l:x-my+1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A、B两点,写出“当△ABC面积取最大值时”的m的值________.

【分析】考虑到此题还是涉及三角形的面积,那么例1中的3个公式、4种解法依然适用.

虽然变式1更改了例1的结论,将三角形面积为定值改成最大值,但是解法是类似的,本质都是考查3个公式、4种解法,并且也是解法1和解法3更为简便,特别是解法3中只需sinC取最大值就行了,这种思路是相当好的.同样地,如果将此题的圆改为其他的圆锥曲线,可能再用解法1和解法3,就不一定可行了,但是解法2依旧可行,解法2是此类题目的通解通法.在关注特定问题的特殊解法的简便性时,也不能忘了通解通法的普适性.当然,解法1和解法3中蕴含的思想方法,特别是解法3中从角的角度考虑,一下子就将三角形的面积和直线的倾斜角产生了联系,同样值得特别关注.

4.一点思考和建议

秉通法、悟通性,提高分析、转化和解决问题的能力.本文例1和变式1都有多种解法,但是其本质都是灵活运用三角形的面积公式求解,具有通性.解题时应充分挖掘三角形的面积公式和直线、圆之间的联系,分析、转化问题,进而解决问题.细致比较几种解法的联系与区别,总结通解通法.重视通性通法并非否定特定问题的特殊解法,相反这些特殊解法的出发点、用到的数学知识、蕴含的思想方法也都和通解通法是相通的,需要融会贯通.秉通法、悟通性,在教学中以通性通法贯穿引领,启发、帮助学生领悟数学解题的本质.

勤总结、善反思,升华解题思想,构建方法网络.解题之后应勤于总结,在总结通解通法的概括性、多样性、相对性的同时;更要总结归纳试题所反映出的通性,提升运算能力,优化运算过程,形成一般性结论,建立数学模型.善于反思,反思试题及其变式的教学功能和价值,在解题教学中,提升学生的解题能力,形成解题策略,升华解题思想,构建网络体系,进而真正发展其数学运算的核心素养.